判別式ｄとは？【公式・４分のｄの意味・いつ使うかわかりやすく解説します】

こんにちは、ウチダです。

数学Ⅰで習う「二次関数」と、中学２年生で習う「二次方程式」には、深いかかわりがあります。

これら２つを結び付けているのが「判別式Ｄ（はんべつしき）」です。

よって本記事では、判別式Ｄの意味（公式・使うとき・４分のＤ）から判別式による最大最小の問題まで

• 東北大学理学部数学科卒業
• 実用数学技能検定１級保持
• 高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

判別式Ｄとは一体何か【解の公式の√部分です】

判別式とは、「二次方程式の解の公式で登場する√（ルート）の中身部分」を表します。

なので、正確には「二次方程式の判別式Ｄ」という言い方をします。
※三次方程式や四次方程式の判別式もありますが、この記事では扱いません。

また、判別式は英語で「discriminant」と言うので、頭文字を取ってＤで表します。

解の公式に関する詳しい解説は、こちらの記事をご参考ください。

解の公式とは～（準備中）

判別式ｄの符号で実数解の個数がわかる理由

さて、”判別式”というぐらいですから、きっと「何かを判別する式」なのだろう、と思いますよね？

結論から言うと、判別式は「二次方程式の実数解の個数を判別する式」になります。

一体どういうことなのかを理解していくために、まずはこちらの問題をご覧ください。

問題１．次の方程式の解を計算しなさい。
(1)　$x=1±\sqrt{9}$
(2)　$x=2±\sqrt{0}$
(3)　$x=3±\sqrt{-1}$

サクッと解答していきます。

(1)　$\sqrt{9}=3$ なので、$1±\sqrt{9}=1±3$
よって、$x=4 \ , \ -2$
(2)　$\sqrt{0}=0$ なので、$2±\sqrt{0}=2±0=2$
よって、$x=2$
(3)　$\sqrt{-1}$ という数は存在しない（※１）。
よって、実数解はない。

この問題を、二次方程式の解の公式に照らし合わせてほしいんです。

つまり、

1. √の中身がプラス（ $D>0$ ）　…実数解は $2$ つ。
2. √の中身が $0$（ $D=0$ ）　　　…実数解は $1$ つ。（※２）
3. √の中身がマイナス（ $D<0$ ）…実数解はない（ $0$ 個）。

となるため、「判別式Ｄの符号によって実数解の個数がわかる」と言えます。

※１と※２の補足

※１で $\sqrt{-1}$ という数が出てきますが、実は数学Ⅱで

という、新たな数 $i$ が登場します。

この数は、実数に対して”虚ろ（うつろ）な数”とも言えるので、「虚数（きょすう）」と呼ばれています。

また、※２で「実数解は $1$ つ」となっていますが、厳密には

実数解は $2$ つあるが、その $2$ つの実数解が一致している

とも言えます。

このように、実数解が複数個重なっているように見えることから、$D=0$ のときの実数解は「重解（じゅうかい）」と呼ばれています。

それぞれについては以下の参考記事で詳しく解説してますので、もし興味があればあわせてご覧ください。

• 虚数とは～（準備中）
• 重解の求め方とは？【二次方程式が重解をもつ条件を解説します】

二次関数のグラフと判別式の関係は？

さて、ここまでで「二次方程式と判別式のかかわり」は理解できましたね。

では、本題である「二次関数と判別式のかかわり」とは何かについて、解説していきます。

二次関数 $y=ax^2+bx+c$ に対して、$ax^2+bx+c=0$ を解くと図の点の座標がわかります。

つまり、ここからマジカルバナナみたいに連想ゲームをしていくと、

• 判別式Ｄの符号で、二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数がわかるんだったな…
• 二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解は、上のグラフの赤の点だったな…

よって、「判別式Ｄの符号で、二次関数 $y=ax^2+bx+c$ が $y=0$（ $x$ 軸）といくつの点で交わるかがわかる」ということになります。

さあ、ここまでの内容を一回表にまとめておきましょう。

この「二次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係」は、すぐ後で学ぶ「二次不等式（にじふとうしき）」の解き方を理解する上で非常に重要な知識ですので、ぜひこの機会に本質を押さえておきましょう。

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判別式のちょっと応用問題２選

基本的な内容は説明できましたので、ここからは応用問題にチャレンジしていきましょう。

というのも、判別式に限った話ではないですが、判別式は特に「上手に使う」ことが求められます。

いったいどういうことなのかは、問題を解きながら確認していきましょう。

「４分のＤ公式」を使おう

問題２．次の二次関数のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を調べなさい。
(1)　$y=x^2-5x+3$
(2)　$y=3x^2+2x+1$

さて、まず一問目は先ほどの復習もかねて、「二次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係」に関する問題です。

見出しの「”４分のＤ公式”って何だろう…」と考えながら、以下の解答をご覧ください。

もちろん(2)も、今まで通り $D=b^2-4ac$ を使って計算しても解くことができます。

ただ、再三お伝えしている通り、あくまで重要なのは「判別式Ｄの符号」です。

つまり極端な話を言うと、「 $D=1$ だろうが $D=2$ だろうが、$D$ の値はほとんど関係ない」ということです。

この考え方から、「４分のＤ公式」を導いていきます。

【４分のＤ公式とは？】
二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式は $D=b^2-4ac$ で表せた。

ここで、$b$ が偶数の場合に着目する。
すると、$b=2n$ のように表せるので、これを判別式 $D$ の式に代入する。
$D=b^2-4ac$
$ \quad =(2n)^2-4ac$
$ \quad =4n^2-4ac$
$ \quad =4(n^2-ac)$

$4$ でくくり出すことができたので、両辺を $4$ で割ると、
$\displaystyle \frac{D}{4}=n^2-ac$
となる。
(導出終了)

実際、$D=b^2-4ac$ の $4$ をかけ忘れてしまう方は多いと思います。

$b$ が偶数のときは、ぜひ「４分のＤ公式」を積極的に使っていきましょうね！

【補足】判別式は●次方程式に対して定義されるもの

問題２の解答中で「二次方程式 $～=0$ の判別式を $D$ とする」という文言があります。

少し注意していただきたいのが、判別式はあくまで「（右辺が $0$ の）方程式に対して定義されるもの」であり、関数に対して定義されるものではありません。

判別式は、方程式の実数解の個数を判別するための式でした。

細かいところですけど、減点される可能性もあるため、「何に対して定義されるのか」その論理を追うことができるとVERY GOODです！

放物線と直線の共有点の個数を求めよう

問題３．放物線 $y=x^2-x$ と直線 $y=x-k$ の共有点の個数を調べなさい。

次は、$x$ 軸との共有点ではなく、直線（一次関数）との共有点を調べる問題です。

それでは参りましょう。

$x$ 軸との共有点を求める場合、$x$ 軸は $y=0$ とも表せるのでそれを利用し、連立方程式を作りましたね。

今回の問題も、発想は一緒です。

連立方程式に関する詳しい解説は、こちらの記事をご覧ください。

連立方程式とは～（準備中）

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判別式による最大最小の問題を解こう【発展】

さあ、ラストの問題はかなり発展的な内容です。

面白い問題ですので、ぜひチャレンジしてみてください。

発展問題１．$\displaystyle \frac{2x-1}{x^2+2}$ の最大値および最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

この問題にまさか判別式を用いるなんて本当か…？

こう思う方は多いと思います。

それでは解答をご覧ください。

解答中でも示したように、

• 「 $x$ が実数」だから…
• 「二次方程式は必ず実数解を持つ」と言える！
• ということは…「判別式 $D≧0$ を解けばOK」

この発想が、発展問題１を解く上での最大のポイントです。

自分で思いつくのは中々厳しいので、ぜひ一度は挑戦しておきましょう＾＾

判別式に関するまとめ

それでは最後に、本記事のポイントをまとめます。

1. 判別式Ｄとは、「二次方程式の解の公式」の√部分のことであり、実数解の個数を判別するための式！
2. 判別式Ｄを使えば、二次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係がわかり、「二次不等式」を解くカギとなる。
3. より詳しい使い方は「重解（じゅうかい）」の記事でまとめています。

「実数解を持つ $⇔$ $D≧0$ 」はぜひ理解しておきたいので、こちらの記事もあわせてご覧ください。

数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。

おわりです。