等積変形とは?台形から三角形に変える問題を解説!【応用問題・難問アリ】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、中学2年生で扱う

「等積変形」

について、特に台形と等しい面積の三角形を作る方法を解説していきます。

また、等積変形の基本 $2$ つを押さえたうえで、一緒に応用問題(難問)にチャレンジしてみましょう♪

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目次

等積変形の基本2つ

等積変形とは、読んで字のごとく「等しい面積の図形に変形すること」を指します。

この記事では、三角形や四角形のように角ばっている図形について、等積変形を考えていきます。

その際、押さえておくべき $2$ つの基本がありますので、順に見ていきましょう。

<補足>

丸まっているものの基本図形は”円”です。

円についての等積の問題は、変形ではなく移動の考え方を用いる「等積移動」についての問題がほとんどです。

よって、丸まっている図形に対しては「どことどこの面積が等しいか」というのを考えていけば大体OKです。

平行線の性質

例題を通して解説していきます。

↓↓↓

一番の基本は、三角形と三角形の等積変形です。

この問題では、底辺 OA が共通していますから、高さが等しくなれば面積も等しいはずです。

↓↓↓

ここで、底辺 OA に平行かつ頂点 B を通る直線を引きます。

すると、その直線上に頂点 C を取れば、高さは常に二直線間の距離になりますよね!

これが等積変形の一番の基本です。

つまり、平行線を書く技術さえ持っていれば、面積が等しくなる図形は簡単に書けるということになります。

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平行線の書き方(作図)

では、平行線の作図は、どういった方法で行えばいいのでしょうか。

一つは、垂線を $2$ 回書く方法ですが、これは時間がかかります。

よってもう一つの、非常に素晴らしい作図方法をマスターしていただきたく思います。

↓↓↓

①~③の順に、$$OA=OB=AC=BC$$となるように、コンパスを使って作図をします。

すると、$4$ 辺がすべて等しいため、ひし形になります。

ここで、ひし形というのは、平行四辺形の代表的な一種でした。

⇒参考.「平行四辺形の定義から性質と条件をわかりやすく証明!特に対角線の性質を抑えよう

よって、$$OA // BC$$となるため、これで作図完了です。

非常に簡単ですね♪

面積の二等分線の作図

ここまでで等積変形の超基本はマスターできました。

あとは、応用問題に対応できる知識を身に付けていきましょう。

それが「面積の二等分線とは何か」についてです。

先ほどは、三角形の底辺が同じであることを利用し、高さが同じになるように点 C を作図しました。

これがヒントでもありますので、皆さんぜひ考えてみてから下の図をご覧ください。

↓↓↓

図のように、底辺 OA の中点 C と頂点 B を結ぶ線で、面積を二等分することができます。

だって、高さが同じで、底辺の長さも $1:1$ より同じですもんね。

また、この線のことを、頂点と中点を結んでいることから「中線(ちゅうせん)」と呼び、高校数学ではより深く学習することになります。

さて、中線の作図のポイントは、中点 C を見つけることです。

これは「垂直二等分線(すいちょくにとうぶんせん)の作図」によって見つけることができますね^^

「垂直二等分線」に関する詳しい解説はこちらから!!(さきほどスルーした垂線の作図にもふれています。)

⇒⇒⇒垂直二等分線の作図方法(書き方)とそれが正しいことの証明をわかりやすく解説!【垂線】

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等積変形の基本問題【台形→三角形】

ここまでで学んだ等積変形の基本 $2$ つを、一度まとめておきます。

  1. 頂点を通り底辺に平行な直線を引けば、同じ面積の三角形が作れる。
  2. 中線を引けば、三角形の面積を二等分できる。

それでは、この基本をしっかりマスターするために、何問か練習問題を解いていきましょう👍

問題. 下の図で、四角形 ABCD と △ABE の面積が等しくなるように、直線 BC 上に点 E を作図せよ。

感覚的に点 C より右側にあるんだろうな~、というのはわかるのではないでしょうか。

ヒントは「平行線の性質」です。

ぜひ自分で一度解いてみてから、解答をご覧ください^^

↓↓↓

【解答】

△ABC は共通するので、$$△ACD=△ACE$$となるように点 E をとる。

ここで、底辺 AC が共通なので、底辺 AC に平行かつ頂点 D を通る直線を引く。

↓↓↓

図より、「底辺 AC に平行かつ頂点 D を通る直線」と「直線BC」の交点を E とおくと、△ACD=△ACEとなる。

したがって$$四角形 ABCD = △ABE$$である。

(解答終了)

解答の図で、$$四角形 ABCD = △ABC+△ACD$$$$△ABE=△ABC+△ACE$$とそれぞれ二つに分けて考えているところがポイントです!

また、今回一般的な四角形について問題を解きました。

もちろん、四角形の一種である台形にもこの方法は使えますし、等積変形を知っていると「台形の面積の公式の成り立ち」なども深く理解できるかと思います。

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等積変形の応用問題2つ【難問アリ】

あと $2$ 問、練習してみましょう。

問題. 図のように、境界線 PQR によって二つの図形に分けられている。ここで、二つの図形の面積を変えないように、境界線を直線 PS にしたい。点 S を作図せよ。

これも有名な問題なので、ぜひ解けるようになっておきたいです。

「境界線を引き直す」という、ちょっと珍しい問題ですが、等積変形の基本その1を使うことであっさり解けてしまいます。

【解答】

発想としてはさっきの問題と同じで、$$△PRQ=△PRS$$となるような点 S を作図したい。

ここで、底辺 PR が共通なので、底辺 PR に平行かつ点 Q を通る直線を引く。

↓↓↓

図より、「底辺 PR に平行かつ頂点 Q を通る直線」と辺の交点を S とおくと、△PRQ=△PRSとなる。

したがって、直線 PS が新たな境界線となる。

(解答終了)

先ほどと同じように、共通している部分の面積は考えなくていいので、$$△PRQ=△PRS$$となるように点 S を取りましょう。

すると、境界線を折れ線ではなく直線で書くことができます。

さて、最後の問題は難しいですよ~。

問題. △ABC の面積を直線 PQ によって二等分せよ。

ついに「面積を二等分する」問題が出てきましたね!

しかし、点 P を通るというのがやっかいです。

こういうときは一気に解こうとしないで、とりあえず面積を二等分する線を引いてみましょう。

↓↓↓

等積変形の基本その2として学んだ通り、面積を二等分するときは中線を引けばOKです。

さて、ここまでくれば大分見えてくるかと思います。

このヒントを頼りに、少し自分で考えてみてから解答をご覧ください^^

↓↓↓

【解答】

線分 AP を底辺とし、$$△APD=△APQ$$となるように点 Q を作図したい。

よって、底辺 AP に平行かつ点 D を通る直線を引く。

↓↓↓

図で、

\begin{align}△ABD&=△QDB+△QDA\\&=△QDB+△QDP\\&=△QBP\end{align}

\begin{align}△ACD&=△APC+△APD\\&=△APC+△APQ\\&= 四角形 ACPQ\end{align}

が成り立つ。

また、線分 AD は中線より、$$△ABD=△ACD$$が成り立つことから、$$△QBP= 四角形 ACPQ$$が成り立つ。

したがって、直線 PQ は △ABC の面積を二等分する。

(解答終了)

等積変形の基本を $2$ つ組み合わせることで、上手く直線を引くことができました。

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等積変形に関するまとめ

等積変形では、とにかく平行線を引くことを意識しましょう。

また、等積変形について深く理解できると、例えばこんな問題も簡単に解けてしまいます。

問題. 図の青色で塗られた部分の面積を求めよ。

↓↓↓

上の図で、「青の面積=赤の面積」となるから、$$3×12×\frac{1}{2}=18$$

と求めることができます。

この問題では、どの三角形も高さが $3$ で等しいところがポイントです。

等積変形の基本を押さえたうえで、いろんな入試問題などにチャレンジしていただきたいと思います^^

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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