サインコサインタンジェント(sin cos tan)とは何を表す?【良い覚え方を紹介】

こんにちは、ウチダショウマです。

さて、角度 θ(シータ)に対し定義される”三角比”という値には、「サインコサインタンジェント(sin cos tan)」の $3$ 種類があります。

ふつうの定義と覚え方は図の通りです。

それぞれの 頭文字「s」「c」「t」の筆記体とリンクさせることで覚えやすくなります。

今の高校生は筆記体こそ習いませんが、大体この覚え方を勉強しているのではないでしょうか。

数学太郎のアイコン画像数学太郎

これ以外にも覚え方があるんですか?詳しく知りたいです!

よって本記事では、サインコサインタンジェント(sin cos tan)のより良い覚え方について

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • 現在プロの塾講師

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

サインコサインタンジェント(sin cos tan)を「本質的かつわかりやすく」定義しよう!

まず、皆さんに質問したいと思います。

そもそも「サインコサインタンジェント(sin cos tan)」とは、何を表しているのでしょうか?

数学花子のアイコン画像数学花子

う~ん。角度θが決まると sin cos tan も決まりますけど、「何を表す」って言われると難しいです。

ウチダのアイコン画像ウチダ

これ、意外と見落としがちなんですけど、サインコサインタンジェントは“三角比”なんです。つまり、「ある三角形の辺と辺の比」を表しているのです。

サインコサインタンジェントの定義や覚え方にとらわれすぎると、「辺と辺の比を表す」という重要な事実を見失ってしまいます。

注意しましょう。

さて、では次に考えるべきなのは、「どういう三角形の辺と辺の比なのか」ですよね。

その2【どういう三角形の何と何の比なのか】

まず、定義をする際、「直角三角形」を用いたと思います。
ですから、三角比というのは

「直角三角形の〇〇と□□の比」

なわけです。

では肝心の〇〇□□にはそれぞれ何が入るのか…

それが初めに確認した「斜辺」やら「高さ」やら「底辺」なわけですが…

  • 分数だから覚えにくい
  • サイン、コサイン、タンジェントという風に定義が3つあってどれがどれだか忘れる

このような感覚を持つと思います。
そこで、今日の話で一番重要になってくる考え方をしてみましょう。

その3【斜辺を1に拡大または縮小する】

図形を拡大または縮小したところで相似な図形ができるので、辺と辺の比は変わりません。

ここがポイントです!(どんなに拡大または縮小したところで、角度θも直角も変わりませんよね。)

ですから、「斜辺が1の直角三角形」で考えても定義は同じになることがわかります。

すると、sin,cosの定義はこのようになります。

$$sinθ=\frac{高さ}{斜辺}=\frac{高さ}{1}={高さ}$$

$$cosθ=\frac{底辺}{斜辺}=\frac{底辺}{1}={底辺}$$

いかがでしょうか。
すごいシンプルな定義になりましたね!

つまり、sin,cosの意味するところは、

直角三角形の斜辺を1に拡大または縮小したときの高さ(sin)または底辺(cos)

ということがわかりました!

同じ風にtanについても考えれば、tanは分母が底辺なので…

$$tanθ=\frac{高さ}{底辺}=\frac{高さ}{1}={高さ}$$

となりますから、

直角三角形の底辺を1に拡大または縮小した時の高さ(tan)

ということになりますね!

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例題を解いてみよう!

では、実際にこんな問題を解いてみましょう。

例題1.斜辺が5、底角が30°の直角三角形の高さ、底辺を求めよ。

まずこれを図にしてみましょう。

底角というのは、文字通り「底辺の角度」ということです。

これは中でも特殊な三角形ですので、「1:2:$\sqrt{3}$」を使えば簡単に導けますが、ここではsin,cosを使って解いてみましょう。

【解】 斜辺が1の直角三角形の高さはsinθ、底辺はcosθで表せるので、
$$高さ=sin30°×5=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$$

\begin{align}底辺&=cos30°×5\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}×5\\&=\frac{5\sqrt{3}}{2}\end{align}

(終了)

いいですね~。それではもう一問いってみましょう!

例題2.底辺が$\frac{1}{2}$、底角が60°の直角三角形の高さ、斜辺を求めよ。

まずは図にしてみます。

今回は底辺が与えられているので、tanを用いて高さを求めてみましょう。

【解】
底辺が1の直角三角形の高さはtanθで表せるので、

\begin{align}高さ&=tan60°×\frac{1}{2}\\&=\sqrt{3}×\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}

まずこれで高さを求めることができました。

次に斜辺ですが、これは「ピタゴラスの定理(三平方の定理)」を用いれば簡単に求めることができます。

【解つづき】
$$(斜辺)^2=(底辺)^2+(高さ)^2より、$$
$$(斜辺)^2=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$
$$(斜辺)>0より、斜辺=1$$
(終了)

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サインコサインタンジェントの覚え方

さあ、いよいよ覚え方です!

サイン(sin)は、「たかサイン(高さ+sin)」
コサイン(cos)は、「よコサイン(横(底辺)+cos)」

…別にここはシベリアでも北極でもないですよ!
スベってないです。(笑)

冗談はさておき、このように「語呂で覚える」というのは実は理にかなっていたりします。
一番いいと言われているのは、「自分で語呂を作る」ことですが、もし覚えやすいなと感じた方は、ぜひこの語呂を活用してみてください!
(tanについては語呂は作りませんでしたが、tanはsin,cosほどは使いません。なのでとりあえずsin,cosの語呂だけでも覚えておけば十分だと思います。)

サインコサインタンジェントに関するまとめ

いかがだったでしょうか。
今日のポイントをまとめます。

サイン(sin)…直角三角形の斜辺を1に拡大または縮小したときの高さ

コサイン(cos)…直角三角形の斜辺を1に拡大または縮小したときの底辺

タンジェント(tan)…直角三角形の底辺を1に拡大または縮小したときの高さ

そして、いい覚え方は…

サイン(sin)…たかサイン(高さ+サイン)

コサイン(cos)…コサイン(横+コサイン)

でした!

ちなみに、「なぜ日本語読みでは正弦余弦正接となるか」については以下の記事で詳しく解説していますので、よろしければそちらもぜひ参考にしてください。

↓↓↓

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