条件付き確率の公式とは?【不良品の問題など4選もわかりやすく解説します】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「条件付き確率」をしっかり理解できましたか?

よく

数学太郎のアイコン画像数学太郎
条件付き確率の公式の意味がわからないな~。あと乗法定理…?アレとはどう違うんだ?
数学花子のアイコン画像数学花子
条件付き確率の問題の解き方をわかりやすく解説してほしいわ。

こういった悩みの声を耳にします。

よって本記事では、条件付き確率の公式の意味から、条件付き確率の問題 $4$ 選の解き方まで

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • (専門は確率論でした。)

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

条件付き確率の公式とは?【実は乗法定理と全く同じです。】

条件付き確率の公式と乗法定理を見比べてもわかる通り…

  • 条件付き確率 $P_A(B)$ の公式$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} …①$$
  • 乗法定理$$P(A\cap B)=P(A)P_A(B) …②$$

ようは、主役が違うだけで内容は全く同じなんです。

ウチダのアイコン画像ウチダ
公式①の両辺に $P(A)$ をかければ、すぐに定理②を導くことができるね。それじゃ、なんで①と②には別々の名前が付けられているんだろうね。

また、そもそも条件付き確率とはいったい何者なんでしょう。

まずはここら辺の話を、例題を通して整理していきましょうか^^

例題「サイコロの問題」

例題. さいころを $1$ 回投げる。このとき次の確率を求めなさい。
(1) $4$ 以上の目が出る確率
(2) 偶数の目が出たとき、それが $4$ 以上の目である確率

さて、(1)の確率はふつうに $\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ となりますが、(2)の確率はどうでしょう。

「偶数の目が出たとき」と条件づけられているのがわかりましたか?

ここで、この条件付けを図解して考えていくと…

条件付き確率の公式とは?【実は乗法定理と全く同じです。】

全事象が $A=\{2,4,6\}$ に変化し、それによって問われている事象が $A\cap B=\{4,6\}$ に変化していることがおわかりでしょうか。

よって、(2)の確率は、$\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{2}{3}$ となります。

今は要素の個数 $n(A)$ の式を使って解きましたが、分母と分子を $n(U)$ で割ってあげても値は変わらないので、

\begin{align}\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(U)}}{\frac{n(A)}{n(U)}}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

として求めることもできますね。

ウチダのアイコン画像ウチダ
これで条件付き確率の公式 $\displaystyle P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ がなぜ成り立つのかがわかりましたね!一つ補足として、$P_A(B)$ を $P(B|A)$ と表記する場合もあります。頭の奥底に入れておきましょう。
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条件付き確率の問題3選

これから問題を解いていくことで実感しますが、条件付き確率を直接求める問題はあまり出題されません。

というか、条件付き確率は感覚的にすぐ求められる場合がほとんどです。

ウチダのアイコン画像ウチダ
つまり乗法定理 $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ より、条件付き確率 $P_A(B)$ を用いて $P(A\cap B)$ を求めることが重要になってきます。

よってここでは、乗法定理を用いる問題として有名な

  • 玉を取り出す問題
  • くじの問題
  • 不良品の問題(応用)

以上 $3$ 問を、順に解説していきます。

ぜひ、乗法定理の使い方に慣れていってほしいと思います。

玉の問題【戻すか戻さないか】

問題. 赤玉 $3$ 個と白玉 $5$ 個が入った袋から、玉を $1$ 個ずつ $3$ 個取り出す。このとき、取り出した玉がすべて白玉である確率を求めなさい。ただし、取り出した玉は元に戻さないものとする。

取り出した玉は元に戻さない」ここ超重要ポイントです。

なぜ重要であるかは、解答の流れの中で説明していきます。

【解答】

最初は合計 $8$ 個玉があるが、$2$ 回目では $7$ 個、$3$ 回目では $6$ 個に減っていくことが予想できる。

【条件付き確率】玉を戻すか戻さないか

よって乗法定理より、求める確率は $\displaystyle\frac{5}{8}×\frac{4}{7}×\frac{3}{6}=\frac{5}{28}$ である。

(解答終了)

事象 $A$,$B$,$C$ を$$A:1回目で白玉を引く事象$$$$B:2回目で白玉を引く事象$$$$C:3回目で白玉を引く事象$$

と定義することで、$$P(A\cap B\cap C)=P(A)P_A(B)P_{A\cap B}(C)$$として乗法定理を使っています。

このように、事象が $3$ つ以上の場合であっても、乗法定理は問題なく成り立ちます。

ウチダのアイコン画像ウチダ
実は「玉を戻さない場合」だと、それぞれの試行は独立になるため”反復試行の確率”の問題に生まれ変わります。詳細は「反復試行の確率の公式【なぜ組合せCが出てくる?応用問題4選も解説】」をご覧ください。

くじの問題【くじは平等!?】

問題. 当たりくじ $3$ 本を含む $10$ 本のくじを、A,Bの $2$ 人がこの順に $1$ 本ずつ引く。ただし、引いたくじは元に戻さない。このとき、Bが当たる確率を求めよ。

引いたくじは元に戻さない」ということなので、どうやら条件付き確率の問題っぽいですね。

さて、Bさんが当たる確率は、Aさんが何を引くかで確率が変わってきそうです…。

よって、場合分けをして考えていきましょう!

【解答】

事象 $A$ …Aさんが当たる
事象 $B$ …Bさんが当たる、と定義しておく。

ここで、

  • ⅰ)…Aさんが当たった(事象 $A$ が起こった)場合
  • ⅱ)…Aさんが外れた(事象 $\overline{A}$ が起こった)場合

に分けて考えていこう。

ⅰ)…Aさんが当たった場合

残り $9$ 本中、当たりは $2$ 本だから、$\displaystyle P_A(B)=\frac{2}{9}$ である。

よって乗法定理より、

\begin{align}P(A\cap B)&=P(A)×P_A(B)\\&=\frac{3}{10}×\frac{2}{9}\\&=\frac{6}{90}\end{align}

ⅱ)…Aさんが外れた場合

残り $9$ 本中、当たりは $3$ 本だから、$\displaystyle P_{\overline{A}}(B)=\frac{3}{9}$ である。

よって乗法定理より、

\begin{align}P(\overline{A}\cap B)&=P(\overline{A})×P_{\overline{A}}(B)\\&=\frac{7}{10}×\frac{3}{9}\\&=\frac{21}{90}\end{align}

したがって、ⅰ)ⅱ)の事象は互いに排反なので、求める確率は $\displaystyle \frac{6+21}{90}=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}$ である。

【条件付き確率】くじ引きはみんなに平等

(解答終了)

「排反って何?」という方は、先に「排反と独立の違いとは?【ヒント:試行と事象】」の記事から読み進めることをオススメします。

ⅰ)ⅱ)それぞれに乗法定理を使ってあげることで、結果Bさんが当たる確率も $\displaystyle \frac{3}{10}$ になりましたね!

ウチダのアイコン画像ウチダ
実はくじ引きの問題には、「順番にかかわらず平等」という素晴らしい性質があります。なので、仮にCさんが増えたとしても、当たる確率は全員 $\displaystyle \frac{3}{10}$ です!

スゴイ便利な性質ですよね!

ただ、テストでいきなり「平等だから $\displaystyle \frac{3}{10}$ 」と書くと、間違いなく減点を食らいますので、あくまで検算用として覚えておくといいかと思いますよ^^

不良品の問題(応用)

問題. ある部品を製造する機械A,Bがあり、それぞれの不良品の発生する割合は、Aでは $1$ %、Bでは $2$ %である。Aで作った部品とBで作った部品が $2:3$ の割合で大量に混ざっている中から $1$ 個を取り出すとき、以下の問いに答えよ。
(1) それが不良品である確率は?
(2) それが不良品である原因が機械Aにある確率は?

さて、ラストは「不良品の問題」。中々に複雑ですね(^_^;)

こういうときに大切なのは、焦らず落ち着いて「まずは事象を定義してみる」ことだったりします。

ウチダのアイコン画像ウチダ
今までの問題でも事象を定義してきましたね。これは乗法定理の説明のためでもありましたが、すべてはこの問題を解くためでもあったのです!

では、さっそく解いていきましょう。

【解答】

  • 事象 $A$ … 選び出した部品がAの製造である
  • 事象 $B$ … 選び出した部品がBの製造である
  • 事象 $E$ … 選び出した部品が”不良品”である

と定義してみる。

ここで、簡単にわかる確率を出しておくと、

\begin{align}P(A)=\frac{2}{5} \ , \ P(B)=\frac{3}{5} \ , \ P_A(E)=\frac{1}{100} \ , \ P_B(E)=\frac{2}{100}\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

これを用いて問題を解いていこう。

(1) 求める確率は $P(E)$ である。

ここで、

  • ⅰ)…Aが製造した製品が不良品である(事象 $A\cap E$ )
  • ⅱ)…Bが製造した製品が不良品である(事象 $B\cap E$ )

の $2$ 通りが考えられ、それぞれの事象は互いに排反であるので、$P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)$ と表すことができる。

したがって乗法定理より、

\begin{align}P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)\\&=P(A)×P_A(E)+P(B)×P_B(E)\\&=\frac{2}{5}×\frac{1}{100}+\frac{3}{5}×\frac{2}{100}\\&=\frac{2+6}{500}\\&=\frac{2}{125}\end{align}

(2) 求める確率は $P_E(A)$ である。

ここで、条件付き確率の公式より、$$P_E(A)=\frac{P(E\cap A)}{P(E)}$$

情報を整理すると…

  • (1)より、$\displaystyle P(E)=\frac{2}{125}$
  • $\displaystyle P(E\cap A)=P(A\cap E)=\frac{2}{500}$

したがって、求める確率は $\displaystyle P_E(A)=\frac{2}{500}÷\frac{2}{125}=\frac{2}{500}×\frac{125}{2}=\frac{1}{4}$ である。

(解答終了)

(2)で、久しぶりに「条件付き確率の公式」にお目にかかりましたね。(笑)

この問題が応用と言われる所以は、実は(2)にあったりします。

ウチダのアイコン画像ウチダ
今までは「原因→結果」だったのに対し、(2)では「結果→原因」の順で求めていませんか?つまり、”時間を逆行“しているわけです。

このように、結果が条件づけられている確率のことを“原因の確率”と呼び、本来であれば「ベイズの定理」と呼ばれる式を使って求めます。

実は、(1)(2)で計算したことを合わせると、そっくりそのままベイズの定理になるのですが…これ以上は発展のお話ですね。

ぜひ、興味のある方は「ベイズの定理とは?【例題2選を使ってわかりやすく解説します】」の記事をご覧くださいませ~。

条件付き確率に関するまとめ

本記事の要点を改めてまとめますが…数が多いです。(笑)

そのぐらい重要な単元ということですね~。

  • 条件付き確率の公式と乗法定理は、主役が違うだけで実は全く同じ式!
  • 乗法定理を用いる応用問題 $2$ 選は、”玉の問題”と”くじの問題”
    • 戻す場合は「反復試行の確率」、戻さない場合が条件付き確率
    • くじの確率は順番に関わらず平等なので、検算用に覚えておこう!
  • 不良品の問題は「ベイズの定理」のお話につながってきます。

時間に逆行する原因の確率(ベイズの定理)もあわせて勉強しておくと、より深い学びになると思います。

「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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以上で終わりです!

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