友愛数とは220と284みたいな組のことです【婚約数・社交数もあわせて解説】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「友愛数(親和数)」という数をご存じでしょうか。

友愛数の代表例とは【220と284みたいな組のことです】

※その数自身(つまり $220$ と $284$ )は正の約数から除くものとする。

このように、正の約数の和が相手の数になるような $2$ 数の組のことを友愛数と呼び、一番最小の組が $( \ 220 \ , \ 284 \ )$ です。

数学太郎のアイコン画像数学太郎

へ~。美しい性質を持つ数だね。友愛数って今のところいくつぐらい見つかっているの?

数学花子のアイコン画像数学花子

友愛数以外にも、婚約数や社交数という数もあるよね。それらについても知りたいわ。

よって本記事では、「友愛数とは何か」その一覧から、友愛数にまつわる数(婚約数や社交数)まで

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

スポンサーリンク
スポンサーリンク
目次

友愛数とは【1万以下では「5個」しか見つかっていない希少な組です】

友愛数の定義は冒頭でもお伝えした通り、

\begin{align}\left\{\begin{array}{ll}1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\\1+2+4+71+142=220\end{array}\right.\end{align}

※以降途切れている数式や組合せは横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

のような関係が成り立つ $2$ 数の組のことでした。

では、$1$ 万以下でこの関係が成り立つ $2$ 数の組をすべて挙げてみると…

\begin{align}( \ 220 \ , \ 284 \ ) \ , \ ( \ 1184 \ , \ 1210 \ ) \ , \ ( \ 2620 \ , \ 2924 \ ) \ , \ ( \ 5020 \ , \ 5564 \ ) \ , \ ( \ 6232 \ , \ 6368 \ )\end{align}

なんと、$5$ 組しか見つかりません!

それほど希少な数だということですね~。

数学太郎のアイコン画像数学太郎

たしかに、それぞれの約数の和が相手自身になる数の組合せなんて、そうそう見つかるわけないよね。

ただし、「友愛数を作り出す法則」というものが存在します。

ちょっと見てみましょう。

友愛数を作り出す法則

【友愛数を作り出す法則】
$n$ は $2$ 以上の自然数、$p$,$q$,$r$ は素数とする。
このとき、
$$p=3×2^{n-1}-1$$$$q=3×2^n-1$$$$r=9×2^{2n-1}-1$$
が成り立てば、$( \ 2^npq \ , \ 2^nr \ )$ は友愛数となる。

たとえば、$n=2$ を以上 $3$ つの式に代入してみると、

$$p=5 \ , \ q=11 \ , \ r=71$$

となり、$p$,$q$,$r$ すべてが素数になります。

よって、

\begin{align}( \ 2^npq \ , \ 2^nr \ )&=( \ 2^2×5×11 \ , \ 2^2×71 \ )\\&=( \ 220 \ , \ 284 \ )\end{align}

となり、友愛数 $( \ 220 \ , \ 284 \ )$ を求めることができました。

$n=3$ のときは $r$ が合成数になるためダメですが、$n=4$ のときは $p$,$q$,$r$ すべて素数になるので、代入して計算すると、友愛数 $( \ 17296 \ , \ 18416 \ )$ を求めることができます。

ウチダのアイコン画像ウチダ

実は $( \ 17296 \ , \ 18416 \ )$ は、二番目に発見された友愛数なんですね!おそらく、この法則が導出されたのが $9$ 世紀の中頃だからだと思います。

とまあ、この法則は万能ではありませんが、条件さえ満たせば友愛数を作れるので、いろいろ代入して実験してみる価値はあるかと思いますよ^^

スポンサーリンク

友愛数にまつわる美しい数

さて、ここでは友愛数にまつわる美しい数を $2$ つご紹介します。

  • 婚約数(準友愛数)…$1$ とその数自身を除く正の約数の和が互いに等しくなるような組。
  • 社交数…友愛数の定義を満たす、異なる $3$ つ以上の自然数の組。

婚約数は、友愛数の定義に「 $1$ を除く」を加えただけですね。

また社交数は、友愛数の $3$ つ以上の組バージョンです。

  1. 婚約数(準友愛数)の代表例…$( \ 48 \ , \ 75 \ )$
    \begin{align}\left\{\begin{array}{ll}2+3+4+6+8+12+16+24=75\\3+5+15+25=48\end{array}\right.\end{align}
  2. 社交数の代表例…
    \begin{align}( \ 12496 \ , \ 14288 \ , \ 15472 \ , \ 14536 \ , \ 14264 \ )\end{align}

    $$12496 \ の正の約数の和 \ → \ 14288$$$$14288 \ の正の約数の和 \ → \ 15472$$というふうに、グルグル循環している。
数学花子のアイコン画像数学花子

社交数は友愛数より見つけるのが大変そうね…。婚約数は友愛数より多そうだけど、実際はどうなんでしょうか?

ウチダのアイコン画像ウチダ

個数については未解決問題なので、何とも言えないですね~。$3$ 組の社交数は見つかっていなかったり、婚約数はすべて(偶数,奇数)の組合せだったり、そういう面白い事実(?)もあります。

$4$ 組や $5$ 組の社交数はあるのに、$3$ 組の社交数が見つかっていないのは衝撃ですよね!!

ここら辺は今のところ単なる予想ですので、興味のある方は詳しく調べてみるといいかと思います。

友愛数が出てくる映画と言えばコレ!

本記事の要点をまとめます。

  • 友愛数の代表例は $( \ 220 \ , \ 284 \ )$
    • 実は、友愛数は今のところ(偶,偶)か(奇,奇)しか見つかってない。
  • 友愛数を生み出す法則に $n=2$ を代入すると $( \ 220 \ , \ 284 \ )$ が導ける。
  • 婚約数や社交数についても、未解決な部分が多い。

僕が友愛数と聞いて真っ先に思い浮かぶのが、「博士の愛した数式」という映画です。

深津絵里さん演じる杏子の誕生日が $2$ 月 $20$ 日であることと、寺尾聡さん演じる博士が着けている腕時計がNO. $284$ であることをきっかけに、次第に $2$ 人が惹かれあっていくんですよ。

ウチダのアイコン画像ウチダ

だけど博士は記憶が $80$ 分しか持たないので、すぐに忘れてしまいます。それでも、数式を通して人間模様を描いていくこの映画が、僕は大好きです。

ぜひ皆さんに見てもらいたい映画です。

博士の愛した数式」の本が読みたい方はこちらから

「整数の性質」全 25 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

あわせて読みたい
整数の性質とは?【高校数学Aの解説記事総まとめ25選】
整数の性質とは?【高校数学Aの解説記事総まとめ25選】「整数の性質」の総まとめ記事です。本記事では、整数の性質の解説記事全25個をまとめています。「整数の性質をしっかりマスターしたい」「整数の性質を自分のものにしたい」という方は必見です。

以上です。

遊ぶ数学公式LINEやってます!

遊ぶ数学管理人「ウチダショウマ」に数学を直接教わることができるオンライン家庭教師サービス”Play MATH”を開始しました。

その他にも

・ウチダショウマとお話がしたい
・勉強に関する悩みを相談したい

などでもOKですので、ぜひ気軽にご連絡ください。

↓友達追加はこちらから↓

友だち追加

スポンサーリンク

コメント

コメント一覧 (1件)

  • ≪…友愛数…≫など自然数の本性を観るのに、射水市大島絵本館の「かおすのくにのかたなかーど」からの『幻のマスキングテープ』なる[数直線]で、[切り・繋ぎ]すると興味深い。

    [数直線]は、自然数の[通過点表示]において、[偶結合]か[奇結合](パリティー結合)での連続性に思いを馳せるコトに生る。

    この原型は、『HHNI眺望』で観る自然数の絵本
    有田川町電子書籍「もろはのつるぎ」

    御講評をお願い致します。

コメントする

目次
閉じる