誕生日のパラドックスとは【同じ誕生日の人がいる確率はどのくらい？】

2019年11月6日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「誕生日のパラドックス」という問題をご存じですか？

【誕生日のパラドックス】
何人集まれば、同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えるか。

これ、正解は何人ぐらいでしょうね？

ぜひ予想してみてください＾＾

↓↓↓（正解発表）

正解は…なんと $23$ 人です！

意外と少ないですよね。

[ふきだし set=”悩む男性”]えー！何で答えがそうなるの？誕生日のパラドックスについてもっと知りたい！[/ふきだし]

[ふきだし set=”悩む女性”]そもそも「パラドックス」って何？[/ふきだし]

今こういう疑問を抱いた方は多いと思います。

よって本記事では、誕生日のパラドックスの意味から、具体的な計算方法まで

東北大学理学部数学科卒業
教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ
（専門は確率論でした。）

の僕がわかりやすく解説します。

誕生日のパラドックスとは【40人いたら約9割の確率です】

もう一つ面白い結果を付け加えます。

$23$ 人集まれば、同じ誕生日の人がいる確率は、約 $50$ ％
$40$ 人集まれば、同じ誕生日の人がいる確率は、約 $90$ ％

大きな学校であれば $40$ 人学級のところもあるでしょう。

[ふきだし set=”ウチダ”]学生時代を思い出してみて下さい。「そういえばあいつとアイツの誕生日同じだったな～」とかありませんか？[/ふきだし]

さて、この誕生日のパラドックスという問題が「なぜパラドックスと言われているのか」。

それは、ある勘違いをしやすいからなんです。

なぜ誕生日の”パラドックス”なのか

【誕生日のパラドックスの注意点】
同じ誕生日の人が「クラスの中に」いる確率であり、”自分と”同じ誕生日の人がいる確率ではない。

ここ、要注意です。

パラドックスとは、日本語でいうところの「逆説」や「矛盾」の意味を含んでいて、ようは直感に反するような結果や命題に対して使われる言葉なんですね。

で、その直感に反する部分が、まさしく「“自分と”同じ誕生日の人がいる確率って高くね？」という勘違いからくるものなんです。

[ふきだし set=”ウチダ”]もちろん、”自分と”同じ誕生日の人がいる確率はぐんと下がります。同じ誕生日の二人組が少なくとも $1$ 組いる確率だから、こんなにも確率が高いんですね～。[/ふきだし]

誕生日のパラドックス（同じ誕生日の人がいる確率）を計算しよう

パラドックスと呼ばれる理由がわかったところで、ここからは具体的な計算方法を解説していきます。

「同じ誕生日の人がいる」という事象は、「同じ誕生日の二人組が少なくとも $1$ 組いる」という事象と全く同じです。

ここで、「少なくとも」を使って言い換えることができました。

「少なくとも」が出てきたら余事象の確率を常に疑え！！

この法則を覚えていますか？

[ふきだし set=”ウチダ”]「余事象の確率って何？」という方は、「余事象の確率とは？【〇〇の問題で絶大な威力を発揮します】」の記事から読み進めることをオススメします。[/ふきだし]

さて、つまりですよ。

「同じ誕生日の人がいる」という事象は、「全員誕生日がバラバラ」という事象の余事象になるわけですから…

ここから、以下のように計算式を立てることができます。

$$1-\frac{{}_{365}{P}_{n}}{365^n}=1-\frac{365!}{365^n(365-n)!}$$

また、この $n$ に具体的な値を代入するとこうなります。

人数	確率
$n=5$	約 $3$ ％
$n=10$	約 $12$ ％
$n=15$	約 $25$ ％
$n=20$	約 $41$ ％
$n=23$	約 $50$ ％
$n=30$	約 $70$ ％
$n=40$	約 $89$ ％
$n=50$	約 $97$ ％
$n=60$	約 $99$ ％
$n=70$	約 $100$ ％

この確率分布を関数表示するとこうなります。

誕生日のパラドックスの確率分布【Wikipediaさんより引用】 — ※Wikipedia「誕生日のパラドックス」より引用

[ふきだし set=”ウチダ”]ちなみに”自分と”同じ誕生日の人がいる確率は、単に $\displaystyle 1-(\frac{364}{365})^n$ で求まり、それが初めて $50$ ％を超えるのは $n=253$ のときです。$n=23$ のときは約 $6$ ％の確率ですので、かなり珍しいと言えるでしょう。[/ふきだし]