余事象の確率とは？【〇〇の問題で絶大な威力を発揮します】

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「余事象の確率」について、その考え方は理解しましたか？

よく

[ふきだし set=”悩む男性”]余事象の確率の公式ってなんで成り立つんだろう…。[/ふきだし]

[ふきだし set=”悩む女性”]余事象の確率の公式を使うタイミングが、いまいちつかめないな～。[/ふきだし]

こういった声を耳にします。

よって本記事では、余事象の確率の公式から、余事象の確率の公式を用いる問題 $3$ 選、また余事象の確率の応用例まで、

• 東北大学理学部数学科卒
• 教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ
• （専門は確率論でした。）

の僕がわかりやすく解説します。

余事象の確率とは？【「少なくとも」を見たら常に疑え！！】

余事象の確率におけるポイントはたったの $2$ つ。

• $1$ からそうじゃない確率を引けばいい。ただそれだけ。
• 「少なくとも」というワードが出てきたら、余事象の確率の問題である可能性大！

まず、余事象の確率の公式$$P(\overline{A})=1-P(A)$$がなぜ成り立つのか、についてですが、これはベン図で考えるとわかりやすいです。

$n(A)$ を「集合 $A$ の要素の個数」だと定義すると、$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$ が成り立ち、この式の両辺を $n(U)$ で割ることで $P(\overline{A})=1-P(A)$ が導けます。

[ふきだし set=”ウチダ”]あ、「補集合と余事象の違いがよくわからない…」といった方がたまにいらっしゃるんですが、これは集合の話から確率の話に変わっただけで、特に言ってることは変化してないです。そんな感じの軽～い理解でOKですよ＾＾[/ふきだし]

では次に、“使うタイミング”について、具体的に問題を解きながら見ていきましょう。

余事象の確率の公式を用いる問題３選

「少なくともを見たら常に疑え」とのことでしたが、実際はどうなんでしょうか…。

この章では

• サイコロの問題
• くじの問題
• カードの問題

と、少しずつレベルアップさせながら解説していきます。

サイコロの問題

特に(2)では、余事象の確率の公式を使った方が良いです。

【解答】

(1)　「 $2$ 以上の目が出る」ということは、「 $1$ の目が出ない」ということと等しい。

よって求める確率は、$\displaystyle 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ である。

(2)　「少なくとも $1$ つは奇数の目が出る」ということは、「 $2$ つとも偶数の目ではない」ということと等しい。

よって求める確率は、$\displaystyle 1-\frac{3×3}{36}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ である。

(解答終了)

ここら辺は簡単ですね！

くじの問題

さあ、またまた「少なくとも」が出てきましたよ～。

ためしにこの問題では、余事象を使わない解法も考えていきましょうかね。

【解答】

$2$ 本とも外れる確率は $\displaystyle \frac{7×6}{10×9}=\frac{7}{15}$

よって、求めるのはその余事象の確率なので、$\displaystyle 1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}$ である。

(余事象を使わない解答)

求める確率は

• ⅰ）…$1$ 回目に当たりを引き、$2$ 回目にハズレを引く確率
• ⅱ）…$1$ 回目にハズレを引き、$2$ 回目に当たりを引く確率
• ⅲ）…$1$ 回目 $2$ 回目ともに当たりを引く確率

以上 $3$ パターンに分けられる。

ⅰ）の確率は、$\displaystyle \frac{3×7}{10×9}=\frac{21}{90}$

ⅱ）の確率は、$\displaystyle \frac{7×3}{10×9}=\frac{21}{90}$

ⅲ）の確率は、$\displaystyle \frac{3×2}{10×9}=\frac{6}{90}$

したがってⅰ）ⅱ）ⅲ）より、求める確率は、$\displaystyle \frac{21+21+6}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}$ である。

(解答終了)

いかがでしょう。

余事象を使った方が断然ラクですよね！

[ふきだし set=”ウチダ”]確率の求め方は色々ありまして、ここでは”同時”を” $1$ 回目と $2$ 回目”に区別して求めています。この理由の詳しい解説は「同様に確からしいは意味不明！？【そんなに難しいこと言ってないよ】」の記事をご覧ください。[/ふきだし]

カードの問題

最後の問題には「少なくとも」が含まれていません…。

しかし、自分で問題文をちょっといじくってみれば、何か見えてくるはずです。

【解答】

「積が $3$ の倍数になる」ということは、「少なくとも $1$ 枚は $3$ の倍数のカードを引く」ということと等しい。

ここで、$3$ 枚とも $3$ の倍数ではないカードを引く確率は、$\displaystyle \frac{{}_8{C}_{3}}{{}_{11}{C}_{3}}=\frac{56}{165}$ である。

よって、求めるのはその余事象の確率なので、$\displaystyle 1-\frac{56}{165}=\frac{109}{165}$ である。

(解答終了)

自分で「少なくとも」を使った問題文に変えるところがポイントでしたね！

ちなみに、余事象を使わない解法だと

• ⅰ）$3$ の倍数のカードを $1$ 枚引くとき
• ⅱ）$3$ の倍数のカードを $2$ 枚引くとき
• ⅲ）$3$ の倍数のカードを $3$ 枚引くとき

の $3$ パターンに分けて、それぞれの確率を足せば求まりますが、面倒くさいのでやりません。(笑)

[ふきだし set=”ウチダ”]そうなんです。ポイントは「余事象を考えた方が計算がラクになるかどうか」これです。”少なくとも”が使われる多くの場合は、それに当てはまるということになりますね。[/ふきだし]

余事象の確率の応用例２選

それでは最後に、ちょっと難しめの余事象について考えていきましょうか。

具体的には

• じゃんけんであいこになる確率
• 誕生日のパラドックス

この $2$ つについて考えていきます。

じゃんけんのあいこ

じゃんけんであいこになる確率って、意外と難しいんですよ～。

なぜかというと、あいこには

• 全員同じ手を出す
• $3$ 種類の手が出る

の $2$ 通りがあって、特に $3$ 種類の手の出方にもまたパターンがあるからです。

[ふきだし set=”ウチダ”]たとえば人数が $5$ 人になると、$3$ 種類に対し $(2,2,1)$ で分かれる場合と $(3,1,1)$ で分かれる場合を区別して考えなきゃいけなくなります。[/ふきだし]

ということで、あいこの確率は余事象で求めるのが無難です。

【解答】

あいこじゃない、つまり勝負がつくとき、出されている手は必ず $2$ 種類である。

ⅰ）全事象の場合の数（手の出方全部）

$1$ 人に対し $3$ 通り考えられるので、$3^4=81$ 通り。

ⅱ）求める場合の数（勝負がつく）

1. 何の $2$ 種類が出されるか
2. それぞれの場合の数

の $2$ つに分けて考える。

①…$3$ 種類から $2$ 種類取る組合せの総数なので、${}_3{C}_{2}=3$ 通り。

②…たとえば $(グー、チョキ)$ の場合。

$1$ 人に対し $2$ 通り場合の数があるが、「全員がグー」「全員がチョキ」を除かなければいけないため、$2^4-2=14$ 通り。

≫参考記事：重複順列の問題６選とは【公式よりも応用問題の解き方が大切です】

よって積の法則より、$3×14=42$ 通り。

したがってⅰ）ⅱ）より、求める確率は、$\displaystyle 1-\frac{42}{81}=\frac{39}{81}=\frac{13}{27}$ である。

(解答終了)

結構難しいと思います。

ただ、「余事象がいかに役立つか」をより感じることができたのではないでしょうか？

[ふきだし set=”ウチダ”]じゃんけんの確率については「じゃんけんの確率（数学）の問題５選をわかりやすく解説します」の記事で詳しく解説してます～！[/ふきだし]

誕生日のパラドックス

さて、最後は「誕生日のパラドックス」と呼ばれる、ちょっと変わった問題です。

解く前に、大体何パーセントぐらいか予想してみて下さい。

予想できましたか？？？

↓↓↓

実は、なんと約 $70$ ％ になります！！

[ふきだし set=”ウチダ”]これは驚きました！ちなみに、直感と反する答えになるため「パラドックス（逆説）」と呼ばれます。[/ふきだし]

ということで解答です♪

【解答】

今聞かれているのは、$30$ 人の中に誕生日が同じ二人組が少なくとも $1$ 組存在する確率である。

よってその余事象は、「全員誕生日がバラバラ」となる。

$1$ 年を $365$ 日だとすると、全員誕生日がバラバラになる確率は

したがって求める確率は、$\displaystyle 1-0.3≒0.7$ ぐらいである。

(解答終了)

計算は大変すぎるので省略しましたが、$7$ 割の確率で同じ誕生日の二人組がいるとは驚きですね。

興味のある方は「誕生日のパラドックスとは【同じ誕生日の人がいる確率はどのくらい？】」の記事もあわせてご覧ください。

余事象の確率に関するまとめ

本記事のポイントを改めてまとめます。

• 「 $A$ じゃない確率」は、$1$ から「 $A$ である確率」を引けばOK。
• 「少なくとも」を見かけたら、余事象を考えてみよう！
  • 自分で「少なくとも」に書き換えることも重要です。

考えづらい問題は、余事象で何とかなる場合が多いので、ぜひ注意してみて下さい。

「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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終わりです。