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近似値と有効数字の求め方とは?【どちらも情報の〇〇度が大事!】

2019 12/17
近似値と有効数字の求め方とは?【どちらも情報の〇〇度が大事!】

こんにちは、ウチダショウマです。

近似値や有効数字」は、物理や化学でよく目にする言葉ですが、実は中学1年生の「資料と整理」で習います。

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近似値と有効数字の求め方がわからないです…。
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「近似値と有効数字って何?」と聞かれると、説明に困ります…。

よって本記事では、近似値と有効数字とは何かから、それらの求め方まで

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

近似値と有効数字とは結局何なのか?【情報の信頼度が大切です】

まずは、言葉のニュアンスを掴むことが重要で、どちらとも

「情報の信頼度」が関係している言葉

であることを押さえましょう。

では、例を使って解説します。

例題. 「私ウチダの体重は $58.5 \ (\mathrm{kg})$ であり、身長は $172.1 \ (\mathrm{cm})$ です。」これを近似値または有効数字を使って、適切に相手に伝えなさい。

人に伝えるとき、「なんか、小数点いらないな~」って思うことありますよね。

こういう時は、小数点第 $1$ 位で四捨五入した値、つまり「近似値」を考えます。

  • 体重 $58.5 \ (\mathrm{kg})$ → 約 $59 \ (\mathrm{kg})$
  • 身長 $172.1 \ (\mathrm{cm})$ → 約 $172 \ (\mathrm{cm})$

また、日によって体重や身長はわずかながら変化します。

でも、体重であれば $58$ の部分、身長であれば $172$ の部分は変わらない、と言える時があると思います。

こういうとき、それぞれ「有効数字」を使って表します。

  • 体重 $58.5 \ (\mathrm{kg})$ は $58$ まで信頼できる
    → $5.8×10^1 \ (\mathrm{kg})$ … 有効数字2桁
  • 身長 $172.1 \ (\mathrm{cm})$ は $172$ まで信頼できる
  • → $1.72×10^2 \ (\mathrm{cm})$ … 有効数字3桁

それぞれの言葉のニュアンスは大体掴めましたか?

では次に具体的な求め方を、練習問題を通して身に付けていきましょう。

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近似値と有効数字の求め方とは【問題3選】

例題でも説明した通り、

  • 近似値は「四捨五入」
  • 有効数字は「 $10$ の累乗」

に着目しましょう。

問題1.次の値は四捨五入によって得られた近似値である。真の値を $a$ とするとき、$a$ の範囲を不等式で表しなさい。
(1) $58 \ (\mathrm{kg})$
(2) $172 \ (\mathrm{cm})$
(3) $2.9 \ (\mathrm{km})$
(4) $1.7×10^2 \ (\mathrm{cm})$

【解答】

(1) $57.5≦a<58.5$

(2) $171.5≦a<172.5$

(3) $2.85≦a<2.95$

(4) $1.65×10^2≦a<1.75×10^2$

※ $165≦a<175$ でも可

(解答終了)

また有効数字 $n$ 桁で表す問題は、上から $n+1$ 桁目で四捨五入します。

問題2.次のそれぞれの数を、指定された桁数の有効数字で表しなさい。
(1) $634 \ (\mathrm{m})$ を有効数字 $3$ 桁で
(2) $524 \ (\mathrm{cm})$ を有効数字 $2$ 桁で
(3) $12472 \ (\mathrm{km})$ を有効数字 $3$ 桁で

【解答】

(1) $6.34×10^2 \ (\mathrm{m})$

(2) 一の位で四捨五入すると、$524≒520$ である。

※「 $≒$ 」で「ニアリーイコール」と読み、ほぼ等しい値、つまり近似値を表す。

よって、$5.2×10^2 \ (\mathrm{cm})$

(3) 十の位で四捨五入すると、$12472≒12500$ である。

よって、$1.25×10^4 \ (\mathrm{km})$

(解答終了)

ウチダのアイコン画像ウチダ
少し難しいですね。「上から $n+1$ 桁目で四捨五入する」これは覚えておくと良いでしょう。あとは、 $10$ の何乗になるかだけ注意です。

さて最後。有効数字の意味を読み取る問題です。

問題3.次の測定値は何の位まで測定したものか、読み取りなさい。
(1) $6.34×10^2 \ (\mathrm{m})$
(2) $7.360×10^5 \ (\mathrm{g})$
(3) $6.40000×10^8 \ (\mathrm{km})$

【解答】

(1) 有効数字が $3$ 桁であり、$6.34×10^2=634$ であるから、一の位まで測定している。

(2) 有効数字が $4$ 桁であり、$7.360×10^5=73600$ であるから、十の位まで測定している。

(3) 有効数字が $6$ 桁であり、$6.40000×10^8=640000000$ であるから、千の位まで測定している。

(解答終了)

ウチダのアイコン画像ウチダ
つまり $6.4×10^8$ と $6.40000×10^8$ は全く意味合いが異なります。

前者は有効数字が $2$ 桁であるため、$635000000$ ~ $645000000$ と誤差が大きいですが、後者は $639999500$ ~ $640000500$ と誤差が小さいです。

近似値と有効数字に関するまとめ

本記事のポイントをまとめます。

  1. どちらとも「情報の信頼度」に関わる数。
  2. 近似値は「四捨五入」、有効数字は「 $10$ の累乗」を考えよう。

有効数字の意味をとらえるのが少し時間がかかるかと思います。

問題 $3$ つをじっくり解くことで、理解していきましょう。

数学Ⅰ「データの分析」の全 $18$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。

おわりです。

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