四分位範囲・四分位偏差・四分位数とは？【意味や求め方をわかりやすく解説します】

2019年12月6日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

データの散らばりを考える際、範囲（レンジ）の次に学ぶのが「四分位範囲」や「四分位偏差」になります。

数学太郎

四分位範囲や四分位偏差の求め方がよくわかっていないです。

数学花子

四分位範囲や四分位偏差を考えることで、どういうメリットがあるんですか？

よって本記事では、四分位範囲・偏差・数の求め方から意味まで

東北大学理学部数学科卒業
教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

四分位範囲・四分位偏差・四分位数とは？

まず、求め方と意味を一言で表してみます。

求め方　　　：小さい順に並べて $Q_2$　→　$Q_1 \ , \ Q_3$
意味（目的）：外れ値に左右されない（されにくい）。

これだけだとあまりにも不親切なので、ここからは例題を通してわかりやすく解説していきます。

具体的な求め方（データの大きさが９）

例題１．$9$ 個のデータからなる変量 $x$ (点) があり、それぞれのデータは以下の通り。
$$1 \ , \ 6 \ , \ 3 \ , \ 9 \ , \ 12 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 8 \ , \ 13$$
このとき、$Q_1$ ～ $Q_3$ および四分位範囲，四分位偏差をそれぞれ求めなさい。

データは大きさ順に並んでいないことがほとんどですので、まずは並べてみましょう。

$$1 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ 9 \ , \ 12 \ , \ 13$$

並べることができたら、$Q_2$ から求めていきます。

数学太郎

そういえば $Q_1$ とか $Q_2$ って何ですか？

ウチダ

これらが「四分位数（しぶんいすう）」と呼ばれる数で、$4$ 等分に位置する値のことを指します。

つまり、$Q_2$（第 $2$ 四分位数）は中央値と同じです。

よって、$9$ 個のデータのちょうど真ん中は、$\displaystyle \frac{9+1}{2}=5$ 番目のデータなので、$$Q_2=6 \ (点)$$と求めることができます。

そうしたら、中央値を含まないように左と右に分けます。

ただ、それぞれのデータの数が $4$ 個ずつなので、ちょうど真ん中のデータが存在しません。

仕方ないので、真ん中 $2$ つの平均値を中央値と定義することにします。

$$Q_1=\frac{3+4}{2}=3.5 \ (点)$$

$$Q_3=\frac{9+12}{2}=10.5 \ (点)$$

四分位数 $Q_1$ ～ $Q_3$ を求めることができたら、四分位範囲・四分位偏差は簡単に求まります。

【四分位範囲・四分位偏差とは】
四分位範囲は $Q_3-Q_1$ と定義し、四分位偏差は $\displaystyle \frac{Q_3-Q_1}{2}$、つまり「四分位範囲の半分」と定義する。

ウチダ

この定義だけ見ると $Q_2$（中央値）が必要ないように思えますが、$Q_1$，$Q_3$ を求めるためには必要不可欠です。

したがって、四分位範囲は $Q_3-Q_1=10.5-3.5=7$ (点) であり、四分位偏差は $7÷2=3.5$ (点) となります。

具体的な求め方（データの大きさが10）

もう一つだけ例題を解いておきましょう。

例題２．先ほどのデータに、$1$ 個付け加えたものが以下の通り。
$$1 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ 9 \ , \ 12 \ , \ 13 \ , \ 90$$
このとき、$Q_1$ ～ $Q_3$ および四分位範囲，四分位偏差をそれぞれ求めなさい。

今度はデータの大きさが $10$ になるため、中央値 $Q_2$ を求めるときに、真ん中 $2$ つの平均値をとる必要があります。

よって、$$Q_2=\frac{6+8}{2}=7 \ (点)$$

となりますね。

$Q_2$ がわかったので、$Q_1$，$Q_3$ を求めることができます。