142857のスゴイ性質３選【巡回数(ダイヤル数)・カプレカ数と呼ばれます】

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは $142857$ という数字を見て何を感じますか？それとも何も感じませんか？

僕は「あ～神秘的だな～」と感じます。

なぜなら、$142857$ という数にはなんと美しい性質が $3$ つもあるからです。

よって本記事では、$142857$ がスゴイ数である理由 $3$ つを

• 東北大学理学部数学科卒
• 教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく語ります。

142857のスゴイ性質３選

まずは性質の紹介です。

1. $142857$ は巡回数(ダイヤル数)である。
2. $142857$ を位ごとに分けて足し算すると、$9$ が連続する数を作り出せる。
3. $142857$ はカプレカ数である。

…はい。「何言ってるの？」って感じですよね。。

よってここからは、上から順に詳しく解説していきます！

読めば読むほど「えっ。なんでなんで～？」と感じること間違いナシですので、ぜひ楽しんでいただきたいと思います。

では参りましょう。

巡回数(ダイヤル数)の代表例

十進数では $142857$ が最も有名な代表例です。

実際に計算してみますね。

• $142857×1$　$＝$　$142857$
• $142857×2$　$＝$　$285714$
• $142857×3$　$＝$　$428571$
• $142857×4$　$＝$　$571428$
• $142857×5$　$＝$　$714285$
• $142857×6$　$＝$　$857142$

いかがでしょう。

すべて $1→4→2→8→5→7$ の順を崩さない数になっているのが、おわかりいただけたでしょうか。

また、$142857×6$ までは巡回しましたが、$×7$ をすると…

$$142857×7=999999$$

となり、$9$ が連続する数になるんですね。

$×8$ 以降は巡回しないかと思いきや…

• $142857×8$　$＝$　$1142856$　$→$　$142857$
• $142857×9$　$＝$　$1285713$　$→$　$285714$
• $142857×10$　$＝$　$1428570$　$→$　$428571$

というふうに、一番左の桁数( $1$ )を一番右の桁数に足せば、また $142857$ の順序が現れます。

ここまでが、非常に美しい性質の $1$ つです。

[ふきだし set=”ウチダ”]もうすでにお腹いっぱいかもしれませんが、あと $2$ つあります。(笑)[/ふきだし]

$9$ が連続する数

たとえば、先ほど$$142857×7=999999$$となったように、少し工夫を加えることで $9$ が連続する数を作り出すことができます。

$3$ 桁ずつで区切って足し算

$142857$ を $142$ と $857$ に分けて足し算をしてみると…

$$142+857=999$$

おぉ～。$9$ が連続する $3$ 桁の数ができましたね。

$2$ 桁ずつで区切って足し算

今度は $142857$ を $14$ と $28$ と $57$ に分けて足し算をしてみましょう。

すると…

$$14+28+57=99$$

やっぱり、$9$ が連続する $2$ 桁の数ができました。

$1$ 桁ずつで区切って足し算

さて、$1$、$4$、$2$、$8$、$5$、$7$ と区切って足し算してみましょうか。

今回はさすがに

$$1+4+2+8+5+7=27$$

と $9$ にはなりませんね＾＾

…あれ？

$$2+7=9$$

なんと、$27$ を $2$ と $7$ に分けて足し算したら、またまた $9$ が出てきました。

以上が $2$ つ目の美しい性質です。

カプレカ数

まず、$142857$ を $2$ 乗してみます。

すると、$$142857×142857=20408122449$$

と $11$ 桁の数が作れます。

ここで、$5$ 桁、$6$ 桁に分けて足し算をすると…

$$20408+122449=142857$$

となり、$142857$ に戻ってきましたね。

このように「 $2$ 乗した数の前の部分と後ろの部分を分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる」ような数のことを“カプレカ数”と呼びます。

そんな数中々ないだろう、と思いきや、$$297^2=88209 → 88+209=297$$

など、カプレカ数は意外にも多いです。

これが $3$ つ目の美しい性質です。

[ふきだし set=”ウチダ”]実はカプレカ数の定義はもう一つあり、そちらの方が一般的です。詳しくは「カプレカ数とは？なぜ５桁はないの？【４桁「６１７４」の証明も解説】」の記事にて解説しております。興味のある方はぜひあわせてご覧ください。[/ふきだし]

142857のスゴイ性質の解説【なぜそうなるの？】

「性質を知っているだけでも十分に楽しい。」

そんな内容だったとは思いますが、一応解説できるところは解説してみます。

たとえば$$142857×7=999999$$となる理由。

これは意外にも簡単です。

↓↓↓

そう。$$\frac{1}{7}=0.142857142857…$$

これを利用します。

この式の両辺に $7$ をかけることで、$$1=0.999999999999…$$

となりますね。

ようは、 $142857$ は $1$ を $7$ で割ったときの循環部分だった、というわけです。

また、$\frac{1}{7}$ のように、規則性を保って循環するような小数のことを「循環小数(じゅんかんしょうすう)」と言います。

[ふきだし set=”ウチダ”]「 $1÷7$ が循環小数である。」この事実が重要でした。循環小数について理解を深めると、$142857$ に成り立つ性質が徐々にわかってくると思います。[/ふきだし]

142857の美しい性質についてもっと知りたいと思ったら？

本記事の要旨をもう一度まとめておきます。

• $142857$ は「巡回数(ダイヤル数)」「 $9$ が連続する数を作り出せる」「カプレカ数」の $3$ つの美しい性質を持つ。
• $1÷7$ が循環小数であることが深く関係している。

$142857$ の美しい性質について書かれた良書があります。

「もっと詳しく知りたい」という方は、これを機に勉強してみてはいかがですか。

以上です～。