こんにちは、遊ぶ数学のウチダです。
指数不等式とは、指数関数を含む不等式のことを指します。
- $3^x<3$
- $\displaystyle (\frac{1}{3})^x<\frac{1}{3}$
指数方程式については、以下の記事で詳しく解説しています。
指数方程式では、底をそろえれば解けましたが、指数不等式はそれだけではダメです。
指数不等式には、不等式ならではの最大の注意点があります。
ウチダこの注意点を理解しないと、指数不等式はいつまで経っても解けるようにはなりませんよ。
よって本記事では、指数不等式における最大の注意点を解説した後に、実際に問題を $5$ 問解いていきたいと思います。
指数不等式を解くときの最大の注意点とは？
指数不等式における最大の注意点、それは「底が $1$ より大きいか小さいかに気をつける」です。
数学太郎なんで底の大きさを気にしなくてはいけないんでしょうか？
ウチダそれは指数関数のグラフを書いてみるとわかるよ＾＾冒頭の例で考えてみようか。
ためしに、$y=3^x$ と $\displaystyle y=(\frac{1}{3})^x$ のグラフを書いてみて、$y=3$ , $\displaystyle \frac{1}{3}$ との関係性を見てみましょう。
こうして見ると、$3^x<3^1$ の解はそのまま $x<1$ となりますが、$\displaystyle (\frac{1}{3})^x<(\frac{1}{3})^1$ の解は $x>1$ と、符号が逆向きになることがわかりますね。
数学花子なんで符号が逆向きになるんですか？
ウチダ指数関数のグラフは、底が $1$ より大きいと単調に増加していくけど、底が $1$ より小さいと単調に減少していくんだったね。だから、不等式の解は符号が逆向きになるんだ。
指数関数のグラフに関しては、以下の記事で詳しく解説しています。
- $a>1$ のとき、$y=a^x$ は単調に増加するため、以下が成り立つ。
$a^p<a^q \ \Longleftrightarrow \ p<q$ - $a<1$ のとき、$y=a^x$ は単調に減少するため、以下が成り立つ。
$a^p<a^q \ \Longleftrightarrow \ p>q$
指数不等式は、このからくりさえ押さえておけば、あとは指数方程式とさほど変わりません。
それではこの最大のポイントに注意しながら、実際に指数不等式の問題を $5$ 問解いていきましょう。
指数不等式の練習問題5選
指数不等式の問題を、パターン別に計 $5$ 問チャレンジしていきます。
基本形2問
問題１．次の指数不等式を解け。
(1) $25^x>0.2$
(2) $\displaystyle (\frac{1}{2})^{x+2}≦(\frac{1}{8})^x$
指数方程式/不等式に限らず、最初に行うべきなのは「底をそろえる」ことでしたね。
指数不等式の最大の注意点を思い出しながら解いてみましょう。
不等号の向きには本当に気をつけましょうね。
ウチダ一応(2)の、底を $1$ より大きくしたバージョンの別解も紹介しておきます。
「底が $1$ より小さいと不等号の向きが逆になる」ことと「両辺に $-1$ をかけると不等号の向きが逆になる」ことの本質は同じだということが、この別解から読み取れますね。
底が異なる指数不等式
問題２．指数不等式 $2^x≧9$ を解け。
底をそろえることができない指数不等式は、指数方程式と同様に「両辺の対数を取る」必要があります。
対数をまだ習っていない方は、今は参考程度に留めておいてください。
両辺の対数をとること自体には注意は必要ありませんが、対数の真数同士の比較になった場合、底が $1$ より大きいか小さいかは関係してきます。
ウチダこれは対数不等式というまた別の単元になるので、ここでは割愛しますね。興味のある方は以下の記事もあわせてご覧ください。
置換を利用する指数不等式
問題３．指数不等式 $\displaystyle 27(\frac{1}{9})^x-12(\frac{1}{3})^x+1≦0$ を解け。
指数方程式のときと同様に、置換を利用することで今までの知識を応用することができます。
ぜひ考えてみてください。
この問題のポイントは
- $\displaystyle (\frac{1}{3})^x=t$ と置くことに気づけるか
- 二次不等式を正しく解くことができるか
- 不等号の向きを間違えないか
以上 $3$ つです。
二次不等式については以下の記事で詳しく解説してますので、この問題を間違えてしまった方は要チェックです。
指数とその逆数が含まれる指数不等式
問題４．指数不等式 $2^x-2^{3-x}-2>0$ を解け。
最後は問題３の応用問題です。
問題３と同じ形にするには、最初にとあることをする必要があります。これがヒントです。
以上、指数不等式の練習問題 $5$ 選でした。
ウチダ全問正解できたあなたは指数に関しては心配無用です！安心して対数の勉強に進んでくださいね。
まとめ：指数不等式ならではの注意点に気づき、正しく解けるようになろう
指数不等式のポイントについて、改めてまとめます。
指数不等式をマスターしたら、
- 参考書等で「指数関数の最大最小」の問題を解く
- 新しい概念である「対数」の勉強に進む
どちらか、自分にあった方を選択しましょう。
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