解の公式の導出をわかりやすく証明!【bが偶数の場合や覚え方も問題を通して解説】

こんにちは、ウチダショウマです。
今日は、学生であれば必ず覚えてほしい

「二次方程式の解の公式」

について、導出をステップ毎に細かく分けてわかりやすく証明します!

また、 $b$ が偶数の場合の解の公式や、覚え方について僕の思うことなども、問題を通して解説していこうと思います!

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目次

解の公式とは?

まず、「二次方程式の解の公式とは何か」、一度確認しておきましょう。

(二次方程式の解の公式)
$a≠0$とする。このとき、次の二次方程式$$ax^2+bx+c=0$$の解は、$$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

これがいきなり出てきたとき、「えー、こんな長い式覚えるの…」って思いましたよね!

まあ、この式は必ず覚えなくてはこの先やっていけないほど重要な公式なので、覚えていただきたいのですが、ただ暗記するだけだとすぐに忘れてしまいます。

自分の好きなものや得意なものって、なんか覚えられますよね。

それは「記憶のチャンク化」といって、複数の事柄が自然と上手く頭の中で結びつけられているから、ずっと覚えていられるのです。

ですから、解の公式は一度自分の手で証明する必要があると思います!!

次の章から、ステップを7つに分けて証明していくので、まずは自分で証明を試みて、つまづいてしまったらヒントとしてみる、みたいに活用してみてください!

解の公式の証明ステップ1【移項】

早速やっていきましょう。

まず、$$ax^2+bx+c=0$$の中で、$x$がない項(つまり定数項)がありますね。

これを右辺に移項します。

すると、式は、$$ax^2+bx=-c$$となりました。

これでステップ1終了です!

解の公式の証明ステップ2【$a$をくくり出す】

次に、前回導いた式の、$x^2$の係数をくくり出します。

つまり、$$(左辺)=a(x^2+\frac{b}{a}x)$$

ここで注意してほしいのは、$b$から$a$を無理やりくくり出すには、$a$をかけて$\frac{1}{a}$をかければよい($a×\frac{1}{a}=1$なので、実際は何もしていない)ということです。

つまり、$$b=ab×\frac{1}{a}$$ということですね!

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解の公式の証明ステップ3【平方完成】

さて、ここのステップが一番難しいかつ一番重要です!

平方完成については他の記事がありますので、こちらをぜひご参考ください。↓↓↓

では、先程の式をまたいじくっていきますと、

\begin{align}a(x^2+\frac{b}{a}x)&=a\{(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2\}\end{align}

ここでつまづく方が多いと思われますので、詳しく見ていきます。

例えばですが、$x^2+2x$を平方完成するとき、$$(x+1)^2=x^2+2x+1$$この式を利用しますよね。

それと一緒で、係数が文字になったとしても、$x$の一次の項の係数の半分を用いるというのは変わりません。

よって、$$\frac{b}{a}÷2=\frac{b}{2a}$$なので、上のような式になるのです。

※ここで、$a\{~\}$の{}を忘れてしまう方がめっっっっちゃくちゃ多いです!かっこを外すときは何をしなければならないんでしたっけ…。次のステップで行いますが、ここはマジで注意してください!!ケアレスミスを防ぐことで数学力は間違いなく上がります!!

解の公式の証明ステップ4【$a$を分配する】

かっこを外すときは、分配法則で分配しなければならない!!

これ、本当によく忘れる方がめちゃくちゃ多いので、注意してください!!

平方完成のミスは、大体ここからくると思います。

ちなみに、分配法則というのが何だったかというと、$$2(x+3)=2x+6$$という風に、「 $2$ を $x$ と $+3$ それぞれにかけて足すことができる」という計算上の法則でしたね。

分配法則に関する記事はこちらから!!

⇒⇒⇒ 分配法則のやり方とは?小学生でもわかる教え方(説明)や証明を解説!【分数や割り算も考察】

ですから、前回のステップの式をまた変形すると、

\begin{align}a\{(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2\}&=a(x+\frac{b}{2a})^2-a\frac{b^2}{4a^2}\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}\end{align}

※この数式は横に少しだけスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

一行目から二行目の変形は、$$a×\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a}$$と、ただ$a$を約分しただけです。

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解の公式の証明ステップ5【「2乗=~」の式を作る】

さて、今までさんざん式変形を行ってきました。

整理すると、$$ax^2+bx=-c$$の左辺だけをいじくったら、$$(左辺)=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}$$という式が導けたので、最初の左辺にこの式を代入すると、$$a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}=-c$$となりました。

ここで、なんでこんな操作を行ってきたかというと…

「$( )^2=~$」の式を作りたい!!

という目的があったのですね!(なぜこういう目的なのかは次のステップで明らかになります。)

ですので、左辺の「$( )^2$」以外の部分を全部右辺に移項してしまいましょう。

すると、

\begin{align}a(x+\frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2}{4a}-c\\&=\frac{b^2-4ac}{4a}\end{align}
となります。

一行目から二行目の変形は、$$c=\frac{4ac}{4a}$$と分母をそろえる、つまり「通分」しただけです。

また、左辺の「$( )^2$」の前に「$a$」という係数がついていて、これが邪魔なので、両辺を$a$で割りましょう。

すると、$$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$となりましたね!(なんか、見慣れた公式の形に近づいてきましたね!)

では、超重要な次のステップにまいりましょう。

解の公式の証明ステップ6【2乗を外す】

$x^2=a$のとき、$x=±\sqrt{a}$(ただし、$a$は0以上。)

このように、方程式であれば、両辺にルートをつけることができますね!

(ただし、これは「=」のときのみです。「<」や「>」いわゆる不等式の場合に、何も考えなしにこれをやると、先生に怒られるのでやめておきましょう(笑)。)

よって、先程の式の両辺にルートをつけることで、

\begin{align}x+\frac{b}{2a}&=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\\&=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}
となります。

ここで、±をつけるのを忘れないようにしましょう。

(補足)
「$b^2-4ac$は常にプラスの数なの…?」と思った方は勘が鋭いですね。中学校の範囲ではここがプラスになるものしか扱いませんが、高校1年生になるとマイナスのものも出てきます。そのときは「実数解がない」という表現をします。さらに高校2年生になると「虚数」という数を新しく定義して、無理やり解があることにします。このように徐々にステップアップしていくので、今のうちに基本はしっかり定着させておきましょう。

解の公式の証明ステップ7【終わり】

最後の変形は、至って単純。

そう、左辺の「$x$」以外の項を右辺に移項させて終わりですね。

つまり、

\begin{align}x&=-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}

(終了)

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長い道のりでしたけど、一つ一つ細かく分けていたからというのもありますし、一つ一つのステップはそんなに難しいことはしてないですよね。

ただ、難しくないことでも組み合わさるといかにも複雑なように見えてしまうときがあります。

ですが、式変形を行っていくうえでちょくちょく出てきたポイントをしっかり押さえておけば、いつでも解の公式を導けるようになると思います。

ぜひ、自分の手で証明ができるまで、一つ一つ丁寧に理解していきましょうね^^

$x$の一次の項の係数が偶数である場合の解の公式

さて、解の公式にはもう一つの形があります。

先に紹介します。

(解の公式バージョン2)
$a≠0$とする。また、$b=2b’$と表せる。このとき、次の二次方程式$$ax^2+bx+c=0$$の解は、$$x=\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}$$

これを覚えるべき派と覚えなくていい派がありますが、僕は絶対に覚えるべきだと思います

この式の構造は至って単純で、先ほど導いた解の公式に$$b=2b’$$を代入するだけで導出することができます。

一応やると、

\begin{align}x&=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b’±\sqrt{(2b’)^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b’±\sqrt{4b’^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b’±\sqrt{4(b^2-ac)}}{2a}\\&=\frac{-2b’±2\sqrt{b’^2-ac}}{2a}\\&=\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}\end{align}

(終了)

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丁寧に式変形しているので、長く感じるかもしれませんが、ようは$$2で約分できる$$ということですね。

では最後に、実際に解の公式を使ってみましょう。

解の公式を用いた問題

問題.次の二次方程式の解を求めよ。
(1) $3x^2-5x-4=0$
(2) $5x^2+8x+2=0$

このように、因数分解ができそうにない二次方程式の場合、解の公式を使います。

【解】

(1) $a=3,b=-5,c=-4$を解の公式に代入すると、$$x=\frac{5±\sqrt{25+48}}{2×3}=\frac{5±\sqrt{73}}{6}$$

(2) $a=5,b’=4,c=2$を解の公式バージョン2に代入すると、$$x=\frac{-4±\sqrt{16-10}}{5}=\frac{-4±\sqrt{6}}{5}$$

(終了)

「$\sqrt{73}$がこれ以上簡単にならない理由」についてはこちら

⇒参考.「エラトステネスのふるいとは?新たな素数の発見に役立つ方法をわかりやすく解説!

因数分解ができそうなときは、解の公式を使うのは時間がかかるのでやめましょうね。

解の公式に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は、二次方程式の解の公式の導出を丁寧に証明し、バージョン2の使い道も問題を通して見てきました。

解の公式を覚える上でのポイントは

  • 自分の手で証明できるようになるまで理解する
  • ひたすら解の公式を使う問題を解く

2つ目は勉強していれば自然と行うと思うので、ぜひ1つ目のポイントをやってみてください。

すると、前半でも言いましたが、記憶が「チャンク化」されて定着がよくなります

この勉強法はあらゆる科目で有効なので、ぜひマスターしておきましょうね^^

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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