二次関数のグラフの平行移動とは?【公式や応用問題3選をわかりやすく解説】

こんにちは、ウチダショウマです。

数学Ⅰ「二次関数」の単元は、本当に覚えることが多いです。

その中でも、「平行移動(へいこういどう)・対称移動(たいしょういどう)」に関する内容は、二次関数以外の関数でも役に立つため、数学Ⅱ・数学Ⅲでも出てくる重要な知識です。

数学太郎のアイコン画像数学太郎

そしたら今のうちに理解しておいた方が良いよね。でも、平行移動の公式の成り立ちがよくわからないんだよなぁ。

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平行移動に関する応用問題が解けるようになりたいです。

よって本記事では、グラフの平行移動の公式(なぜ $+p$ 移動するとき $x-p$ を代入するのか)から、平行移動の応用問題3選の解き方まで

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • 現在プロの塾講師

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

二次関数のグラフの平行移動とは?【マイナスに注意!】

平行移動の公式は以下の通り。

$y=f(x)$ のグラフを、$x$ 軸方向に $+p$,$y$ 軸方向に $+q$ だけ平行移動したグラフは、$y-q=f(x-p)$ と表すことができる!

ここでの最大のポイントは、

  • $x$ 軸方向に $+p$ 平行移動 → $x$ の代わりに $x-p$ を使う。
  • $y$ 軸方向に $+q$ 平行移動 → $y$ の代わりに $y-q$ を使う。

と、$+p$ なのに $x-p$ のような、符号の逆転現象が起きている、という点です。

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ここがよくわからないです! $+p$ だけ動かしたいんだから、$x+p$ を入れれば良いんじゃないの?

ここで、上記のように悩んでしまって理解できない、という方が非常に多いように感じます。

なので、逆に言うとこの事実さえしっかり理解できれば、平行移動および対称移動の問題は楽勝も同然なのです。

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ということで、ここからは $2$ つの考え方で、平行移動の公式を解説していきます。ぜひ、自分に合った方法で理解しましょう!

平行移動の公式の解説その1【頂点で考える】

二次関数の大きな特徴として、

  • 必ず頂点が存在する。
  • 頂点の座標は、平方完成をすることによって簡単に求まる。

これらがありました。

では、これらの事実を利用して、一度頂点に着目して平行移動を考えてみましょう。

例題1.二次関数 $y=x^2 …①$ のグラフを、$x$ 軸方向に $+1$,$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動したグラフの方程式を求めなさい。

この問題を、頂点の移動で考えていきます。

平行移動してもグラフの形は変わらないため、グラフの形を決める係数 $a$ の値は同じです。

それを踏まえた上で”頂点の移動のみ”に着目しても、以上のように公式が導ける、というわけですね。

グラフの平行移動の公式を、頂点の移動で考える
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たしかに、こういう風に逆算して考えれば、平行移動の公式が正しい理由がわかりますね。

ウチダのアイコン画像ウチダ

数学が嫌いになる原因の一つとして「証明がわからない」というのがあります。無理して証明を覚えるくらいなら、以上のように「証明ではないけれども感覚で理解しておくこと」の方が大切だと、私は思いますね。

この章で使った予備知識に関する詳しい解説は、こちらをご覧ください。

平行移動の公式の解説その2【一般的に証明する】

さて、解説その1では感覚的に理解することを目的としていました。

解説その2では、しっかりと一般的に証明していきたいと思います。

証明のための準備:関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $( \ x \ , \ y \ )$ を、$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させたら、点 $( \ X \ , \ Y \ )$ に移動したと仮定する。

上記のように、まずは前提条件をハッキリしておきましょう。

今回で言えば、

  1. 平行移動する前の点の座標 … $( \ x \ , \ y \ )$
  2. 平行移動した後の点の座標 … $( \ X \ , \ Y \ )$
  3. 使える条件式 … $y=f(x)$

以上 $3$ つが前提であり、ここから $X$,$Y$ についての関係式を作っていきます。

ではいよいよ、平行移動の公式の証明です。

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なるほど。使える条件が少ないから、必然的に証明もシンプルになるね。でも、大文字の $X$ や $Y$ が何となくひっかかるなぁ。

ウチダのアイコン画像ウチダ

大文字の $X$,$Y$ で考えたのは、小文字の $x$,$y$ と区別するためです。そもそも、「 $x$ 軸・$y$ 軸」というのも一種の決まり事なので、たとえば「 $a$ 軸・$b$ 軸」とかでも問題はないわけです。

証明は意外とシンプルなのですが、慣れていないと「ん?」と思うようなロジックなんですね。

ここの論理については、数学Ⅱ「軌跡」の単元で詳しく学習しますので、よくわからない方は「とりあえず証明はこんな感じなんだな~」という雰囲気だけでも押さえておきましょう。

軌跡とは~(準備中)

【補足】グラフの対称移動とは?

グラフの対称移動とは?

関数 $y=f(x)$ に対して、
① $x$ 軸に関して対称なグラフ:$-y=f(x)$ すなわち $y=-f(x)$
② $y$ 軸に関して対称なグラフ:$y=f(-x)$
③ 原点に関して対称なグラフ:$-y=f(-x)$ すなわち $y=-f(-x)$

さて、グラフの平行移動の他にもう一つ「グラフの対称移動」というものがありますが、平行移動の公式が理解できれば、こちらは自然と理解できるかと思います。

ちょっと図で確認してみましょうか。

グラフの対称移動の公式(マイナスを付けるだけ!)

$x$ 軸に関して対称移動したグラフ同士の図を見ればわかる通り、$y$ → $-y$ と変えればOKですよね。

他の場合は省略しますが、対称移動の場合は「 $-$ を付けるか否か」だけなので、単純に考えてしまいましょう。

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ただし「 $x$ 軸に関して対称だから $x$ を $-x$ に変えればいい!」みたいな発想はNGです。しっかりと図を書くことで、$x$ 座標は変化しないことが見てわかりますよね。

どっちにマイナスを付けるか」という風に混乱した場合でも、図を書いてみれば一目瞭然です。

一刻も早く、暗記学習から抜け出しましょう。

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二次関数のグラフの平行移動・対称移動に関する応用問題3選

基本はこれでマスターできましたので、ここからは復習もかねて、応用問題を $3$ 問解いていきます。

問1.基本問題を2通りの方法で

問題1.放物線 $y=-x^2+2x-3 …①$ を、$x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めなさい。

一番オーソドックスな問題ですが、公式の解説でも考えたように、「頂点の移動」に着目しても解けます。

最初ということで、一応 $2$ 通りの方法で解説していきます。

「頂点の移動で考える方法」「平行移動の公式を使う方法」どちらにも良さがあるため、一概に「こっちの方がオススメ!」とは言えません。

なので、ぜひ自分に合った解法を選ぶようにしてみてください。

問2.逆の平行移動

問題2.ある放物線 $A$ を、$x$ 軸方向に $-1$,$y$ 軸方向に $+2$ だけ平行移動したら、放物線 $y=2x^2+3x-4$ になった。放物線 $A$ の方程式を求めなさい。

次は、今までとは逆の考え方が必要な問題です。

ただ、この問題もある事実に気づいてしまえば、あとは平行移動の公式を使ってラクに解くことができます。

ぜひ、考えてみてから解答をご覧ください。

ちなみに、問題2も頂点の移動で解くことも可能ですが、今回頂点の座標に分数が出てきてしまうため、計算が大変です。

こういった問題にも対応できるようになりたい方は、平行移動の公式を使える方が良いですね!

問3.平行移動・対称移動の混ざった問題

問題3.ある放物線 $B$ を、$x$ 軸方向に $+2$,$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した後、原点に関して対称移動したら、放物線 $y=2x^2-6x+7$ になった。放物線 $B$ の方程式を求めなさい。

さて最後は、問題2に対称移動が混ざったバージョンです。

この問題も逆の移動を考える必要があります。

では解いていきましょう。

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これは公式を使わないと厳しそうですね!ところで、もし移動の順番を逆にしてしまうとどうなるんですか?

ウチダのアイコン画像ウチダ

それはもちろん、全く別の放物線になります。図で確認しておきましょうか!

平行移動・対称移動の順番が変わると、答えも異なる例

対称移動は平行移動と違って、「いつも一定の変化をする移動ではない」ため、このようなことが起きてしまうのですね。

ウチダのアイコン画像ウチダ

仮に平行移動→平行移動の問題であれば、順番が逆になっても問題はありません。これは自分で問題を作ってみて、図を書いて確認してみてください。

二次関数のグラフの平行移動に関するまとめ

それでは最後に、本記事のポイントをまとめます。

  1. $x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するには、$x$ → $x-p$,$y$ → $y-q$ に置き換えればOK!
  2. 平行移動の公式の証明は以下の2通り。
    1. 二次関数のグラフ」の頂点の移動に着目しても説明できる
    2. 一般的に証明するには、数学Ⅱ「軌跡」の知識があった方が良いです。
  3. 平行移動・対称移動が混ざった問題は、移動の順番がごっちゃにならないように注意しよう!

平行移動・対称移動の知識は、どんな関数のグラフであっても使えるので、ぜひこの機会に押さえておきましょう。

数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。

おわりです。

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