MENU

余事象の確率とは?【〇〇の問題で絶大な威力を発揮します】

2019 12/14
余事象の確率とは?【〇〇の問題で絶大な威力を発揮します】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「余事象の確率」について、その考え方は理解しましたか?

よく

悩む男性のアイコン画像悩む男性
余事象の確率の公式ってなんで成り立つんだろう…。
悩む女性のアイコン画像悩む女性
余事象の確率の公式を使うタイミングが、いまいちつかめないな~。

こういった声を耳にします。

よって本記事では、余事象の確率の公式から、余事象の確率の公式を用いる問題 $3$ 選、また余事象の確率の応用例まで、

  • 東北大学理学部数学科卒
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • (専門は確率論でした。)

の僕がわかりやすく解説します。

スポンサーリンク
目次

余事象の確率とは?【「少なくとも」を見たら常に疑え!!】

余事象の確率におけるポイントはたったの $2$ つ。

  • $1$ からそうじゃない確率を引けばいい。ただそれだけ。
  • 「少なくとも」というワードが出てきたら、余事象の確率の問題である可能性大!

まず、余事象の確率の公式$$P(\overline{A})=1-P(A)$$がなぜ成り立つのか、についてですが、これはベン図で考えるとわかりやすいです。

余事象の確率とは?【「少なくとも」を見たら常に疑え!!】

$n(A)$ を「集合 $A$ の要素の個数」だと定義すると、$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$ が成り立ち、この式の両辺を $n(U)$ で割ることで $P(\overline{A})=1-P(A)$ が導けます。

ウチダのアイコン画像ウチダ
あ、「補集合と余事象の違いがよくわからない…」といった方がたまにいらっしゃるんですが、これは集合の話から確率の話に変わっただけで、特に言ってることは変化してないです。そんな感じの軽~い理解でOKですよ^^

では次に、“使うタイミング”について、具体的に問題を解きながら見ていきましょう。

余事象の確率の公式を用いる問題3選

「少なくともを見たら常に疑え」とのことでしたが、実際はどうなんでしょうか…。

この章では

  • サイコロの問題
  • くじの問題
  • カードの問題

と、少しずつレベルアップさせながら解説していきます。

サイコロの問題

問題. それぞれの確率を求めなさい。
(1) サイコロを $1$ 個投げるとき、$2$ 以上の目が出る確率
(2) サイコロを $2$ 個投げるとき、少なくとも $1$ つは奇数の目が出る確率

特に(2)では、余事象の確率の公式を使った方が良いです。

【解答】

(1) 「 $2$ 以上の目が出る」ということは、「 $1$ の目が出ない」ということと等しい。

よって求める確率は、$\displaystyle 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ である。

(2) 「少なくとも $1$ つは奇数の目が出る」ということは、「 $2$ つとも偶数の目ではない」ということと等しい。

よって求める確率は、$\displaystyle 1-\frac{3×3}{36}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ である。

(解答終了)

ここら辺は簡単ですね!

くじの問題

問題. $10$ 本のうち当たりが $3$ 本入ったくじから同時に $2$ 本引く。このとき、少なくとも $1$ 本は当たりを引く確率を求めなさい。

さあ、またまた「少なくとも」が出てきましたよ~。

ためしにこの問題では、余事象を使わない解法も考えていきましょうかね。

【解答】

$2$ 本とも外れる確率は $\displaystyle \frac{7×6}{10×9}=\frac{7}{15}$

よって、求めるのはその余事象の確率なので、$\displaystyle 1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}$ である。

【余事象の確率】くじの問題

(余事象を使わない解答)

求める確率は

  • ⅰ)…$1$ 回目に当たりを引き、$2$ 回目にハズレを引く確率
  • ⅱ)…$1$ 回目にハズレを引き、$2$ 回目に当たりを引く確率
  • ⅲ)…$1$ 回目 $2$ 回目ともに当たりを引く確率

以上 $3$ パターンに分けられる。

ⅰ)の確率は、$\displaystyle \frac{3×7}{10×9}=\frac{21}{90}$

ⅱ)の確率は、$\displaystyle \frac{7×3}{10×9}=\frac{21}{90}$

ⅲ)の確率は、$\displaystyle \frac{3×2}{10×9}=\frac{6}{90}$

したがってⅰ)ⅱ)ⅲ)より、求める確率は、$\displaystyle \frac{21+21+6}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}$ である。

(解答終了)

いかがでしょう。

余事象を使った方が断然ラクですよね!

ウチダのアイコン画像ウチダ
確率の求め方は色々ありまして、ここでは”同時”を” $1$ 回目と $2$ 回目”に区別して求めています。この理由の詳しい解説は「同様に確からしいは意味不明!?【そんなに難しいこと言ってないよ】」の記事をご覧ください。

カードの問題

問題. $1$ から $11$ までの数字が書かれた $11$ 枚のカードから $3$ 枚を同時に引く。このとき、カードの数字の積が $3$ の倍数になる確率を求めなさい。

最後の問題には「少なくとも」が含まれていません…。

しかし、自分で問題文をちょっといじくってみれば、何か見えてくるはずです。

【解答】

「積が $3$ の倍数になる」ということは、「少なくとも $1$ 枚は $3$ の倍数のカードを引く」ということと等しい。

【余事象の確率】カードの問題

ここで、$3$ 枚とも $3$ の倍数ではないカードを引く確率は、$\displaystyle \frac{{}_8{C}_{3}}{{}_{11}{C}_{3}}=\frac{56}{165}$ である。

よって、求めるのはその余事象の確率なので、$\displaystyle 1-\frac{56}{165}=\frac{109}{165}$ である。

(解答終了)

自分で「少なくとも」を使った問題文に変えるところがポイントでしたね!

ちなみに、余事象を使わない解法だと

  • ⅰ)$3$ の倍数のカードを $1$ 枚引くとき
  • ⅱ)$3$ の倍数のカードを $2$ 枚引くとき
  • ⅲ)$3$ の倍数のカードを $3$ 枚引くとき

の $3$ パターンに分けて、それぞれの確率を足せば求まりますが、面倒くさいのでやりません。(笑)

ウチダのアイコン画像ウチダ
そうなんです。ポイントは「余事象を考えた方が計算がラクになるかどうか」これです。”少なくとも”が使われる多くの場合は、それに当てはまるということになりますね。
スポンサーリンク

余事象の確率の応用例2選

それでは最後に、ちょっと難しめの余事象について考えていきましょうか。

具体的には

  • じゃんけんであいこになる確率
  • 誕生日のパラドックス

この $2$ つについて考えていきます。

じゃんけんのあいこ

問題. $4$ 人でじゃんけんをするとき、あいこになる確率を求めなさい。

じゃんけんであいこになる確率って、意外と難しいんですよ~。

なぜかというと、あいこには

  • 全員同じ手を出す
  • $3$ 種類の手が出る

の $2$ 通りがあって、特に $3$ 種類の手の出方にもまたパターンがあるからです。

ウチダのアイコン画像ウチダ
たとえば人数が $5$ 人になると、$3$ 種類に対し $(2,2,1)$ で分かれる場合と $(3,1,1)$ で分かれる場合を区別して考えなきゃいけなくなります。

ということで、あいこの確率は余事象で求めるのが無難です。

【解答】

あいこじゃない、つまり勝負がつくとき、出されている手は必ず $2$ 種類である。

ⅰ)全事象の場合の数(手の出方全部)

$1$ 人に対し $3$ 通り考えられるので、$3^4=81$ 通り。

ⅱ)求める場合の数(勝負がつく)

  1. 何の $2$ 種類が出されるか
  2. それぞれの場合の数

の $2$ つに分けて考える。

①…$3$ 種類から $2$ 種類取る組合せの総数なので、${}_3{C}_{2}=3$ 通り。

②…たとえば $(グー、チョキ)$ の場合。

$1$ 人に対し $2$ 通り場合の数があるが、「全員がグー」「全員がチョキ」を除かなければいけないため、$2^4-2=14$ 通り。

≫参考記事:重複順列の問題6選とは【公式よりも応用問題の解き方が大切です】

よって積の法則より、$3×14=42$ 通り。

したがってⅰ)ⅱ)より、求める確率は、$\displaystyle 1-\frac{42}{81}=\frac{39}{81}=\frac{13}{27}$ である。

(解答終了)

結構難しいと思います。

ただ、「余事象がいかに役立つか」をより感じることができたのではないでしょうか?

ウチダのアイコン画像ウチダ
じゃんけんの確率については「じゃんけんの確率(数学)の問題5選をわかりやすく解説します」の記事で詳しく解説してます~!

誕生日のパラドックス

問題. $30$ 人のクラスがある。その中に、同じ誕生日の二人組がいる確率を求めなさい。

さて、最後は「誕生日のパラドックス」と呼ばれる、ちょっと変わった問題です。

解く前に、大体何パーセントぐらいか予想してみて下さい。

予想できましたか???

↓↓↓

実は、なんと約 $70$ % になります!!

ウチダのアイコン画像ウチダ
これは驚きました!ちなみに、直感と反する答えになるため「パラドックス(逆説)」と呼ばれます。

ということで解答です♪

【解答】

今聞かれているのは、$30$ 人の中に誕生日が同じ二人組が少なくとも $1$ 組存在する確率である。

よってその余事象は、「全員誕生日がバラバラ」となる。

$1$ 年を $365$ 日だとすると、全員誕生日がバラバラになる確率は

\begin{align}\frac{365×364×363×…×336}{365^{30}}&=\frac{{}_{365}{P}_{30}}{365^{30}}\\&≒0.3\end{align}

したがって求める確率は、$\displaystyle 1-0.3≒0.7$ ぐらいである。

(解答終了)

計算は大変すぎるので省略しましたが、$7$ 割の確率で同じ誕生日の二人組がいるとは驚きですね。

興味のある方は「誕生日のパラドックスとは【同じ誕生日の人がいる確率はどのくらい?】」の記事もあわせてご覧ください。

余事象の確率に関するまとめ

本記事のポイントを改めてまとめます。

  • 「 $A$ じゃない確率」は、$1$ から「 $A$ である確率」を引けばOK。
  • 「少なくとも」を見かけたら、余事象を考えてみよう!
    • 自分で「少なくとも」に書き換えることも重要です。

考えづらい問題は、余事象で何とかなる場合が多いので、ぜひ注意してみて下さい。

「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

あわせて読みたい
確率の求め方とは?【高校数学Aの解説記事総まとめ12選】
確率の求め方とは?【高校数学Aの解説記事総まとめ12選】「確率」の総まとめ記事です。確率とは何か、その基本的な求め方に触れた後、確率の解説記事全12個をまとめています。「確率をしっかりマスターしたい」「確率を自分のものにしたい」方は必見です!!

終わりです。

【小中高生向け】オンライン家庭教師とは?(オススメ5選をご紹介)
【大学生向け】専門書は高いのに売れない?そんなことないです(専門書買取おすすめ4選)

コメント

コメント一覧 (2件)

  • 誕生日パラドックスの問題で、分子が365から始まるのが理解出来ません。364からなのでは?と思っています。馬鹿な僕ですが、教えて頂けませんか?

    • 1人目制限はないからです。2人目で初めて「1人目と違う誕生日」という条件が付くので、365-1=364通りとなります。

コメントする

目次
閉じる