こんにちは、ウチダです。
いつもお読みいただきましてありがとうございます。
さて、皆さんは「友愛数（親和数）」という数をご存じでしょうか。
※その数自身（つまり $220$ と $284$ ）は正の約数から除くものとする。
このように、正の約数の和が相手の数になるような $2$ 数の組のことを友愛数と呼び、一番最小の組が $( \ 220 \ , \ 284 \ )$ です。
数学太郎へ～。美しい性質を持つ数だね。友愛数って今のところいくつぐらい見つかっているの？
数学花子友愛数以外にも、婚約数や社交数という数もあるよね。それらについても知りたいわ。
よって本記事では、「友愛数とは何か」その一覧から、友愛数にまつわる数（婚約数や社交数）まで
- 東北大学理学部数学科卒業
- 教員採用試験に１発合格 → 高校教諭経験アリ
の僕がわかりやすく解説します。
友愛数とは【１万以下では「５個」しか見つかっていない希少な組です】
友愛数の定義は冒頭でもお伝えした通り、
※以降途切れている数式や組合せは横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）
のような関係が成り立つ $2$ 数の組のことでした。
では、$1$ 万以下でこの関係が成り立つ $2$ 数の組をすべて挙げてみると…
なんと、$5$ 組しか見つかりません！
それほど希少な数だということですね～。
数学太郎たしかに、それぞれの約数の和が相手自身になる数の組合せなんて、そうそう見つかるわけないよね。
ただし、「友愛数を作り出す法則」というものが存在します。
ちょっと見てみましょう。
友愛数を作り出す法則
$n$ は $2$ 以上の自然数、$p$，$q$，$r$ は素数とする。
このとき、
$$p=3×2^{n-1}-1$$$$q=3×2^n-1$$$$r=9×2^{2n-1}-1$$
が成り立てば、$( \ 2^npq \ , \ 2^nr \ )$ は友愛数となる。
たとえば、$n=2$ を以上 $3$ つの式に代入してみると、
$$p=5 \ , \ q=11 \ , \ r=71$$
となり、$p$，$q$，$r$ すべてが素数になります。
よって、
となり、友愛数 $( \ 220 \ , \ 284 \ )$ を求めることができました。
$n=3$ のときは $r$ が合成数になるためダメですが、$n=4$ のときは $p$，$q$，$r$ すべて素数になるので、代入して計算すると、友愛数 $( \ 17296 \ , \ 18416 \ )$ を求めることができます。
ウチダ実は $( \ 17296 \ , \ 18416 \ )$ は、二番目に発見された友愛数なんですね！おそらく、この法則が導出されたのが $9$ 世紀の中頃だからだと思います。
とまあ、この法則は万能ではありませんが、条件さえ満たせば友愛数を作れるので、いろいろ代入して実験してみる価値はあるかと思いますよ＾＾
友愛数にまつわる美しい数
さて、ここでは友愛数にまつわる美しい数を $2$ つご紹介します。
- 婚約数（準友愛数）…$1$ とその数自身を除く正の約数の和が互いに等しくなるような組。
- 社交数…友愛数の定義を満たす、異なる $3$ つ以上の自然数の組。
婚約数は、友愛数の定義に「 $1$ を除く」を加えただけですね。
また社交数は、友愛数の $3$ つ以上の組バージョンです。
- 婚約数（準友愛数）の代表例…$( \ 48 \ , \ 75 \ )$
\begin{align}\left\{\begin{array}{ll}2+3+4+6+8+12+16+24=75\\3+5+15+25=48\end{array}\right.\end{align} - 社交数の代表例…
\begin{align}( \ 12496 \ , \ 14288 \ , \ 15472 \ , \ 14536 \ , \ 14264 \ )\end{align}
$$12496 \ の正の約数の和 \ → \ 14288$$$$14288 \ の正の約数の和 \ → \ 15472$$というふうに、グルグル循環している。
数学花子社交数は友愛数より見つけるのが大変そうね…。婚約数は友愛数より多そうだけど、実際はどうなんでしょうか？
ウチダ個数については未解決問題なので、何とも言えないですね～。$3$ 組の社交数は見つかっていなかったり、婚約数はすべて（偶数，奇数）の組合せだったり、そういう面白い事実（？）もあります。
$4$ 組や $5$ 組の社交数はあるのに、$3$ 組の社交数が見つかっていないのは衝撃ですよね！！
ここら辺は今のところ単なる予想ですので、興味のある方は詳しく調べてみるといいかと思います。
友愛数が出てくる映画と言えばコレ！
本記事の要点をまとめます。
- 友愛数の代表例は $( \ 220 \ , \ 284 \ )$
- 実は、友愛数は今のところ（偶，偶）か（奇，奇）しか見つかってない。
- 友愛数を生み出す法則に $n=2$ を代入すると $( \ 220 \ , \ 284 \ )$ が導ける。
- 婚約数や社交数についても、未解決な部分が多い。
僕が友愛数と聞いて真っ先に思い浮かぶのが、「博士の愛した数式」という映画です。
深津絵里さん演じる杏子の誕生日が $2$ 月 $20$ 日であることと、寺尾聡さん演じる博士が着けている腕時計がNO. $284$ であることをきっかけに、次第に $2$ 人が惹かれあっていくんですよ。
ウチダだけど博士は記憶が $80$ 分しか持たないので、すぐに忘れてしまいます。それでも、数式を通して人間模様を描いていくこの映画が、僕は大好きです。
ぜひ皆さんに見てもらいたい映画です。
「博士の愛した数式」の本が読みたい方はこちらから
「整数の性質」全 25 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!
以上です。
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コメント一覧 （6件）
映画観ました。面白かった。「友愛数」の事初めて知った。
録画してた映画観ました。面白かった。
御紹介の映画を偶然録画して観て初めて「友愛数」の事を知り、興味を持ち検索したら、このページを見つけました。自分の50有余年前の高校時代に、真面目に数学の授業を受けてなかったのか「友愛数」他について全く記憶にございません。(笑)
すみません最初の絵が間違えてるせいで9回見ても混乱したんですけど今後はやめてください
ほんとだ！これはよくないですね…失礼しましたm(_ _)m
修正させていただきました。
≪…友愛数…≫など自然数の本性を観るのに、射水市大島絵本館の「かおすのくにのかたなかーど」からの『幻のマスキングテープ』なる［数直線］で、［切り・繋ぎ］すると興味深い。
［数直線］は、自然数の［通過点表示］において、［偶結合］か［奇結合］（パリティー結合）での連続性に思いを馳せるコトに生る。
この原型は、『ＨＨＮＩ眺望』で観る自然数の絵本
有田川町電子書籍「もろはのつるぎ」
御講評をお願い致します。