こんにちは、ウチダショウマです。
さて、角度 θ（シータ）に対し定義される”三角比”という値には、「サインコサインタンジェント（sin cos tan）」の $3$ 種類があります。
ふつうの定義と覚え方は図の通りです。
それぞれの 頭文字「s」「c」「t」の筆記体とリンクさせることで覚えやすくなります。
今の高校生は筆記体こそ習いませんが、大体この覚え方を勉強しているのではないでしょうか。
数学太郎これ以外にも覚え方があるんですか？詳しく知りたいです！
よって本記事では、サインコサインタンジェント（sin cos tan）のより良い覚え方について
- 東北大学理学部数学科卒業
- 教員採用試験１発合格 → 高校教諭経験アリ
- 現在プロの塾講師
の僕がわかりやすく解説します。
サインコサインタンジェント（sin cos tan）を「本質的かつわかりやすく」定義しよう！
まず、皆さんに質問したいと思います。
そもそも「サインコサインタンジェント（sin cos tan）」とは、何を表しているのでしょうか？
数学花子う～ん。角度θが決まると sin cos tan も決まりますけど、「何を表す」って言われると難しいです。
ウチダこれ、意外と見落としがちなんですけど、サインコサインタンジェントは“三角比”なんです。つまり、「ある三角形の辺と辺の比」を表しているのです。
サインコサインタンジェントの定義や覚え方にとらわれすぎると、「辺と辺の比を表す」という重要な事実を見失ってしまいます。
注意しましょう。
さて、では次に考えるべきなのは、「どういう三角形の辺と辺の比なのか」ですよね。
その2【どういう三角形の何と何の比なのか】
まず、定義をする際、「直角三角形」を用いたと思います。
ですから、三角比というのは
「直角三角形の〇〇と□□の比」
なわけです。
では肝心の〇〇と□□にはそれぞれ何が入るのか…
それが初めに確認した「斜辺」やら「高さ」やら「底辺」なわけですが…
- 分数だから覚えにくい
- サイン、コサイン、タンジェントという風に定義が3つあってどれがどれだか忘れる
このような感覚を持つと思います。
そこで、今日の話で一番重要になってくる考え方をしてみましょう。
その3【斜辺を1に拡大または縮小する】
ここがポイントです！(どんなに拡大または縮小したところで、角度θも直角も変わりませんよね。)
ですから、「斜辺が１の直角三角形」で考えても定義は同じになることがわかります。
すると、sin,cosの定義はこのようになります。
$$sinθ=\frac{高さ}{斜辺}=\frac{高さ}{1}={高さ}$$
$$cosθ=\frac{底辺}{斜辺}=\frac{底辺}{1}={底辺}$$
いかがでしょうか。
すごいシンプルな定義になりましたね！
つまり、sin,cosの意味するところは、
ということがわかりました！
同じ風にtanについても考えれば、tanは分母が「底辺」なので…
$$tanθ=\frac{高さ}{底辺}=\frac{高さ}{1}={高さ}$$
となりますから、
ということになりますね！
例題を解いてみよう！
では、実際にこんな問題を解いてみましょう。
まずこれを図にしてみましょう。
底角というのは、文字通り「底辺の角度」ということです。
これは中でも特殊な三角形ですので、「1:2:$\sqrt{3}$」を使えば簡単に導けますが、ここではsin,cosを使って解いてみましょう。
【解】 斜辺が1の直角三角形の高さはsinθ、底辺はcosθで表せるので、
$$高さ=sin30°×5=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$$
(終了)
いいですね～。それではもう一問いってみましょう！
まずは図にしてみます。
今回は底辺が与えられているので、tanを用いて高さを求めてみましょう。
【解】
底辺が1の直角三角形の高さはtanθで表せるので、
まずこれで高さを求めることができました。
次に斜辺ですが、これは「ピタゴラスの定理(三平方の定理)」を用いれば簡単に求めることができます。
【解つづき】
$$(斜辺)^2=(底辺)^2+(高さ)^2より、$$
$$(斜辺)^2=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$
$$(斜辺)>0より、斜辺=1$$
(終了)
サインコサインタンジェントの覚え方
さあ、いよいよ覚え方です！
コサイン(cos)は、「よコサイン(横(底辺)+cos)」
…別にここはシベリアでも北極でもないですよ！
スベってないです。(笑)
冗談はさておき、このように「語呂で覚える」というのは実は理にかなっていたりします。
一番いいと言われているのは、「自分で語呂を作る」ことですが、もし覚えやすいなと感じた方は、ぜひこの語呂を活用してみてください！
(tanについては語呂は作りませんでしたが、tanはsin,cosほどは使いません。なのでとりあえずsin,cosの語呂だけでも覚えておけば十分だと思います。)
サインコサインタンジェントに関するまとめ
いかがだったでしょうか。
今日のポイントをまとめます。
サイン(sin)…直角三角形の斜辺を1に拡大または縮小したときの高さ
コサイン(cos)…直角三角形の斜辺を1に拡大または縮小したときの底辺
タンジェント(tan)…直角三角形の底辺を1に拡大または縮小したときの高さ
そして、いい覚え方は…
サイン(sin)…たかサイン(高さ+サイン)
コサイン(cos)…よコサイン(横+コサイン)
でした！
ちなみに、「なぜ日本語読みでは正弦余弦正接となるか」については以下の記事で詳しく解説していますので、よろしければそちらもぜひ参考にしてください。
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関連記事
三角比の正弦余弦正接ってどういう意味？サインコサインタンジェントに簡単に結び付けられる覚え方のコツとは？
それでは、ウチダショウマでした。
皆さん、よい数学Lifeを！！
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