三角比の正弦余弦正接ってどういう意味？【sin・cos・tanに結びつく覚え方のコツ】

こんにちは、ウチダです。

今回は「三角比」、いわゆる「サイン、コサイン、タンジェント」の日本語読み

「正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)」

について、なぜそのような日本語をあてるのか、簡単に結び付けられる覚え方を解説していきます。

正弦余弦正接？覚えづらい！

皆さん、三角比を習い始めた当初、不思議ではありませんでしたか？

そう感じた方も少なからずいると思います。

これについて学校の授業で詳しく解説してしまうと、授業の時間が足りなくなってしまったり、もっと深く掘り下げたい内容を扱えなくなってしまったり、いろいろと大変です。

ウチダ

学校には学習指導要領なる、いわゆるマニュアルみたいなものがあり、それがなかなかキツキツの時間設定なんですよね～(^_^;)

だから授業であまり取り上げられることがありません。

ですので皆さん、これらの言葉については

• 特に意味はないけどそういう名前がつけられているから覚えよう…
• 何となくでいいから覚えよう…

そう思っているのではないでしょうか。

そこで、今日の記事を読めば、

この疑問があっさり解決すると思いますので、ぜひ読み進めていって深い理解につなげてください。

正弦と余弦と正接の意味【正角と余角の定義】

まず図のように「斜辺が $1$ の直角三角形」を用意します。

この図において「正角(せいかく)」と「余角(よかく)」を定義していきましょう。

• 正角：今まさに注目している角度。
  • この場合だと「$θ$」のこと。
• 余角：二つの角の和が直角であるとき、正角ではない方の角度。
  • この場合だと「$90°-θ$」のこと。

正角とわざわざ言うことはあまりないですが、余角という言葉はたまに出てくる時があるので、一応覚えておきましょう。

手順1【外接円を書く】

図のように、直角三角形の外接円を書きます。

この定理は数学A「図形の性質」で”外心”を学ぶときに習います。

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また、円周角の定理より、中心は必ず斜辺上に存在します。

【証明】
$∠ACB=90°$より、$∠AOB=90°×2=180°$
よって、線分ABは円Oの直径である。
(証明終了)

ウチダ

円周角の定理については「円周角の定理とは？【必ず押さえたい７つのポイント】」の記事にて詳しく解説しております。

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手順2【定義通りにsinとcosを求める】

さて、「なぜ正弦(sin)、余弦(cos)というのか」については早速結論が出ます。

図のように、線分AC,線分BCの長さを定義通りに求めます。

すると、$$線分BC=\sin θ、線分AC=\cos θ$$となるわけです！

「どうしてこのように求められるかわからない…」という方は、以下の記事をぜひ参考にしてください。

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よって、

ということがいえますね！
※ここでは「対する」≒「向かいに存在する」という意味で使用しています。

それでは最後に、「正接(tan)」についても見ていきましょう！

手順3【点Bに対して接線を引いてみる】

図のように、点Bに対して接線を引き、半直線ACとの交点をDとします。

ここで先に結論を述べてしまいますと…

つまり、$線分BD=tanθ$になるんですね！

これ、不思議ですよね！

ですが、この証明はそれほど難しくありません。

しかし、認めなければならない事実が一つありますので、そちらをまず紹介します。

つまり図でいうところの「赤の角度」が90°になるよ、ということです。

ウチダ

これは中学校1年生で習いますが、厳密に証明しようとすると意外と大変なのです！当たり前の中に難しいことって、意外と隠れてますよね。

ですのでここでは省略。

認めて証明に入っていきましょう

【証明2】定義通りに求める方法

図のように、直角三角形ABDを反転させる。

(sin,cos,tanの求め方に慣れている方はやらなくて大丈夫です。)

ここで、tanの定義通りに式を立てると、

$$\tan θ=\frac{高さ}{底辺}=\frac{BD}{AB}=BD$$

※ $AB=1$ を代入しました。

(証明終了)

正弦余弦正接に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

もう一度結論だけまとめます。

sin(正弦)…正角に対する弦の長さ
cos(余弦)…余角に対する弦の長さ
tan(正接)…正角に対する接線の長さ
※ただしこれは、斜辺が $1$ の直角三角形で考えたとき、です。

理解していれば言葉の定義もスッと胸に入ってきますね！

今回のように、言葉の意味についてもしっかりと考察し、数学力を極めていきましょう♪

おわりです。