三角比の正弦余弦正接ってどういう意味?サインコサインタンジェントに簡単に結び付けられる覚え方のコツとは?

こんにちは、ウチダショウマです。
今日は「三角比」、いわゆる「サイン、コサイン、タンジェント」の日本語読み

「正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)」

について、なぜそのような日本語をあてるのか、簡単に結び付けられる覚え方を解説していきます。

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目次

正弦余弦正接?覚えづらい!

皆さん、三角比を習い始めた当初、不思議ではありませんでしたか?

なんで正弦・余弦・正接なんて言い方をするのだろう…

そう感じた方も少なからずいると思います。

これについて学校の授業で詳しく解説してしまうと、授業の時間が足りなくなってしまったり、もっと深く掘り下げたい内容を扱えなくなってしまったり、いろいろと大変です。
(学校には学習指導要領なる、いわゆるマニュアルみたいなものがあり、それがなかなかキツキツの時間設定なんですよね~(^_^;)。)

だから授業であまり取り上げられることがありません。
ですので皆さん、これらの言葉については

  • 特に意味はないけどそういう名前がつけられているから覚えよう…
  • 何となくでいいから覚えよう…

そう思っているのではないでしょうか。

そこで、今日の記事を読めば、

なるほど!だから日本語ではそういう言い方をするのか!

この疑問があっさり解決すると思いますので、ぜひ読み進めていって深い理解につなげてください。

正弦と余弦と正接の意味【正角と余角の定義】

まず図のように「斜辺が1の直角三角形」を用意します。

この図において「正角(せいかく)」と「余角(よかく)」を定義していきましょう。

正角:今まさに注目している角度。
   この場合だと「$θ$」のこと。

余角:二つの角の和が直角であるとき、正角ではない方の角度。
   この場合だと「$90°-θ$」のこと。

正角とわざわざ言うことはあまりないですが、余角という言葉はたまに出てくる時があるので、一応覚えておきましょう。

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手順1【外接円を書く】

図のように、直角三角形の外接円を書きます。

定理1:いかなる三角形においても、外接円は必ず存在する。

この定理は数学A「図形の性質」で”外心”を学ぶときに習います。

⇒⇒⇒外心とは?三角形の外心の座標・位置ベクトルの求め方や性質の証明をわかりやすく解説!【垂心】

また、円周角の定理より、中心は必ず斜辺上に存在します。
【証明】

$∠ACB=90°$より、$∠AOB=90°×2=180°$
よって、線分ABは円Oの直径である。

(証明終了)

円周角の定理については「円周角の定理とは?【必ず押さえたい7つのポイント】」の記事にて詳しく解説しております。

手順2【定義通りにsinとcosを求める】

さて、「なぜ正弦(sin)、余弦(cos)というのか」については早速結論が出ます。

図のように、線分AC,線分BCの長さを定義通りに求めます。

すると、$$線分BC=sinθ、線分AC=cosθ$$となるわけです!

どうしてこのように求められるかわからない方は、以下の記事をぜひ参考にしてください。↓↓↓

関連記事
サインコサインタンジェント(sin,cos,tan)とは?斜辺を1にすればわかりやすい定義に?良い覚え方のコツを解説!

よって、

sin(正弦)…角に対するの長さ
cos(余弦)…角に対するの長さ

ということがいえますね!
(「対する」≒「向かいに存在する」という意味で用いています。)

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これで、「なぜ正弦・余弦という言い方をするのか」わかりました!

それでは最後に、「正接(tan)」についても見ていきましょう!

手順3【点Bに対して接線を引いてみる】

図のように、点Bに対して接線を引き、半直線ACとの交点をDとします。

ここで先に結論を述べてしまいますと…

tan(正接)…角に対する線の長さ

つまり、$線分BD=tanθ$になるんですね!

これ、不思議ですよね!
ですが、この証明はそれほど難しくありません。

しかし、認めなければならない事実が一つありますので、そちらをまず紹介します。

定理3:接線半径がなす角は直角である。

つまり図でいうところの「赤の角度」が90°になるよ、ということです。
これは中学校1年生で習いますが、厳密に証明しようとすると意外と大変なのです!
(当たり前の中に、意外と難しいことって隠れてますよね。)

ですのでここでは省略。
認めて証明に入っていきましょう。

【証明1】三角形の相似を用いる方法

△ABCと△BDCにおいて、

$$∠ACB=∠BCD=90° ……①$$

\begin{align}∠DBC&=∠ABD-∠ABC\\&=90°-(90°-θ)\\&=θ\\&=∠BAC ……②\end{align}

①、②より、2角がそれぞれ等しいので、

     △ABC ∽ △BDC

よって、$$AB:AC=BD:BC$$

したがって、

\begin{align}1:cosθ=BD:sinθ&⇔BDcosθ=sinθ\\&⇔BD=\frac{sinθ}{cosθ}=tanθ\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(証明終了)

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【証明2】定義通りに求める方法

図のように、直角三角形ABDを反転させます。

(sin,cos,tanの求め方に慣れている方はやらなくて大丈夫です。)

ここで、tanの定義通りに式を立てると、

$$tanθ=\frac{高さ}{底辺}=\frac{BD}{AB}=BD\\(AB=1を代入した)$$

(証明終了)

正弦余弦正接に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

もう一度結論だけまとめます。

sin(正弦)…角に対するの長さ

cos(余弦)…角に対するの長さ

tan(正接)…角に対する線の長さ

理解していれば言葉の定義もスッと胸に入ってきますね!

ただし、これは斜辺が1であるという前提のもと成り立ちました。
この考え方を応用させたのが、「単位円」です。
数学Ⅰでは180度までしか扱いませんが、
数学Ⅱでは180度以上も扱いますし、
また、$360度=2πラジアン$とする
新しい角度の定義「弧度法」も登場します。
ここでわけがわからなくなる前に、数学Ⅰの段階で言葉の意味についてしっかりと考察しておきましょう。

今回のように、言葉の意味についてしっかり考えることはそのまま「数学力の向上」につながります。
ただ公式を暗記して問題を解くだけでは数学は作業になってしまいつまらなくなってしまうので、脳をフル回転させてアドレナリンを放出させるためにも、ぜひ言葉についてもしっかり考えるクセをつけていきましょう!

それでは、ウチダショウマでした。
皆さん、よい数学Lifeを!!

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