整式とは・整式の次数とは何か？【整式の計算についても軽く解説します】

2020年3月29日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

皆さんは「整式（せいしき）」と言われて、どういう式の形を思い浮かべますか？

数学Ⅰ「数と式」で初登場するこの言葉ですが、正しく認識できている方は意外と少ないです。

数学太郎

整式？なんだろう…「整数の式」のことかな？

数学花子

整式の次数を判断するとか、同類項をまとめるとか、そういうものの意味がよくわからないです。

よって本記事では、「整式・整式の次数とは何か」から整式の計算まで

東北大学理学部数学科卒業
実用数学技能検定１級保持
高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

整式とは何なのか？【形を覚えよう】

いきなりですが重要な結論です。

整式とは、負でない整数 $n$ を用いて

\begin{align}a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0\end{align}

と表せる式のことを指す。

これだけだとわかりづらいかと思いますので、例をたくさん挙げます

整式（多項式）の例：
・$3x+1$
・$2x^2-5x+3$
・$-10x^8+4x^4-3x$
・$0$
などなど

数学太郎

具体例を見るとわかりやすいね！ところで、「整式（多項式）」ってどういうこと？

ウチダ

実は中２で習う「多項式（たこうしき）」と整式は、全く同じ意味なんです。ただ、教科書によっては「単項式＋多項式＝整式」として定義しているものもあるので、そこは注意が必要です。

中２で学ぶ際、

単項式は多項式の一種だよ
単項式と多項式は別物だよ

このどちらかの定義で習うと思うんですが、これが教科書によってマチマチなんですね～。

まあ、数学的に言うと「多項式＝整式」です。

つまり、単項式は多項式の一種としてとらえるのが正しいということです。
※多項式と整式の英語訳も「Polynomial」と同じなので、この理解が良いですね。

「多項式と単項式の違い」については、こちらの記事をご覧ください。

多項式と単項式の違いとは～（準備中）

【注意】逆にこんなのは整式ではないよ

多項式・単項式の定義は、人それぞれでいいと思います。

しかし、「整式か・整式ではないか」見極める力は、全員持っておいた方が良いです。

ということで、整式ではない例というのをいくつか見てみましょう。

整式（多項式）ではない例：
・$\displaystyle \frac{1}{x}$
・$\sqrt{x}$
・$\sin x$
・$e^x$
などなど

「なぜ整式とは言えないか」については、以下の通りです。

一つ目は $x$ が分母に来てしまっているためOUT。
二つ目は指数の形で表すと $\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ となるためOUT。
三つ目は三角関数、四つ目は指数関数なのでOUT。

数学花子

三角関数・指数関数とか、わからない用語が出てきました…

ウチダ

詳しくは数学Ⅱで学びます。また、大学に入るとこれらの関数を”整式っぽく“表す「マクローリン展開」なるものも学びます。あくまで整式っぽいだけで整式ではない（有限和ではなく無限和だから）ので注意が必要です。

ここら辺の知識について詳しく知りたい方は、以下の記事をご覧ください。

<補足>Σを用いて表した場合・２変数の場合

数学Ｂ「数列」にて、Σ（シグマ）という“数列の和”を表す記号を学びます。

それを用いて整式を表すと、以下のようになります。

\begin{align}a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0=\sum_{k=0}^n a_kx^k\end{align}

また、今は変数が $x$ のみの１変数しか考えていませんが、もし２変数の場合でも同様の定義になります。

２変数の整式（多項式）の例：
・$3x+5y+1$
・$2x^2y-5xy^2+3$
・$-10x^8+4y^4-3x$
・$0$
などなど

ウチダ

$x$ と $y$ の組合せによって１変数のときより色々作れてしまい、一般化した形はちょっと複雑になるので割愛しますが、イメージは同じですね。

「Σ（シグマ）」に関する詳しい解説は、こちらの記事をご覧ください。

Σとは～（準備中）

整式の次数とは？整式の整理とは？

次に学びたいのが「整式の次数」についてです。

これも最初に結論から述べてしまいましょう。

整式の次数とは？

整式の項の中で、最も次数の高い項の次数を、その整式の次数と呼ぶ。

つまり、$3x^2+2x-1$ であれば次数は $2$，$x^6-4x^2+9$ であれば次数は $6$ となります。

また、$5x^3-3x^3-2x^3+9$ みたいな整式の場合は、同類項をまとめてから次数を判断しましょう。

ダメな解答例：
$x^3$ があるから、整式の次数は $3$ である。

良い解答例：
$5x^3-3x^3-2x^3+9=(5-3-2)x^3+9=0・x^3+9=9$
よって、$x^3$ の項は消えてしまう。
したがって、$9$ は定数項なので、整式の次数は $0$ である。

数学太郎

確かに、これは注意しないとダメな解答例のように答えてしまいそうだね。

ウチダ

整式を見た時点で、「同類項でまとめる」クセを付けておくとGOODですね。

次数・同類項については中２で習いますので、詳しく勉強したい方はこちらの記事をご覧ください。

次数とは～（準備中）
同類項とは～（準備中）

さて、ここからは「整式の次数」「整式の整理」について、少し応用的な問題にチャレンジしていきましょう。

多変数の次数を判断する問題

問題１．次の整式の次数を判断しなさい。
$x^3+x^2y^2+4y$

まずは２変数 $x$，$y$ が含まれた整式の次数を判断する問題です。

ノーヒントで解答に移ります。

問題１の解答

数学花子

へ～。多変数の場合は足さなきゃいけないんですね！これを知らなかったら、多分 $x^3$ があるから「次数は $3$ 」って答えてました！

ウチダ

細かいところなんですけど覚えておいた方が良いですね。ポイントは「変数が何個かけ合わされているか」です。

多変数の次数を判断する問題はなかなか出ませんが、「覚えておくことに超したことはないかな」といった感じです。

整式を●●の順に整理する問題

問題２．次の整式を $x$ について降べきの順に整理しなさい。
$x-5x^2+6x-7+2x^3+10x^2+1-4x^3$

次に整式を～の順で整理する問題です。

降べきの順とは一体何でしょうか…ぜひ考えながら解答をご覧ください。

問題２の解答

「降べきの順に整理する」とは、「次数の高いものから低いものに並べる」ことである。

その前に、同類項があるため、まずは同類項をまとめる必要がある。

ⅰ）同類項をまとめる

$x^3$ について：$2x^3-4x^3=-2x^3$

$x^2$ について：$-5x^2+10x^2=5x^2$

$x^1$（$=x$）について：$x+6x=7x$

$x^0$（定数項）について：$-7+1=-6$

ⅱ）降べきの順に整理

あとは次数の高い順に並べればよいので、答えは

\begin{align}-2x^3+5x^2+7x-6\end{align}

(解答終了)

最初だからここまで丁寧にやりましたが、理解できればとってもカンタンですね☆

数学太郎

まあ、簡単なのは分かったけど、なんで整式を整理する必要があるの？

ウチダ

実は降べきの順のみならず、「昇べきの順」「輪環の順」という並べ方もあります。意味についてもまとめて解説した記事を用意したので、詳しくはこちらをご覧ください。

整式の計算を見ておこう

一部数学Ⅱ範囲の内容を含みますが、整式の計算についても順に見ていきましょう。

といっても、足し算・引き算・掛け算については“今まで通りでＯＫ”です。

問題は「整式の割り算（除法）」だけです。

さらっと見ていきましょう。

整式の加法・減法・乗法

問題３．次の問いに答えよ。
(1)　$A=3x^2-4x+5x^3-6$，$B=x+2x^2+3x^3$ のとき、$2(A+B)-3\{A-2(A-B)\}$ を計算しなさい。
(2)　$(x+5x^3-2)(3x^2-8+x)$ を計算しなさい。

加法・減法・乗法については、特段記述するようなことはありません。

皆さんおなじみの「分配法則」を使えばいいだけです。

分配法則とは～（準備中）

ですが、問３のような問題は、解き方に少しクセがありますので、一度解いておきましょう。

問題３の解答

(1)　$A$，$B$ の値を代入してから計算すると大変なので、まずは計算式をキレイにする。

\begin{align}2(A+B)-3\{A-2(A-B)\}&=2A+2B-3(A-2A+2B)\\&=2A+2B-3(-A+2B)\\&=2A+2B+3A-6B\\&=5A-4B\end{align}

ここで $A=3x^2-4x+5x^3-6$，$B=x+2x^2+3x^3$ を代入すると、

\begin{align}5A-4B&=5(3x^2-4x+5x^3-6)-4(x+2x^2+3x^3)\\&=15x^2-20x+25x^3-30-4x-8x^2-12x^3\\&=13x^3+7x^2-24x-30\end{align}

(2)　●●の順で整理されていないので、降べきの順に整理してから分配法則を使って展開する。

\begin{align}(x+5x^3-2)(3x^2-8+x)&=(5x^3+x-2)(3x^2+x-8)\\&=15x^5+5x^4-40x^3+3x^3+x^2-8x-6x^2-2x+16\\&=15x^4+5x^4-37x^3-5x^2-10x+16\end{align}

(解答終了)

数学花子

なかなか計算が大変でしたね…(笑)

ウチダ

そうですね(笑)しかしこの手の問題は、純粋に“計算力”を問う問題が多いです。数学力 $=$ 計算力だと認めて、ケアレスミスのないように注意していきましょう。

整式の除法はどうやる？【数学IIで学びます】

問題４．次の $x$ の整式について、商と余りを求めなさい。
$(2x^2-5x-1)÷(x-2)$

さて、最後は「整式の除法ってどうすればいいの…？」という疑問にお答えしていきましょう。

まず、割られる数が $x$ についての $2$ 次式、割る数が $x$ についての $1$ 次式なので、

商　…　$2-1=1$ 次式
余り　…　$1-1=0$ 次式（定数）

であることが予測できます。

これを踏まえて、

$2x^2-5x-1=(x-2)(ax+b)+c$

を満たすような $a$，$b$，$c$ を見つければいいのです。

ではどうするか…

割り算と言えば「筆算」ですよね！ということでやっていきます。

問題４の解答

数学太郎

へ～！整式の割り算でも、筆算で導くことができるんだね！筆算ってすごいね！

ウチダ

そもそも筆算とは、割り算を視覚的にわかりやすく表したものなので、当然と言えば当然ですね。整式の除法はもう少し複雑な形もあるので、興味のある方はぜひ以下の記事もご参考ください。

整式の除法とは～（準備中）

整式に関するまとめ

改めて、本記事のポイントをまとめます。

整式＝「多項式」のことであるが、教科書によっては整式＝多項式＋単項式としているものもある。
整式を「降べきの順」に整理すると、次数の高いものから並ぶため、見やすくなって良い。
「整式の除法」は筆算で解くことができる。（詳しくは数学Ⅱで学びます。）

「整式」みたいなワードは、定義をあいまいのままにしがちですが、この機会にしっかりと理解しておきましょう！

おわりです。

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コメント一覧（1件）

山田より:

2023年3月23日 2:47 PM

多項式は単項式の和なのに、0は多項式（整式）なんですか？
あ、でも単項式も多項式の一部とするなら0も多項式の一種か…

0の係数はなんですか？

返信

整式とは・整式の次数とは何か？【整式の計算についても軽く解説します】

整式とは何なのか？【形を覚えよう】

【注意】逆にこんなのは整式ではないよ

<補足>Σを用いて表した場合・２変数の場合

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多変数の次数を判断する問題

整式を●●の順に整理する問題

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