ガウス記号の定義や性質とは？【応用問題５選もわかりやすく解説します】

2019年11月27日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

「ガウス記号」（床関数とも言います）とは、その数を超えない最大の整数を表す記号のこと、いわば”整数値を取る関数”です。

例．　$[1.5]=1$，$[2]=2$，$[9.9]=9$

数学太郎

なるほど、これが定義だね。でも、そもそもガウス記号って何のためにあるの？

数学花子

ガウス記号に関する問題って、例えばどんなものがあるのかしら？

よって本記事では、ガウス記号に成り立つ性質から、ガウス記号に関する問題 $5$ 選、さらに「ガウス記号は何のために存在するのか」まで

東北大学理学部数学科卒業
教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

ガウス記号の定義や性質とは？【必ず整数の値を取ります】

冒頭でもお伝えした通り、ガウス記号の定義とは…

その数を超えない最大の整数

つまり、「必ず整数の値を取る関数」とみなすことができます。

また、この定義から $[x]$ について以下の性質が成り立ちます。

ガウス記号 $[ \ \ ]$ に成り立つ性質

$[x]=m$ ならば $m≦x<m+1$ が成り立つ（逆も真）。
自然数 $n$ に対して、$[x+n]=[x]+n$
$[x+y]≧[x]+[y]$
$\displaystyle [2x]=[x]+[x+\frac{1}{2}]$

他にも、性質を作ろうと思えば作れますが、大体この辺りを押さえておけば問題ないでしょう。

性質 $4$ は、

ⅰ）　$\displaystyle 0≦x<\frac{1}{2}$

ⅱ）　$\displaystyle \frac{1}{2}≦x<1$

に場合分けして成り立つことを確認し、その後性質 $2$ を用いて一般的に示すことができます。

ガウス記号を含むグラフ

問題.　$y=[x]$ のグラフを書きなさい。

では次に、ガウス記号を含むグラフがどのような形で書けるか見てみます。

もっと複雑な関数のグラフは、あとで応用問題として解きますが、すべてはこの関数

$$y=[x]$$

が基本となります。

とりあえず、「ガウス記号 $[x]$ の中身が整数となる $x$ でのみ連続ではない関数」になることを押さえておけばOKです。

ガウス記号の応用問題５選

さて、以上を踏まえ、もう少し難しい応用問題にチャレンジしてみましょう。

具体的には

の $5$ つを順に解説していきます。

ウチダ

それぞれリンクになってますので、お好きなところから読み進めてもOKです。

グラフを書く問題

問題.　関数 $y=x-[x]$（ $-1≦x≦2$ ）のグラフを書きなさい。

さて、まずは少し複雑に見えるグラフを書いてみましょう。

ポイントは、「ガウス記号 $[ \ \ ]$ の中身が整数のところで連続じゃない」です。

【解答】

$x$ が整数のときのみ $x=[x]$ となるから、$y=0$ となる。

これに注意してグラフを書くと、以下のようになる。

(解答終了)

「 $x$ が整数じゃないときは $y=x$ の形になる」というところが、この関数の面白い部分だと思います。

方程式を解く問題（2018年岐阜聖徳学園入試問題）

問題.　$x^2+2[x]+1=0　…①$ を満たす $x$ を $-3≦x<0$ の範囲で求めなさい。
※2018年岐阜聖徳学園入試問題

実は大学の入試問題として出題されることもあります。

さて、$x^2+2x+1=0$ であれば $x=-1$ のみですが、$2x$ → $2[x]$ になったことでどういう変化があるでしょうか。

少し考えてみてください。

【解答】

$-3≦x<0$ を満たす $x$ は

整数部分　→　$n=-3 \ , \ -2 \ , \ -1$ のいずれか
小数部分　→　$0≦α<1$ を満たす実数 $α$

を用いて $x=n+α$ と表すことができる。

これを①の $[x]$ に代入すると、$x^2+2[n+α]+1=0$ であり、$[n+α]=n$ を用いて$$x^2=-2n-1　…②$$

と表せる。

また、$n=-3 \ , \ -2 \ , \ -1$ のどれかなので、②に代入すると

$$x^2=5 \ , 3 \ , 1$$

のいずれかとなる。

したがって、$-3≦x<0$ より$$x=-\sqrt{5} \ , \ -\sqrt{3} \ , \ -1$$

(解答終了)

$x^2+2x+1=0$ が $x^2+2[x]+1=0$ に変わっただけで、解が $2$ つ増えました！

なかなか面白い問題でしたね＾＾

不等式を解く問題

問題.　二次不等式 $2[x]^2-3[x]-2<0$ を解きなさい。

ガウス記号が含まれていると、一見して「あ～複雑。」と感じやすいですが、実際はそうでもありません。

落ち着いて因数分解することで解いていきましょう。

【解答】

左辺を因数分解すると、$(2[x]+1)([x]-2)<0$ なので、

$$-\frac{1}{2}<[x]<2　…①$$

①を満たす実数 $x$ の範囲を、$y=[x]$ のグラフと照らし合わせて考えると…

したがって、関数 $y=[x]$ が青色の部分にすっぽり入っている部分の $x$ が答えなので、

$$0≦x<2$$

(解答終了)

ここからわかることは、「二次不等式はグラフを使って解くべき」だということです。

ウチダ

二次不等式については「二次不等式の解き方をマスターしよう！【問題11選でわかりやすく解説します】」の記事で詳しく解説しております。

階乗の素因数の個数を求める問題（ガウス記号って何のためにあるの？）

問題.　$12!$ を素因数分解しなさい。

もちろん、ガウス記号を使わずとも階乗の素因数分解はできます。

ただし、ガウス記号を用いることで、一般的に解くことが可能になります。

【解答】

$12$ までの素数は $2$，$3$，$5$，$7$，$11$ の $5$ つ。

ⅰ）素因数 $2$ の個数は、$\displaystyle [\frac{12}{2}]+[\frac{12}{2^2}]+[\frac{12}{2^3}]=6+3+1=10$ 個。

ⅱ）素因数 $3$ の個数は、$\displaystyle [\frac{12}{3}]+[\frac{12}{3^2}]=4+1=5$ 個。

ⅲ）素因数 $5$ の個数は、$\displaystyle [\frac{12}{5}]=2$ 個。

ⅳ）素因数 $7$ の個数は、$\displaystyle [\frac{12}{7}]=1$ 個。

ⅴ）素因数 $11$ の個数は、$\displaystyle [\frac{12}{11}]=1$ 個。

したがって、$12!$ の素因数分解は

$$12!=2^{10}・3^{5}・5^{2}・7・11$$

(解答終了)

一般的に、ガウス記号を用いて次のように表すことができます。

【階乗の素因数分解をガウス記号で導く】
$n$ までの素数を $p_1 \ , \ p_2 \ , \ … \ , \ p_n$ とする。
このとき、

\begin{align}n!={p_1}^{[\frac{n}{p_1}]+[\frac{n}{{p_1}^2}]+…}・{p_2}^{[\frac{n}{p_2}]+[\frac{n}{{p_2}^2}]+…}・…・{p_n}^{[\frac{n}{p_n}]+[\frac{n}{{p_n}^2}]+…}\end{align}

とガウス記号を用いて表すことができる。
※この公式は横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

つまり、ガウス記号を使うことで余りを無視することができるので、数式として書くには便利だということです。

ウチダ

「素因数分解のやり方のコツとは？【応用問題３選も簡単に解けます】」の記事でもこの問題は扱ってます。こちらの記事では数式として表現できませんでしたが、ガウス記号を用いることで簡潔に表すことができるんですね。

また、ガウス記号の存在意義って、ここら辺の話ではないでしょうか。

ある関数を定義することで、何かを数式として表すことができるのであれば、それは有用だと言えますよね。

ガウス記号を用いることで、実数の整数部分（つまり小数点以下の切り捨て）を表すことができます。

なのでこれからは、余りを無視したいときなどに積極的に活用していきましょう。

ガウス記号の極限に関する問題【数Ⅲ】

問題.　次の数列の極限値を求めなさい。
(1)　$$\lim_{n \to \infty} \frac{[\frac{n}{2}]}{n}$$
(2)　$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-[\frac{n}{2}]}-n)$$

さて、最後は数Ⅲ範囲の問題です。

冒頭に紹介した「ガウス記号に成り立つ性質」の $1$ つである

$$[x]≦x<[x+1]$$

を使う時が来ました。

【解答】

(1)　$[x]≦x<[x+1]$ より $x-1<[x]≦x$ が成り立つ。

よって、$\displaystyle \frac{n}{2}-1<[\frac{n}{2}]≦\frac{n}{2}$ が言える。

すべての辺を $n$ で割ると、$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{n}<\frac{[\frac{n}{2}]}{n}≦\frac{1}{2}　…①$

①の左辺の極限値を取ると、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}-\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$ である。

したがって、はさみうちの原理（※１）より $$\lim_{n \to \infty} \frac{[\frac{n}{2}]}{n}=\frac{1}{2}$$

(2)　

\begin{align}\sqrt{n^2-[\frac{n}{2}]}-n=\frac{-[\frac{n}{2}]}{\sqrt{n^2-[\frac{n}{2}]}+n}=\frac{-\frac{[\frac{n}{2}]}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}・\frac{[\frac{n}{2}]}{n}}+1}\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

(1)より、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{[\frac{n}{2}]}{n}=\frac{1}{2}$ なので、

\begin{align}\lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{[\frac{n}{2}]}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}・\frac{[\frac{n}{2}]}{n}}+1}&=\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1-0・\frac{1}{2}}+1}\\&=-\frac{1}{4}\end{align}

(解答終了)

※１．はさみうちの原理ってなに？

これが数学Ⅲ「数列の極限」で習う代表的なテクニックなんですね。

【はさみうちの原理】
$a_n≦x_n≦b_n$ のとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=α$ かつ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n=α$ が成り立てば、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n=α$ が成り立つ。

ウチダ

ようは、「右辺と左辺の収束先が同じであれば、真ん中もそこに収束する」という原理です。詳しくは「はさみうちの原理とは～（準備中）」の記事をご覧ください。