三角比の正弦余弦正接ってどういう意味?【sin・cos・tanに結びつく覚え方のコツ】

こんにちは、ウチダショウマです。

今回は「三角比」、いわゆる「サイン、コサイン、タンジェント」の日本語読み

「正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)」

について、なぜそのような日本語をあてるのか、簡単に結び付けられる覚え方を解説していきます。

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目次

正弦余弦正接?覚えづらい!

皆さん、三角比を習い始めた当初、不思議ではありませんでしたか?

なんで正弦・余弦・正接なんて言い方をするのだろう…

そう感じた方も少なからずいると思います。

これについて学校の授業で詳しく解説してしまうと、授業の時間が足りなくなってしまったり、もっと深く掘り下げたい内容を扱えなくなってしまったり、いろいろと大変です。

ウチダ

学校には学習指導要領なる、いわゆるマニュアルみたいなものがあり、それがなかなかキツキツの時間設定なんですよね~(^_^;)

だから授業であまり取り上げられることがありません。

ですので皆さん、これらの言葉については

  • 特に意味はないけどそういう名前がつけられているから覚えよう…
  • 何となくでいいから覚えよう…

そう思っているのではないでしょうか。

そこで、今日の記事を読めば、

なるほど!だから日本語ではそういう言い方をするのか!

この疑問があっさり解決すると思いますので、ぜひ読み進めていって深い理解につなげてください。

正弦と余弦と正接の意味【正角と余角の定義】

まず図のように「斜辺が $1$ の直角三角形」を用意します。

この図において「正角(せいかく)」と「余角(よかく)」を定義していきましょう。

  • 正角:今まさに注目している角度。
    • この場合だと「$θ$」のこと。
  • 余角:二つの角の和が直角であるとき、正角ではない方の角度。
    • この場合だと「$90°-θ$」のこと。

正角とわざわざ言うことはあまりないですが、余角という言葉はたまに出てくる時があるので、一応覚えておきましょう。

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手順1【外接円を書く】

図のように、直角三角形の外接円を書きます。

定理1:いかなる三角形においても、外接円は必ず存在する。

この定理は数学A「図形の性質」で”外心”を学ぶときに習います。

また、円周角の定理より、中心は必ず斜辺上に存在します。

【証明】
$∠ACB=90°$より、$∠AOB=90°×2=180°$
よって、線分ABは円Oの直径である。
(証明終了)

ウチダ

円周角の定理については「円周角の定理とは?【必ず押さえたい7つのポイント】」の記事にて詳しく解説しております。

手順2【定義通りにsinとcosを求める】

さて、「なぜ正弦(sin)、余弦(cos)というのか」については早速結論が出ます。

図のように、線分AC,線分BCの長さを定義通りに求めます。

すると、$$線分BC=\sin θ、線分AC=\cos θ$$となるわけです!

「どうしてこのように求められるかわからない…」という方は、以下の記事をぜひ参考にしてください。

よって、

sin(正弦)…角に対するの長さ
cos(余弦)…角に対するの長さ

ということがいえますね!
※ここでは「対する」≒「向かいに存在する」という意味で使用しています。

それでは最後に、「正接(tan)」についても見ていきましょう!

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手順3【点Bに対して接線を引いてみる】

図のように、点Bに対して接線を引き、半直線ACとの交点をDとします。

ここで先に結論を述べてしまいますと…

tan(正接)…角に対する線の長さ

つまり、$線分BD=tanθ$になるんですね!

これ、不思議ですよね!

ですが、この証明はそれほど難しくありません。

しかし、認めなければならない事実が一つありますので、そちらをまず紹介します。

定理3:接線半径がなす角は直角である。

つまり図でいうところの「赤の角度」が90°になるよ、ということです。

ウチダ

これは中学校1年生で習いますが、厳密に証明しようとすると意外と大変なのです!当たり前の中に難しいことって、意外と隠れてますよね。

ですのでここでは省略。

認めて証明に入っていきましょう

正弦余弦正接に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

もう一度結論だけまとめます。

sin(正弦)…角に対するの長さ
cos(余弦)…角に対するの長さ
tan(正接)…角に対する線の長さ
※ただしこれは、斜辺が $1$ の直角三角形で考えたとき、です。

理解していれば言葉の定義もスッと胸に入ってきますね!

今回のように、言葉の意味についてもしっかりと考察し、数学力を極めていきましょう♪

おわりです。

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コメント

コメント一覧 (2件)

    • 神無月様

      嬉しいコメント、誠にありがとうございます!
      これからもわかりやすく・ためになり・面白い記事を投稿してまいりますので、どうぞよろしくお願いいたします!

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