外心とは?三角形の外心の座標・位置ベクトルの求め方や性質の証明をわかりやすく解説!【垂心】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は数学A「図形の性質」で習う

「三角形の外心(+垂心)」

について、性質の証明や座標の求め方、位置ベクトル表示などをわかりやすく解説していきたいと思います。

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目次

外心とは

なぜ”外心”なのか、いきなり説明することは困難です。

まずは、その疑問を一旦頭の片隅において、以下の事実を考えていきましょう。

↓↓↓

【衝撃の事実】
$3$ 辺の垂直二等分線は $1$ 点で交わる!!

どこが”衝撃”なのか解説します。

まず、直線 $2$ 本の場合を考えてみましょう。

これらが $1$ 点で交わるのは、どういう場合ですか?

答えは「 $2$ 本の直線が平行ではないとき」ですよね。

つまり、ほとんどの $2$ 本の直線は $1$ 点で交わるわけです。

さて、そこに $3$ 本目の直線を加えて考えてみましょう。

↓↓↓

適当に $3$ 本目の直線を $5$ つほど書いてみましたが、しっかり交点を通っている直線(赤の実線)は $1$ つしかありませんね!

これはあくまで、どこが”衝撃”なのか視覚的にわかりやすく解説した図です。

よって、「本当に確率が低いかどうか」は定かではなくても、「$3$ 本の直線が同じ点を通ることは珍しい」というイメージは持てたのではないでしょうか。

これで、どこが”衝撃”であるかは理解できましたね。

では、まずはこの衝撃の事実を証明していきましょう。

3辺の垂直二等分線が一点で交わることの証明

この証明を考えるにあたって、先ほどのイメージが役に立ちます。

つまり、$2$ 辺の垂直二等分線が交わることはほぼ自明なので、$3$ 本目がそこを通ればOK、という発想になります。

それでは、さっそく証明の方に移ります。

【証明】

辺 AB、AC の垂直二等分線を書き、辺 BC の垂直二等分線がその交点 O を通ることを示す。

垂直二等分線の性質より、辺 AB の垂直二等分線から、$$OA=OB ……①$$また、辺 AC の垂直二等分線から、$$OA=OC ……②$$

①、②より、$$OB=OC$$

したがって、垂直二等分線の性質より、点 O は辺 BC の垂直二等分線上の点でもあることがわかった。

(証明終了)

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使える条件が「垂直二等分線であること」のみなので、必然的にこのような証明になります。

ちなみに、この証明で用いた「垂直二等分線の性質」というのは、以下の性質です。

【垂直二等分線の性質】
辺 AB の垂直二等分線を ℓ とする。
このとき、
\begin{align}「点 P が ℓ 上に存在する」 ⇔ 「 PA=PB 」\end{align}

※この同値関係は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)
が成り立つ。

三角形の合同を考えれば理解できるかと思います。

↓↓↓

また、この性質は垂直二等分線の作図を考える際にも必要な知識となります。

⇒⇒⇒垂直二等分線の作図方法(書き方)とそれが正しいことの証明をわかりやすく解説!【垂線】

外心の性質~なぜ”外心”なのか~

さて、$3$ 辺の垂直二等分線が $1$ 点で交わることは証明できましたね。

折角なんで、その交点 O に名前を付けてみましょう。

ただ、どんな名前にするか決めるために、交点 O に関して成り立つ性質を考えてみましょうか。

先ほどの証明で判明した事実$$OA=OB=OC$$これが交点 O の代表的な性質になります。

これを用いて問題を解いていくことになるのですが…

…この図を見てると、以下のような図形が見えてこないですか?

↓↓↓

そうなんです。

$OA=OB=OC$ の式が意味していることは、それらが半径になる円が描けるということになります!

そもそも、円の定義というのは、「定点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線」でした。

コンパスをぐるっと一周させると円が描ける理由は、この定義そのものですよね。

また、数学Ⅱで「円の方程式」を学ぶと、通る $3$ 点が決まれば円は一つに決まることがわかります。

⇒参考.(後日書きます。)

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さて、以上の話をまとめましょう。

まず、$3$ 本の垂直二等分線は必ず $1$ 点で交わることがわかりました。

次に、垂直二等分線の性質より、交点 O から各頂点までの距離が等しくなることがわかりました。

よって、各頂点を通る円(外接円)が必ず存在し、一つに定まることがわかりました。

これについては

の記事でも触れてきました。

これで、どんな三角形にも外接円が必ず存在することの理由がはっきりと理解できましたね。

さて、交点 O が外接円の中心となることから、”外心”と名前を付けましょう。

これで、名前の意味も理解できましたね^^
※ちなみに、外心は三角形の内部にあるとは限りません。直角三角形であれば辺上に、鈍角三角形であれば三角形の外部に存在します。考えるヒントは「円周角の定理」です。

<補足>垂心の存在の証明

今、いわゆる「三角形の五心」と呼ばれるものについて学習しています。
※他の三角形の五心についてのリンクは、この記事の最後にあります。

そのうちの一つとして”外心”を学んでいます。

外心は、外接円の中心であることから、重要度が高い心として数学A履修者なら誰もが学習します。

ここで、”垂心”と呼ばれる心について少し考えてみましょう。

【垂心について】
各頂点から下ろした $3$ 本の垂線は $1$ 点で交わる。
また、この交点「垂心(すいしん)」と呼ぶ。

外心とまあまあ似てますね。

実は、証明方法もかなり似通っています。

【証明】

図のように、各辺の中点を P,Q,R とし、△PQR の垂心が△ABC の外心と一致することを示す。

↓↓↓

中点連結定理より、$$PQ // AC$$

よって、直線 RO は辺 PQ と垂直に交わる。

同様に、直線 QO は辺 PR と垂直に交わり、直線 PO は辺 QR と垂直に交わる。

したがって、各頂点から下ろした $3$ つの垂線は、点 O で交わる。

(証明終了)

この証明で用いている知識は

  • 外心の存在性
  • 中点連結定理

この $2$ つになります。

まず、中点連結定理より、それぞれが垂線であることを示しています。

次に、外心の存在性は先ほど証明済みなので、それを用いて $1$ 点で交わることを示しています。

よって、垂心を調べたいときは、△ABC のような大きな三角形を書いて、その外心を求めることによってわかります。

「中点連結定理」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒「中点連結定理とは?逆の証明や平行四辺形の問題もわかりやすく解説!

垂心については習わない学校も多いですが、一応「三角形の五心」の一つなので、知っておくことに越したことはないでしょう。

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外心の性質を用いた応用問題3選

ここからは、外心の性質を用いた応用問題について見ていきましょう。

具体的には、

  • 角度を求める問題
  • 座標を求める問題
  • 位置ベクトルを求める問題(数学B)

この $3$ つが挙げられます。

角度を求める問題

まずは一番基本的な「角度」を求める問題です。

↓↓↓

問題. 点 O が △ABC の外心であるとき、角度 $α$ を求めよ。

外心であることを利用しないとこの問題は解けません。

それではノーヒントで解答に移ります。

【解答1】

補助線 OA を引き、$$OA=OB=OC$$より、二等辺三角形の性質を用いる。

↓↓↓

△ABC の内角の和が $180°$ より、$$2(40°+20°+α)=180°$$

したがって、$$α=30°$$

(解答1終了)

解答1では、補助線を引いて二等辺三角形の性質のみを用いました。

ここに、円周角の定理の知識を用いて、解答2のように解くこともできます。

【解答2】

外心であるから、図のように中心 O の円が描ける。

↓↓↓

円周角の定理より、中心角は円周角の二倍であるため、$$∠BOC=120°$$

よって、△BOC の内角の和が $180°$ より、$$120°+2α=180°$$

したがって、$$α=30°$$

(解答2終了)

二等辺三角形の性質に加えて、円周角の定理を用いることにより、かなりスッキリとした解答になりますね!

「二等辺三角形」に関する記事はこちらから!!

⇒⇒⇒二等辺三角形の定義・角度の性質を使った証明問題などを解説!

「円周角の定理」に関する記事はこちらから!!

⇒⇒⇒円周角の定理とは?【必ず押さえたい7つのポイント】

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外心の座標を求める問題

問題. $3$ 点 $A(1,4)$、$B(5,2)$、$C(-1,0)$ を頂点とする三角形の外心の座標を求めよ。

解法は複数ありますが、一番わかりやすいのは、やはり$$OA=OB=OC$$を用いる方法だと思います。

あとは、目次1.2「外心の性質~なぜ”外心”なのか~で紹介した「円の方程式」を求める方法もオススメです。

通る $3$ 点が決まれば円は一つに定まるので、その方程式を求めてあげれば自然と中心がわかる、という仕組みになっております。

ここでは、一番わかりやすい解法で解いていきたいと思います♪

【解答】

求める外心 O を $(p,q)$ とおく。

ここで、$OC^2=OA^2$ より、$$(p+1)^2+q^2=(p-1)^2+(q-4)^2$$

これを整理すると、$$p+2q-4=0 ……①$$

また、$OC^2=OB^2$より、$$(p+1)^2+q^2=(p-5)^2+(q-2)^2$$

これを整理すると、$$3p+q-7=0 ……②$$

①、②の連立方程式を解いて、$$p=2 , q=1$$

したがって、求める外心 O の座標は$$(2,1)$$

(解答終了)

$p^2$ や $q^2$ の項が上手く消えてくれるので、単純な連立2元1次方程式となります。

あとは加減法でも代入法でもいいので、とにかく解いてあげてください。

また、今回 $OC$ を基準に考えました。

これは、点 C の座標が $(-1,0)$ で、$y$ 座標が $0$ であることから、計算が少しラクになると予想できたからです。

こういう地味な工夫が、意外とテストの点数に響いてきますよ。

「連立方程式」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒連立方程式の解き方とは?代入法か加減法で計算しよう!【分数の問題や文章題アリ】

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外心の位置ベクトルを求める問題【数学B】

問題. $$AB=4 , BC=5 , AC=6$$である △ABC がある。
△ABC の外心を O とするとき、$\vec{AO}$ を$$\vec{AB}=\vec{b} , \vec{AC}=\vec{c}$$を用いて表せ。

座標が与えられていないため、この問題で$$OA=OB=OC$$を用いるのは至難の業です。

できないことはないかもしれませんが、やりたくないですね。(笑)

そこで、困ったときはベクトルを用いてみましょう。

ベクトルは、ほぼ全ての図形問題に応用できる、極めて有用な道具です。

ではまず、位置ベクトルとして表すところまで解答を進めます。

【解答】

$\vec{b}$、$\vec{c}$ は平行ではない(一次独立である)ので、$$\vec{AO}=s\vec{b}+t\vec{c}$$と実数 $s,t$ を用いて表すことができる。

ここで、外心は $3$ 辺の垂直二等分線の交点であることから、辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N とすると、以下の図のようになる。

↓↓↓

つまり、$$\vec{AM}⊥\vec{MO} , \vec{AN}⊥\vec{NO}$$が成り立つ。

(中断)

まず、使えそうな条件を導出するところまで進めました。

一次独立な $2$ つのベクトルがあれば、それらを用いて同じ平面上の任意のベクトルを表すことができます。

また、外心の定義から、ベクトル同士の垂直を $2$ つ見つけました。

「位置ベクトル」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒位置ベクトルとは?内分点・外分点・三角形の重心の求め方を解説!【応用問題の解き方】

さて、「ベクトル」と「垂直」。

この $2$ つのキーワードを結びつけるものは一つしかありません。

それは…ベクトルの内積です。

ベクトルの内積は、$2$ 辺とその間の角がわかっていれば簡単に求めることができます。

また、「垂直 ⇔ 内積=0」という便利な必要十分条件もあるため、非常に重宝されます。

それでは、解答の続きです。

【再開】

垂直であることから、$$\vec{AM}・\vec{MO}=0 ……①$$また、$$\vec{AN}・\vec{NO}=0 ……②$$この $2$ つの式が成り立つ。

ここで、計算に必要になってくるであろう $\vec{b}・\vec{c}$ を求めるために、角 A を余弦定理より導くと、

\begin{align}\cos A&=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2×AB×AC}\\&=\frac{4^2+6^2-5^2}{2×4×6}\\&=\frac{27}{2×4×6}\\&=\frac{9}{16}\end{align}

よって、

\begin{align}\vec{b}・\vec{c}&=|\vec{b}||\vec{c}|\cos A\\&=4×6×\frac{9}{16}\\&=\frac{27}{2}\end{align}

では①の式を解く。

$\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{b}$、$\vec{MO}=\vec{AO}-\vec{AM}$より、$$\frac{1}{2}\vec{b}・(\vec{AO}-\frac{1}{2}\vec{b})=0$$

内積の分配法則より、$$\frac{1}{2}\vec{b}・\vec{AO}-\frac{1}{4}|\vec{b}|^2=0$$

$\vec{AO}=s\vec{b}+t\vec{c}$ より、分配法則を用いて、$$\frac{s}{2}|\vec{b}|^2+\frac{t}{2}\vec{b}・\vec{c}-\frac{1}{4}|\vec{b}|^2=0$$

わかっている値を代入し、分母を払って整理すると、$$16s+27t=16 ……①’$$

同様に、②の式も解くと、$$27s+72t=36 ……②’$$

①’、②’の連立方程式を解く。

$27=3^3$、$72=2^3×3^2$ より、$t$ について解くのが一番速い。

①’×8-②’×3を計算すると、$$47s=20$$

よって、$$s=\frac{20}{47}$$

これを①’に代入して計算すると、$$t=\frac{16}{47}$$

したがって、求める位置ベクトルは$$\vec{AO}=\frac{20}{47}\vec{b}+\frac{16}{47}\vec{c}$$

(解答終了)

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位置ベクトルを求めることができました。

これで成分が与えられた場合、すぐに外心の位置もわかるようになりましたね^^

なかなか計算が大変だとは思いますが、これ以上の解き方はありません。

連立方程式など、工夫できるところは工夫し、あとは計算ミスのないように丁寧に頑張りましょう!

「ベクトルの内積」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒内積とは?ベクトルの内積の意味・公式・求め方などをスッキリ解説!

外心・垂心が存在することの別証明2つ

さて、ここからは雑学的な内容です。

なぜなら、証明は一度完了すれば、もう証明の必要はないからです。

しかし、複数の証明方法を学ぶことには、もっと他の重要な理由があります。

たとえば…

  • 定理の応用例を知る
  • 決められた枠組み(学問の分野)で考える⇒その枠組みの有用性を知る

など、別証明を考えることは、“証明する”という目的以外の副次的な効果が多くあります。

これを踏まえて今回は、外心及び垂心の存在性を

  • チェバの定理(の有用性を知る)
  • ベクトル(の枠組みで考える)

この $2$ つを用いて証明してみましょう♪

チェバの定理の逆を用いる証明

まずは“チェバの定理”の紹介です。

↓↓↓

…はい、初見の方は驚かれたことでしょう。(笑)

でも大丈夫です!この定理には、ものすごく有名な覚え方がちゃんとあります!

また、この図以外の状況もある(点 O が △ABC の外部に存在する)ので、厳密には少し異なります。

ただ今回は、点 O が △ABC の内部に存在する場合のみについて考えていきますので、ご安心ください。

「チェバの定理」に関する詳しい解説はこちらの記事にまとめてあります!!

⇒⇒⇒(後日書きます。)

さて、このチェバの定理。

普通は上から下に向かった矢印(“ならば”)を用いますが、三角形の五心の証明には、その逆を用います。

なので、「上から下…チェバの定理」、「下から上…チェバの定理の逆」と呼ぶことが一般的です。

つまり、$$\frac{AR}{RB}・\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}=1$$の式が成り立つことを示せば、チェバの定理の逆より $1$ 点で交わることが証明できるわけです。

果たして、この難しそうな式を証明することは本当に可能なのでしょうか…。

さっそく、外心について考えていきます。

【外心の証明】

外心は、垂直二等分線の交点なので、$$AR:RB=1:1$$

同様に、$$BP:PC=1:1$$$$CQ:QA=1:1$$

したがって、

\begin{align}\frac{AR}{RB}・\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}&=\frac{1}{1}・\frac{1}{1}・\frac{1}{1}\\&=1\end{align}

(証明終了)

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いかがでしょう。

これ…めちゃくちゃ簡単じゃないですか!?

しかも、二等分線の条件しか使っていません。

こんなにスッキリとした証明になるのなら、「最初からこれで良かったじゃん!」って思ってしまいますよね。(笑)

このように、チェバの定理の証明こそ若干面倒くさいですが、それを認めてしまえばあっさりと証明が可能になるんですね~。

また、全く同じ要領で“重心”の存在性の証明も簡単にできます。
※他の三角形の五心については、この記事の最後にリンクを貼っておりますので、そちらからご参照ください。

さて、次に垂心の存在性の証明です。

こちらは外心まで簡単にはできませんが、三角比を用いて辺の長さを表していけば、すぐに証明できます。

【垂心の証明】

図から、

\begin{align}\frac{AR}{RB}・\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}&=\frac{b\cos A}{a\cos B}・\frac{c\cos B}{b\cos C}・\frac{a\cos C}{c\cos A}\\&=1\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(証明終了)

直角三角形がたくさん作れることから、$a,b,c$ と $\cos$ を用いてそれぞれ表すことができます。

それに気づいてしまえば、そこまで難しくはないですね。

実は、外心の存在性の証明を、このように導くことも可能です。

だって、外心は“垂直”二等分線の交点ですからね^^

ベクトルの内積を用いる証明【数学B】

チェバの定理の逆を用いる証明は面白かったですか?

ちなみに、僕はあの証明、大好きです♪

さて、いよいよ最後。

ベクトルの応用について考えていきましょう。

さっそくですが、外心の存在性について証明していきたいと思います。

【外心の証明】

$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AC}=\vec{c}$ と定義する。

辺 BC の中点 L から交点 O に向かって引いた半直線が、辺 BC と垂直であることを示す。

つまり、$$\vec{BC}・\vec{LO}=0$$を示せばよい。

ここで、$AB⊥MO$ より、

\begin{align}\vec{AB}・\vec{MO}=0 &⇔ \vec{b}・(\vec{AO}-\vec{AM})=0 \\&⇔ \vec{b}・(\vec{AO}-\frac{1}{2}\vec{b})=0 \\&⇔ \vec{b}・\vec{AO}-\frac{1}{2}|\vec{b}|^2=0 \\&⇔ \vec{b}・\vec{AO}=\frac{1}{2}|\vec{b}|^2……①\end{align}

また、$AC⊥NO$ より、

\begin{align}\vec{AC}・\vec{NO}=0 &⇔ \vec{c}・(\vec{AO}-\vec{AN})=0 \\&⇔ \vec{c}・(\vec{AO}-\frac{1}{2}\vec{c})=0 \\&⇔ \vec{c}・\vec{AO}-\frac{1}{2}|\vec{c}|^2=0 \\&⇔ \vec{c}・\vec{AO}=\frac{1}{2}|\vec{c}|^2……②\end{align}

よって、①、②を用いると、

\begin{align}\vec{BC}・\vec{LO}&=(\vec{c}-\vec{b})・(\vec{AO}-\vec{AL})\\&=(\vec{c}-\vec{b})・(\vec{AO}-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2})\\&=\vec{c}・\vec{AO}-\frac{\vec{b}・\vec{c}+|\vec{c}|^2}{2}-\vec{b}・\vec{AO}+\frac{|\vec{b}|^2+\vec{b}・\vec{c}}{2}\\&=\frac{1}{2}|\vec{c}|^2-\frac{1}{2}|\vec{c}|^2-\frac{1}{2}|\vec{b}|^2+\frac{1}{2}|\vec{b}|^2\\&=0\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(証明終了)

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若干の面倒くささは否めません。

ただ、ゴールを適切に設定し、内積の性質を用いて丁寧に式変形すれば、必ず証明できます!

二等分線が絡むと、中点の位置ベクトルを使うことになるので、式変形が少し複雑になりますね(^_^;)

つまり、垂心の存在性の証明の方が、ベクトルでは簡単だということになります!

【垂心の証明】

$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AC}=\vec{c}$ と定義する。

頂点 A から交点 O に向かって引いた半直線が、辺 BC と垂直であることを示す。

つまり、$$\vec{BC}・\vec{AO}=0$$を示せばよい。

ここで、$AB⊥CO$ より、

\begin{align}\vec{AB}・\vec{CO}=0 &⇔ \vec{b}・(\vec{AO}-\vec{c})=0 \\&⇔ \vec{b}・\vec{AO}-\vec{b}・\vec{c}=0 \\&⇔ \vec{b}・\vec{AO}=\vec{b}・\vec{c}……①\end{align}

また、$AC⊥BO$ より、

\begin{align}\vec{AC}・\vec{BO}=0 &⇔ \vec{c}・(\vec{AO}-\vec{b})=0 \\&⇔ \vec{c}・\vec{AO}-\vec{c}・\vec{b}=0 \\&⇔ \vec{c}・\vec{AO}=\vec{b}・\vec{c}……②\end{align}

よって、①、②を用いると、

\begin{align}\vec{BC}・\vec{AO}&=(\vec{c}-\vec{b})・\vec{AO}\\&=\vec{c}・\vec{AO}-\vec{b}・\vec{AO}\\&=\vec{b}・\vec{c}-\vec{b}・\vec{c}\\&=0\end{align}

(証明終了)

垂心の存在性の証明は、内積を用いるとかなり簡単ですね!

このように、「なぜ簡潔になるのか」なども考えながら証明をしてみると、より数学が楽しいものに感じられるかと思います♪

他の三角形の五心に関する記事はこちらから

三角形の五心、すなわち

  • 外心(がいしん)
  • 内心(ないしん)
  • 重心(じゅうしん)
  • 垂心(すいしん)
  • 傍心(ぼうしん)

この $5$ つのうち、この記事では $2$ つを解説しました。

この中でも特に「外心」「内心」そして「重心」の $3$ つは重要な心として位置づけられており、数学Aを履修している方であれば必修の内容となっております。

「内心+傍心」に関する詳しい解説はこちらから!!

↓↓↓

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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