142857のスゴイ性質3選【巡回数(ダイヤル数)・カプレカ数と呼ばれます】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは $142857$ という数字を見て何を感じますか?それとも何も感じませんか?

僕は「あ~神秘的だな~」と感じます。

なぜなら、$142857$ という数にはなんと美しい性質が $3$ つもあるからです。

よって本記事では、$142857$ がスゴイ数である理由 $3$ つを

  • 東北大学理学部数学科卒
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく語ります。

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目次

142857のスゴイ性質3選

まずは性質の紹介です。

  1. $142857$ は巡回数(ダイヤル数)である。
  2. $142857$ を位ごとに分けて足し算すると、$9$ が連続する数を作り出せる。
  3. $142857$ はカプレカ数である。

…はい。「何言ってるの?」って感じですよね。。

よってここからは、上から順に詳しく解説していきます!

読めば読むほど「えっ。なんでなんで~?」と感じること間違いナシですので、ぜひ楽しんでいただきたいと思います。

では参りましょう。

巡回数(ダイヤル数)の代表例

巡回数(ダイヤル数)…$2$ 倍、$3$ 倍、$4$ 倍と乗算したとき、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数のこと。

十進数では $142857$ が最も有名な代表例です。

実際に計算してみますね。

  • $142857×1$ $=$ $142857$
  • $142857×2$ $=$ $285714$
  • $142857×3$ $=$ $428571$
  • $142857×4$ $=$ $571428$
  • $142857×5$ $=$ $714285$
  • $142857×6$ $=$ $857142$

いかがでしょう。

すべて $1→4→2→8→5→7$ の順を崩さない数になっているのが、おわかりいただけたでしょうか。

142857のスゴイ性質【巡回数(ダイヤル数)】

また、$142857×6$ までは巡回しましたが、$×7$ をすると…

$$142857×7=999999$$

となり、$9$ が連続する数になるんですね。

$×8$ 以降は巡回しないかと思いきや…

  • $142857×8$ $=$ $1142856$ $→$ $142857$
  • $142857×9$ $=$ $1285713$ $→$ $285714$
  • $142857×10$ $=$ $1428570$ $→$ $428571$

というふうに、一番左の桁数( $1$ )を一番右の桁数に足せば、また $142857$ の順序が現れます。

ここまでが、非常に美しい性質の $1$ つです。

ウチダのアイコン画像ウチダ
もうすでにお腹いっぱいかもしれませんが、あと $2$ つあります。(笑)

$9$ が連続する数

たとえば、先ほど$$142857×7=999999$$となったように、少し工夫を加えることで $9$ が連続する数を作り出すことができます。

$3$ 桁ずつで区切って足し算

$142857$ を $142$ と $857$ に分けて足し算をしてみると…

$$142+857=999$$

おぉ~。$9$ が連続する $3$ 桁の数ができましたね。

$2$ 桁ずつで区切って足し算

今度は $142857$ を $14$ と $28$ と $57$ に分けて足し算をしてみましょう。

すると…

$$14+28+57=99$$

やっぱり、$9$ が連続する $2$ 桁の数ができました。

$1$ 桁ずつで区切って足し算

さて、$1$、$4$、$2$、$8$、$5$、$7$ と区切って足し算してみましょうか。

今回はさすがに

$$1+4+2+8+5+7=27$$

と $9$ にはなりませんね^^

…あれ?

$$2+7=9$$

なんと、$27$ を $2$ と $7$ に分けて足し算したら、またまた $9$ が出てきました。

以上が $2$ つ目の美しい性質です。

カプレカ数

まず、$142857$ を $2$ 乗してみます。

すると、$$142857×142857=20408122449$$

と $11$ 桁の数が作れます。

ここで、$5$ 桁、$6$ 桁に分けて足し算をすると…

$$20408+122449=142857$$

となり、$142857$ に戻ってきましたね。

このように「 $2$ 乗した数の前の部分と後ろの部分を分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる」ような数のことを“カプレカ数”と呼びます。

そんな数中々ないだろう、と思いきや、$$297^2=88209 → 88+209=297$$

など、カプレカ数は意外にも多いです。

これが $3$ つ目の美しい性質です。

ウチダのアイコン画像ウチダ
実はカプレカ数の定義はもう一つあり、そちらの方が一般的です。詳しくは「カプレカ数とは?なぜ5桁はないの?【4桁「6174」の証明も解説】」の記事にて解説しております。興味のある方はぜひあわせてご覧ください。
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142857のスゴイ性質の解説【なぜそうなるの?】

142857のスゴイ性質3選を知ってご満足げな女性

「性質を知っているだけでも十分に楽しい。」

そんな内容だったとは思いますが、一応解説できるところは解説してみます。

たとえば$$142857×7=999999$$となる理由。

これは意外にも簡単です。

↓↓↓

そう。$$\frac{1}{7}=0.142857142857…$$

これを利用します。

この式の両辺に $7$ をかけることで、$$1=0.999999999999…$$

となりますね。

ようは、 $142857$ は $1$ を $7$ で割ったときの循環部分だった、というわけです。

また、$\frac{1}{7}$ のように、規則性を保って循環するような小数のことを「循環小数(じゅんかんしょうすう)」と言います。

ウチダのアイコン画像ウチダ
「 $1÷7$ が循環小数である。」この事実が重要でした。循環小数について理解を深めると、$142857$ に成り立つ性質が徐々にわかってくると思います。

142857の美しい性質についてもっと知りたいと思ったら?

本記事の要旨をもう一度まとめておきます。

  • $142857$ は「巡回数(ダイヤル数)」「 $9$ が連続する数を作り出せる」「カプレカ数」の $3$ つの美しい性質を持つ。
  • $1÷7$ が循環小数であることが深く関係している。

$142857$ の美しい性質について書かれた良書があります。

「もっと詳しく知りたい」という方は、これを機に勉強してみてはいかがですか。

以上です~。

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