サイコロの確率の計算問題１３選【２つ投げる場合の求め方とは？】

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、突然ですがここで問題です。

(1)の答えは $\displaystyle \frac{1}{6}$ で、(2)の答えは $\displaystyle \frac{1}{18}$ となります。

皆さんは解けましたか？

と、このようにサイコロの目の確率を求める問題は、サイコロの個数が増えるごとにややこしくなってきます。

よく、

[ふきだし set=”悩む男性”]サイコロが $2$ つ以上になると、途端に訳がわからなくなるなぁ…。[/ふきだし]

[ふきだし set=”悩む女性”]この問題は解けた！だけど、サイコロの問題をもっとしっかり解いておきたいな～。[/ふきだし]

こういった声を耳にします。

よって本記事では、サイコロの確率の基本的な求め方から、サイコロの確率の計算問題 $13$ 選を

• 東北大学理学部数学科卒
• 教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ
• （専門は確率論でした。）

の僕がわかりやすく解説します。

サイコロの確率の求め方とは【「６のｎ乗」で割りましょう。】

必ず押さえたいポイントは次の $2$ つです。

1. 分母は $6$ の $n$ 乗しよう！
2. 分子は数え上げましょう。

$n$ はサイコロの個数のこと。

つまり、

• サイコロ $1$ 個　→　$6$ 分の～
• サイコロ $2$ 個　→　$36$ 分の～
• サイコロ $3$ 個　→　$216$ 分の～

と、分母はどんどん $6$ 倍されていきます。

この基本さえ忠実に守れば、あとは分子をただ求めるだけでOK。

[ふきだし set=”ウチダ”]分子の求め方にはいろんなパターンがあるので、さっそく問題を解いていきましょう！[/ふきだし]

サイコロの確率の計算問題１３選

では、ここからは実際に問題をたくさん解いていきます。

• 第１章　…　$1$ つのサイコロの確率【 $4$ 問】
• 第２章　…　$2$ つのサイコロの確率（区別あり）【 $4$ 問】
• 第３章　…　$2$ つのサイコロの確率（区別なし）【 $3$ 問】
• 第４章　…　$3$ つのサイコロの確率【 $2$ 問】

の $4$ 章。問題数なんと…計 $13$ 問！！

ぜひお好きな所からお読みください。

※「第〇章」の部分がリンクになっており、クリックすると問題へジャンプします。

[ふきだし set=”ウチダ”]量が多いですが、最初の方はサクサク解ける問題です。頑張って解いていきましょう。[/ふきだし]

１つのサイコロの確率【４問】

どれも基本の問題です。

サクッと解いていきましょう。

【解答】

(1)　出た目が $2$ である場合の数は、もちろん $1$ 通り。

よって求める確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ である。

(2)　出た目が偶数である場合の数は、$2$，$4$，$6$ の $3$ 通り。

よって求める確率は $\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ である。

(3)　出た目が $4$ か $5$ である場合の数は、もちろん $2$ 通り。

よって求める確率は $\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。

(4)　出た目が $4$ 以下である場合の数は、$1$，$2$，$3$，$4$ の $4$ 通り。

よって求める確率は $\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ である。

(解答終了)

分子だけ数え上げで求めて、あとは $6$ で割れば確率になります。

約分忘れには注意していきましょうね。

区別のつく２つのサイコロの確率【４問】

まあまあレベルアップしましたね(^_^;)

ただ、サイコロが $2$ つということは…分母はおわかりですね？

あとは分子をそれぞれ求めていきましょう！！

【解答】

(1)　$a+b=8$ となる場合は、

$$(a,b)=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$$

の計 $5$ 通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac{5}{36}$ である。

(2)　$a×b<16$ となる場合は、

• ⅰ）$a$ が $1$ もしくは $2$ のとき　…　全部OKなので $2×6=12$ 通り。
• ⅱ）$a=3$ のとき　…　$b=5$ までの $5$ 通り。
• ⅲ）$a$ が $4$ もしくは $5$ のとき　…　$b=3$ までの $2×3=6$ 通り。
• ⅳ）$a=6$ のとき　…　$b=2$ までの $2$ 通り。

全部足すと、$12+5+6+2=25$ 通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac{25}{36}$ である。

(3)　$a$，$b$ が連続した $2$ つの整数になる場合は、

• ⅰ）$a<b$ のとき　…　$$(a,b)=(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)$$の $5$ 通り。
• ⅱ）$a>b$ のとき　…　$$(a,b)=(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)$$の $5$ 通り。

ⅰ）ⅱ）を足すと、$5+5=10$ 通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac{10}{36}=\frac{5}{18}$ である。

(4)　$\displaystyle \frac{a}{b}$ が整数になる場合というのは、$b$ が $a$ の約数である場合に等しい。

図のように、条件に当てはまる場合に印をつけてみると、$14$ 個となる。

よって求める確率は、$\displaystyle \frac{14}{36}=\frac{7}{18}$ である。

(2)の別解

$a×b<16$ ではない、つまり $a×b≧16$ である場合を数えると、

の計 $11$ 通り。
※この組合せは横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

よって、全体の場合の数から引くと $36-11=25$ 通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac{25}{36}$ である。

(解答終了)

(4)で用いた表は、もちろん(1)～(3)においても使えます。

「ちょっと複雑でわかりづらいな…」というときは、ぜひこの表を使ってみてください。

[ふきだし set=”ウチダ”]ちなみに、(2)のように場合の数が多くなってしまう問題は、別解のように「そうじゃない場合の数」を求めて全体から引いた方が速いです。[/ふきだし]

区別のつかない２つのサイコロの確率【３問】

さて、今度は「区別がない」 $2$ つのサイコロの問題です。

どう考えればいいでしょうか…。

↓↓↓

単に場合の数を求めるときは、もちろん勝手に区別を付けてはいけませんが…

[ふきだし set=”ウチダ”]なぜなら区別を付けることで「同様に確からしさ」が保証されるからです。詳しくは「同様に確からしいは意味不明！？【そんなに難しいこと言ってないよ】」の記事をご覧ください。[/ふきだし]

ということで、これさえわかっていれば「区別がある」 $2$ つのサイコロの問題と全く同じように解くことができます。

【解答】

サイコロを $A$，$B$ と区別して考える。

(1)　$A$，$B$ のサイコロの出た目が同じである場合の数は、

$$(a,b)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$$

の計 $6$ 通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ である。

(2)　「少なくとも $1$ つは偶数の目が出る」という事象は、「 $2$ つとも奇数の目が出る」という事象の余事象である。

したがって、余事象の確率の公式より、$\displaystyle 1-\frac{3×3}{36}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ と求まる。

≫参考記事：余事象の確率とは？【〇〇の問題で絶大な威力を発揮します】

(3)　出た目の和が $5$ 以下である場合の数は、

の計 $10$ 通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac{10}{36}=\frac{5}{18}$ である。
※この組合せは横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

(解答終了)

(2)で「余事象（よじしょう）の確率」の問題が出てきました。

よ～く出てくる問題なので、ぜひ参考記事をあわせてご覧ください。

３つのサイコロの確率【２問】

さて、最後の問題！

$3$ つのサイコロの場合、分母はいくらか覚えてますね？

実はこの問題。(2)が鬼のように難しいです…。

なので、解けなくてもがっかりしないでください。

以下の解答を見て

• なぜ難しいのか
• どこが難しいのか
• どう考えることが効率がいいのか

ここら辺を感じてもらえればOKです。

【解答】

(1)　「出た目の積が偶数になる」という事象は、「少なくとも $1$ つは偶数の目が出る」という事象と等しい。

よって、余事象「 $2$ つとも奇数の目が出る」の確率を求め、$1$ から引けばよい。

したがって求める確率は、$\displaystyle 1-\frac{3×3×3}{216}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$ である。

(2)　この問題も余事象、つまり「出た目の積が $4$ の倍数にならない」という事象を考えると

• ⅰ）…すべての目が奇数
• ⅱ）…$2$ つの目が奇数で、もう $1$ つの目が $2$ または $6$

の $2$ パターンに場合分けできる。

ⅰ）…全ての目が奇数である場合の数は、$3×3×3=27$ 通り。

ⅱ）…大が $2$ か $6$ の場合の数は、$2×3×3=18$ 。

中、小についても同じことが言えるので、$18×3=54$ 通り。

ⅰ）ⅱ）より、余事象の確率は $\displaystyle \frac{27+54}{216}=\frac{81}{216}=\frac{3}{8}$。

したがって、出た目の積が $4$ の倍数である確率は、$\displaystyle 1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ である。

(解答終了)

(2)は、サイコロの問題の中で最も難しいものの $1$ つと言えるでしょう。

[ふきだし set=”ウチダ”]サイコロが $4$ 個以上になってくると、さすがに確率の定義だけでは厳しくなってきます。もっと難しい問題にチャレンジしたいという方は、ぜひ「反復試行の確率の公式【なぜ組合せCが出てくる？応用問題４選も解説】」の記事の問題を解いてみてください＾＾[/ふきだし]

サイコロの確率に関するまとめ

本記事の要点を改めてまとめます。

1. サイコロの確率の分母は $6^n$ です。
2. あとは分子の場合の数を求めればOK!!
3. ただ、難しくなってくると、より工夫が必要です(^_^;)

いきなり応用から入るのはオススメできません。

まずは本記事の前半で基礎をしっかり固めてから、いろいろな応用問題にチャレンジしてほしいと思います！

「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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