こんにちは、ウチダショウマです。
さて、角度 θ（シータ）に対し定義される”三角比”という値には、「サインコサインタンジェント（sin cos tan）」の $3$ 種類があります。
ふつうの定義と覚え方は図の通りです。
それぞれの 頭文字「s」「c」「t」の筆記体とリンクさせることで覚えやすくなります。
今の高校生は筆記体こそ習いませんが、大体この覚え方を勉強しているのではないでしょうか。
数学太郎これ以外にも覚え方があるんですか？詳しく知りたいです！
よって本記事では、サインコサインタンジェント（sin cos tan）のより良い覚え方について
- 東北大学理学部数学科卒業
- 実用数学技能検定１級保持
- 高校教員→塾の教室長の経験あり
の僕がわかりやすく解説します。
サインコサインタンジェント（sin cos tan）を「本質的かつわかりやすく」定義しよう！
まず、皆さんに質問したいと思います。
そもそも「サインコサインタンジェント（sin cos tan）」とは、何を表しているのでしょうか？
数学花子う～ん。角度θが決まると sin cos tan も決まりますけど、「何を表す」って言われると難しいです。
ウチダこれ、意外と見落としがちなんですけど、サインコサインタンジェントは“三角比”なんです。つまり、「ある三角形の辺と辺の比」を表しているのです。
サインコサインタンジェントの定義や覚え方にとらわれすぎると、「辺と辺の比を表す」という重要な事実を見失ってしまいます。
注意しましょう。
さて、では次に考えるべきなのは、「どういう三角形の辺と辺の比なのか」ですよね。
その2【どういう三角形の何と何の比なのか】
まず、定義をする際、「直角三角形」を用いたと思います。
ですから、三角比というのは
「直角三角形の〇〇と□□の比」
なわけです。
では肝心の〇〇と□□にはそれぞれ何が入るのか…
それが初めに確認した「斜辺」やら「高さ」やら「底辺」なわけですが…
- 分数だから覚えにくい
- サイン、コサイン、タンジェントという風に定義が3つあってどれがどれだか忘れる
このような感覚を持つと思います。
そこで、今日の話で一番重要になってくる考え方をしてみましょう。
その3【斜辺を1に拡大または縮小する】
図形を拡大または縮小したところで相似な図形ができるので、辺と辺の比は変わりません。
ここがポイントです！(どんなに拡大または縮小したところで、角度θも直角も変わりませんよね。)
ですから、「斜辺が１の直角三角形」で考えても定義は同じになることがわかります。
すると、sin,cosの定義はこのようになります。
$$\sin θ=\frac{高さ}{斜辺}=\frac{高さ}{1}={高さ}$$
$$\cos θ=\frac{底辺}{斜辺}=\frac{底辺}{1}={底辺}$$
いかがでしょうか。
すごいシンプルな定義になりましたね！
つまり、sin,cosの意味するところは、
直角三角形の斜辺を１に拡大または縮小したときの高さ(sin)または底辺
ということがわかりました！
同じ風にtanについても考えれば、tanは分母が「底辺」なので…
$$tanθ=\frac{高さ}{底辺}=\frac{高さ}{1}={高さ}$$
となりますから、
直角三角形の底辺を１に拡大または縮小した時の高さ
ということになりますね！
例題を解いてみよう！
では、実際にこんな問題を解いてみましょう。
例題１.斜辺が $5$、底角が $30°$ の直角三角形の高さ、底辺を求めよ。
まずこれを図にしてみましょう。
底角というのは、文字通り「底辺の角度」ということです。
これは中でも特殊な三角形ですので、「1:2:$\sqrt{3}$」を使えば簡単に導けますが、ここではsin,cosを使って解いてみましょう。
いいですね～。それではもう一問いってみましょう！
例題２.底辺が $\displaystyle \frac{1}{2}$、底角が $60°$ の直角三角形の高さ、斜辺を求めよ。
まずは図にしてみます。
今回は底辺が与えられているので、tanを用いて高さを求めてみましょう。
ウチダ解答中に出てきました「三平方の定理」については、以下の記事で詳しく解説しておりますので、よろしければあわせてご覧ください♪
サインコサインタンジェントの覚え方
さあ、いよいよ覚え方です！
サイン(sin)は、「たかサイン(高さ+sin)」
コサイン(cos)は、「よコサイン(横(底辺)+cos)」
…別にここはシベリアでも北極でもないですよ！
スベってないです。(笑)
冗談はさておき、このように「語呂で覚える」というのは実は理にかなっていたりします。
一番いいと言われているのは、「自分で語呂を作る」ことですが、もし覚えやすいなと感じた方は、ぜひこの語呂を活用してみてください！
ウチダtanについては語呂は作りませんでしたが、tanはsin,cosほどは使いません。なのでとりあえずsin,cosの語呂だけでも覚えておけば十分だと思いますよ。
サインコサインタンジェントに関するまとめ
いかがでしたか？
最後に、本記事のポイントをまとめます。
- サイン(sin) …直角三角形の斜辺を $1$ に拡大または縮小したときの高さ
- コサイン(cos) …直角三角形の斜辺を $1$ に拡大または縮小したときの底辺
- タンジェント(tan) …直角三角形の底辺を $1$ に拡大または縮小したときの高さ
そして、いい覚え方は…
- サイン(sin) …たかサイン(高さ+サイン)
- コサイン(cos) …よコサイン(横+コサイン)
でした！
sin , cos , tanはこれからずーっとお世話になるので、ぜひこの記事で基本を押さえておきましょう＾＾
ウチダちなみに「なぜ日本語では”正弦””余弦””正接”と呼ぶのか」知っていますか？この機会にあわせて理解していただければ幸いです！
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