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指数不等式を解くときの最大の注意点をわかりやすく解説【練習問題5問あり】

こんにちは、遊ぶ数学のウチダです。

指数不等式とは、指数関数を含む不等式のことを指します。

指数不等式の例
  • $3^x<3$
  • $\displaystyle (\frac{1}{3})^x<\frac{1}{3}$

指数方程式については、以下の記事で詳しく解説しています。

指数方程式では、底をそろえれば解けましたが、指数不等式はそれだけではダメです。

指数不等式には、不等式ならではの最大の注意点があります。

ウチダ

この注意点を理解しないと、指数不等式はいつまで経っても解けるようにはなりませんよ。

よって本記事では、指数不等式における最大の注意点を解説した後に、実際に問題を $5$ 問解いていきたいと思います。

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目次

指数不等式を解くときの最大の注意点とは?

指数不等式における最大の注意点、それは「底が $1$ より大きいか小さいかに気をつける」です。

数学太郎

なんで底の大きさを気にしなくてはいけないんでしょうか?

ウチダ

それは指数関数のグラフを書いてみるとわかるよ^^冒頭の例で考えてみようか。

ためしに、$y=3^x$ と $\displaystyle y=(\frac{1}{3})^x$ のグラフを書いてみて、$y=3$ , $\displaystyle \frac{1}{3}$ との関係性を見てみましょう。

指数不等式を解くときの最大の注意点とは?1
指数不等式を解くときの最大の注意点とは?2

こうして見ると、$3^x<3^1$ の解はそのまま $x<1$ となりますが、$\displaystyle (\frac{1}{3})^x<(\frac{1}{3})^1$ の解は $x>1$ と、符号が逆向きになることがわかりますね。

数学花子

なんで符号が逆向きになるんですか?

ウチダ

指数関数のグラフは、底が $1$ より大きいと単調に増加していくけど、底が $1$ より小さいと単調に減少していくんだったね。だから、不等式の解は符号が逆向きになるんだ。

指数関数のグラフに関しては、以下の記事で詳しく解説しています。

指数不等式の最大のポイント
  • $a>1$ のとき、$y=a^x$ は単調に増加するため、以下が成り立つ。
    $a^p<a^q \ \Longleftrightarrow \ p<q$
  • $a<1$ のとき、$y=a^x$ は単調に減少するため、以下が成り立つ。
    $a^p<a^q \ \Longleftrightarrow \ p>q$

指数不等式は、このからくりさえ押さえておけば、あとは指数方程式とさほど変わりません。

それではこの最大のポイントに注意しながら、実際に指数不等式の問題を $5$ 問解いていきましょう。

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指数不等式の練習問題5選

指数不等式の問題を、パターン別に計 $5$ 問チャレンジしていきます。

指数不等式の練習問題5選
  • 基本形2問
  • 底が異なる指数不等式
  • 置換を利用する指数不等式
  • 指数とその逆数が含まれる指数不等式
ケアレスミス、ダメ絶対。

基本形2問

問題1.次の指数不等式を解け。
(1) $25^x>0.2$
(2) $\displaystyle (\frac{1}{2})^{x+2}≦(\frac{1}{8})^x$

指数方程式/不等式に限らず、最初に行うべきなのは「底をそろえる」ことでしたね。

指数不等式の最大の注意点を思い出しながら解いてみましょう。

不等号の向きには本当に気をつけましょうね。

ウチダ

一応(2)の、底を $1$ より大きくしたバージョンの別解も紹介しておきます。

「底が $1$ より小さいと不等号の向きが逆になる」ことと「両辺に $-1$ をかけると不等号の向きが逆になる」ことの本質は同じだということが、この別解から読み取れますね。

底が異なる指数不等式

問題2.指数不等式 $2^x≧9$ を解け。

底をそろえることができない指数不等式は、指数方程式と同様に「両辺の対数を取る」必要があります。

対数をまだ習っていない方は、今は参考程度に留めておいてください。

両辺の対数をとること自体には注意は必要ありませんが、対数の真数同士の比較になった場合、底が $1$ より大きいか小さいかは関係してきます。

ウチダ

これは対数不等式というまた別の単元になるので、ここでは割愛しますね。興味のある方は以下の記事もあわせてご覧ください。

置換を利用する指数不等式

問題3.指数不等式 $\displaystyle 27(\frac{1}{9})^x-12(\frac{1}{3})^x+1≦0$ を解け。

指数方程式のときと同様に、置換を利用することで今までの知識を応用することができます。

ぜひ考えてみてください。

この問題のポイントは

  • $\displaystyle (\frac{1}{3})^x=t$ と置くことに気づけるか
  • 二次不等式を正しく解くことができるか
  • 不等号の向きを間違えないか

以上 $3$ つです。

二次不等式については以下の記事で詳しく解説してますので、この問題を間違えてしまった方は要チェックです。

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指数とその逆数が含まれる指数不等式

問題4.指数不等式 $2^x-2^{3-x}-2>0$ を解け。

最後は問題3の応用問題です。

問題3と同じ形にするには、最初にとあることをする必要があります。これがヒントです。

以上、指数不等式の練習問題 $5$ 選でした。

ウチダ

全問正解できたあなたは指数に関しては心配無用です!安心して対数の勉強に進んでくださいね。

まとめ:指数不等式ならではの注意点に気づき、正しく解けるようになろう

指数不等式のポイントについて、改めてまとめます。

指数不等式のポイント
  • 指数不等式における最大のポイントは「底が $1$ より大きいか小さいか常にチェック」しておくこと。
  • それ以外は基本的に指数方程式と同じ考え方でOK。
  • 二次不等式が怪しい人は、よく復習しておこう。

指数不等式をマスターしたら、

  • 参考書等で「指数関数の最大最小」の問題を解く
  • 新しい概念である「対数」の勉強に進む

どちらか、自分にあった方を選択しましょう。

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