偏差値とは?【偏差値60はどのくらいスゴイのか、求め方まで解説します】

2020 1/21
偏差値とは?【偏差値60はどのくらいスゴイのか、求め方まで解説します】

こんにちは、ウチダショウマです。

さて、突然ですが皆さんは、「偏差値60」を取ったら喜びますか?それとも悲しみますか?

悩む女性 悩む女性

なんとなくだけど…嬉しいと思います!

では仮に嬉しいとして、自分が大体どのぐらいの順位に位置しているか、把握していますか?

悩む男性 悩む男性

ぶっちゃけ、偏差値とは何なのか、正直よくわかっていないです。(笑)

よって本記事では、「偏差値とは何か」という基本的な部分から、偏差値の具体的な求め方・簡易的な求め方まで

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

偏差値とは?【平均値と標準偏差がポイント!】

偏差値っていうのは、テストの点数だけだと順位が把握しづらいため、ある変換を施した数値のことです。

たとえば、同じ $60$ 点でも、

  • 平均点が $50$ 点のテストで、自分は $60$ 点を取った。
  • 平均点が $30$ 点のテストで、自分は $60$ 点を取った。

この $2$ つの場合だったら、明らかに後者の方が嬉しいですよね。

考える女性 考える女性

なるほど!ということは、「自分の点数が平均点からどれだけ離れているか」というのがポイントですね!

ウチダ ウチダ

実はそれだけではありません。偏差値を決めるもう一つの要素があり、それが「データのバラつき」です。

わかりやすい例として、以下の図をご覧ください。

偏差値とは?【平均値と標準偏差がポイント!】

どちらのデータも平均点は $50$ 点で、自分の得点は $60$ 点です。

ただし、偏差値にして $63-54=9$ もの差が生まれていますね。

考える男性 考える男性

データのバラつきが大きい方が、偏差値が高くなると思ってました…!

ウチダ ウチダ

そうなんです、実は逆なんです。「データのバラつきが小さければ小さいほど、高得点を取るのが難しいテスト」と判断されるんです。

ここまでの内容をまとめます。

  • 平均値から離れているほど、偏差値は高くなる。
  • データのバラつきが小さいほど、偏差値はより高くなる。
    ※自分の点数が平均値より低い場合は、偏差値はより低くなります。

偏差値50と偏差値60って、どのくらい違うの?

偏差値を $1$ 発で理解できる図がありますので、まずはそれをご覧ください。

偏差値50と偏差値60って、どのくらい違うの?

つまり偏差値とは、平均点を取った人が $50$ となり、

  1. 偏差値 $60$ 以上( $40$ 以下) → 上位(下位)およそ $15$ %
  2. 偏差値 $70$ 以上( $30$ 以下) → 上位(下位)およそ $3$ %

となるように調整されたデータのことを言うのです。

考える女性 考える女性

へ~。それだと、偏差値 $54$ と $63$ だったら、かなりの差になりますね!

ウチダ ウチダ

「上から何番目」に注目すれば、確かにそうですね。ちなみに、偏差値 $54$ の人は上位 $35$ % ぐらい、偏差値 $63$ の人は上位 $10$ % ぐらいです。

偏差値100オーバーってあるの?

偏差値 $100$ は、理論上は可能です。

先ほどの図で見た通り、偏差値はなだらかな山のような形に分布しています。

そして、その山はどこまでも果てしなく続きます。

ですから、偏差値 $200$ も可能ですし、偏差値 $-50$ もなくはありません。

ですが、そんなテストを作るのは現実的に不可能です。

ウチダ ウチダ

偏差値 $40$ ~ $60$ の中に、大体 $7$ 割近くのデータがあります。偏差値は離れれば離れるほど、密度は薄くなっていきます。

また、偏差値の従う分布(山のような形のやつ)のことを「正規分布(せいきぶんぷ)」と言い、詳しくは大学で学びます(数学Bで習う学校もある)。

これ以上の正規分布に関する詳しい解説は、こちらをご覧ください。

正規分布とは~(準備中)

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偏差値の求め方をわかりやすく解説します

さて、では次に「偏差値の求め方」について、例題を通して詳しく解説していきます。

問題.自分を含めて $6$ 人が受けたテスト $x$ の結果が、下の表である。このとき、自分のテストの偏差値を求めなさい。

自分 A B C D E
$9$ $8$ $0$ $5$ $3$ $5$
STEP
平均値と標準偏差を求めよう

平均値 $\overline{x}$ は、すべての合計をデータの大きさ(数)で割ればよいので、

\begin{align}\overline{x}=\frac{9+8+0+5+3+5}{6}=5 \ (点)\end{align}

また、分散 $s^2$ は、偏差(個々のデータから平均値を引いたもの)の $2$ 乗の平均値で求まるので、

\begin{align}s^2&=\frac{1}{6}\{(9-5)^2+(8-5)^2+(0-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2\}\\&=\frac{16+9+25+0+4+0}{6}\\&=9\end{align}

つまり、標準偏差 $s=\sqrt{9}=3$ (点) と求めることができました。

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STEP
平均値が0,標準偏差が1になるように変量の変換をする

いきなり偏差値に変換するのは難しいので、

  • 平均値 $0$
  • 標準偏差 $1$

となるように、変量の変換を行います。

ウチダ ウチダ

この変換のことを「標準化(ひょうじゅんか)」と呼びます。必ず覚えておきましょう!

さて、どのようにすればいいかというと…

  1. まず、平均値 $\overline{x}=5$ で引く。
  2. そして、標準偏差 $s=3$ で割る。

つまり、新たな変量 $z$ を

\begin{align}z=\frac{x-5}{3}\end{align}

と定めます。

自分 A B C D E
$\displaystyle \frac{4}{3}$ $1$ $\displaystyle \frac{-5}{3}$ $0$ $\displaystyle \frac{-2}{3}$ $0$

※これは変量 $z$ についての表です。

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STEP
平均値が50,標準偏差が10になるように変量の変換をする

さあ、いよいよ最後の仕上げです。

標準化された変量 $z$ に対し、以下のように変量 $T$ を定めます。

\begin{align}T=10×z+50\end{align}

言葉で表すと、

  1. まず、標準偏差を $1$ から $10$ にするために、変量を $10$ 倍する。
  2. そして、平均値を $0$ から $50$ にするために、変量に $50$ を足す。

となり、先ほどとは順番が逆の操作になります。

ウチダ ウチダ

変量の変換の仕組みについては、先ほど紹介した「標準化(変量の変換)とは?【仮平均についてもわかりやすく解説します】」の記事で勉強しましょう。

実際に計算してみると…

自分 A B C D E
$\displaystyle \frac{190}{3}$ $60$ $\displaystyle \frac{100}{3}$ $50$ $\displaystyle \frac{130}{3}$ $50$

※これは変量 $T$ についての表です。

これで、全員の偏差値がわかりました~!

ちなみに、自分の偏差値は $\displaystyle \frac{190}{3}=63.3333…$ なので、上位 $10$ % に入る好成績ですね。

考える男性 考える男性

なるほどなぁ。つまり偏差値とは、「平均値 $50$,標準偏差 $10$ 」となるように調整されたデータのことなんですね!

ウチダ ウチダ

その通り!その過程において、「平均値が $0$,標準偏差が $1$ 」となるように標準化する必要が出てくるんですね^^

偏差値を求める公式を、まとめておきます。

偏差値を求める公式

変量 $x$ に対して、変量 $T$ を

\begin{align}T=10×\frac{x-\overline{x}}{s_x}+50\end{align}

と定めると、$T$ は偏差値となる。

これは余談ですが、「偏差値」という外国語は実はありません。

つまり、日本ならではの指標ということになりますね。

ウチダ ウチダ

外国では、偏差値のことを「T-score」,標準化された値のことを「Z-score」と呼んだりするところもあります。

「どちらの方がより使い勝手がいいか」は一概には言えないので、ぜひ変量の変換の方法をマスターして、どちらとも対応できるようにしておくと良いですね。

偏差値に関するまとめ

本記事のポイントをまとめます。

  • 偏差値 $60$ で、上位約 $15$ % に入る。偏差値 $70$ を超えれば、上位約 $3$ % です!
    • これが「正規分布」の68%95%ルールと呼ばれる法則です。
  • 偏差値とは、平均値 $50$,標準偏差 $10$ になるよう変量変換されたデータの数値のこと。
  • 偏差値はT-score,「標準化」された値はZ-scoreとも言います。どちらを使うかは、国の文化や時と場合によってバラバラ。

「偏差値を $5$ でも $10$ でも上げたい!」という方は、ぜひオンライン家庭教師で勉強することをオススメいたします。

おわりです。

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