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反比例の式のグラフとは?比例定数の求め方・意味や例について解説!

2019 9/25
反比例の式のグラフとは?比例定数の求め方・意味や例について解説!

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、小学6年生および中学1年生で習う

「比例・反比例」

の式のグラフの書き方や比例定数の求め方、またそれらの意味や代表例についてわかりやすく解説していきます。

※この記事では比例と反比例をセットで解説していきます。

目次

反比例とは【意味】

まずは”比例(ひれい)”という言葉の意味を正しく理解しなければなりません。

比例…二つの量に対し一方が他方の定数倍であるような関係。
※Wikipediaより引用

ポイントは「定数倍(ていすうばい)」という部分です。

つまり、一方が $2$ 倍、$3$ 倍になれば、他方も $2$ 倍、$3$ 倍になるような関係を指します。

また、この関係を「比例関係」と呼ぶこともあります。

さて…そこに“反”がつくとどういう意味に変わるでしょう。

想像してみてからご覧ください^^

↓↓↓

【反比例の意味】
一方が $2$ 倍、$3$ 倍になれば、他方も $\frac{1}{2}$ 倍、$\frac{1}{3}$ 倍になるような関係のこと。

$2$ に対して $\frac{1}{2}$、$3$ に対して $\frac{1}{3}$…。

これって、逆数の関係ですよね!

⇒参考.逆数とは(後日書きます。)

つまり、反比例とは、「二つの量に対し一方が他方の逆数に比例している関係」のことを指します。

また、ここから反比例のことを「逆比例(ぎゃくひれい)」と呼ぶこともあります。

ここまでで、比例・反比例の言葉の意味は何となくつかめたでしょうか。

次の章で、比例・反比例の代表例を少し見てから、いよいよ比例・反比例の式について考えていきたいと思います。

<補足>

「比例」という言葉は、よく日常会話でも使われますね。

しかし、日常会話で「何倍の比率か」を意識して使うことはあまりないかと思います。

このように、数学用語が日常会話に使われる際、本来の意味とは少し異なる場合もありますので注意しましょう。

たとえば「それ以上でもそれ以下でもない」と耳にすることがありますが、これは数学的に考えるとおかしいです。

だって、以上も以下も「その数を含む」という意味を持つ言葉ですからね(^_^;)

反比例の代表例

比例・反比例の代表例としてよく挙げられるのが

  • 長方形のたて、横、面積の関係
  • みはじ(きはじ)
  • ボイルシャルルの法則<高校化学>

以上 $3$ つです。

【①長方形のたて、横、面積】

長方形の面積の公式は、皆さんお分かりですね?

$$長方形の面積=たての長さ × 横の長さ$$

で求めることができます。

ここで、仮に「たての長さを $3(cm)$ 」というふうに固定してみましょう。

その上で、横の長さを $2$ 倍してみると、面積はどう変化するでしょうか。

↓↓↓

面積も $2$ 倍になりましたね!

つまり、「横の長さと面積は比例関係」になります。

では次に、「面積を $12(cm^2)$ 」というふうに固定してみましょう。

ここで、今度はたての長さを $2$ 倍にしてみます。

↓↓↓

横の長さは $\frac{1}{2}$ 倍になりました。

つまり、「たての長さと横の長さは反比例の関係」になります。

このように、$3$ つの要素のうち $1$ つを固定することで、残り $2$ つが比例か反比例の関係になるものはたくさんあります。

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【②みはじ(きはじ)】

「みはじ(きはじ)」というのは、「道のり(きょり)・速さ・時間」のことですね。

この $3$ つの関係を、以下の図で表すことが多いですよね。

↓↓↓

実は…長方形のたて、横、面積においても同じことが成り立ちます!

よって、速さを固定すれば「時間と道のりは比例関係」になりますし、道のりを固定すれば「速さと時間は反比例の関係」になります。

【③ボイルシャルルの法則】

この法則は高校の化学で習います。

これは、$$\frac{PV}{T}=k(一定)$$

が成り立つという法則です。
※P…圧力、V…体積、T…絶対温度を表す。

ここではすべてを理解する必要はありませんので、簡単に説明します。

ⅰ)たとえば体積を固定したとすると、圧力が $2$ 倍になったら絶対温度も $2$ 倍にならなければなりません。

よって、「圧力と絶対温度は比例関係」となります。

ⅱ)それとは逆に、絶対温度を固定すると、圧力が $2$ 倍になったら体積は $\frac{1}{2}$ 倍にならなければなりません。

よって、「圧力と体積は反比例の関係」となります。

以上、$3$ つの代表例について見てきましたが、ここでこんな疑問が浮かんできます。

「③の $k$ って、一体何だ…?」

実は、この $k$ を求める作業こそが、比例・反比例の式を求めることにつながってくるのです!

①でも、「たてを $3(cm)$ と固定する」だったり、「面積を $12(cm^2)$ と固定する」だったり、ある条件が付いてましたね!

これらの条件により  $k$ の値が定まります。

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反比例の式の作り方

まず、比例・反比例の式の形を押さえておきましょう。

【比例・反比例の式】
・ $y$ が $x$ に比例するとき、ある定数 $k$ を用いて、$$y=kx$$と表すことができる。
・ $y$ が $x$ に反比例するとき、ある定数 $k$ を用いて、$$y=\frac{k}{x}$$と表すことができる。

「なぜこのように表すことができるのか」については、具体的に考えればわかります。

例えば比例の式 $$y=kx$$で、$x=1$ と $x=2$ を代入してみると、それぞれの $y$ の値は $k$、$2k$ となります。

ここで、$x$ が $2$ 倍になっているとき、$y$ も $2$ 倍になっているので、たしかに比例の関係ですね。

さて、この $k$ を求めれば比例・反比例の式は一つに定まるわけです。

そして、その $k$ のことを「比例定数」と呼びます。

【重要】比例定数の求め方

比例定数の求め方については、実際に問題を通しながら考えていきます。

問題. それぞれの場合について、$y$ を $x$ の式で表しなさい。
(1) $y$ は $x$ に比例し、$y=12$ のとき $x=4$ である。
(2) $y$ は $x$ に反比例し、$y=4$ のとき $x=3$ である。

「比例する」「反比例する」という情報が与えられれば、式の形はかなり限定されます。

【解答】

(1) $y$ は $x$ に比例するので、$$y=kx$$と表すことができる。

ここで、$y=12$ のとき $x=4$ であるので、$$12=k×4$$

つまり、$$k=3$$

したがって、$$y=3x$$

(2) $y$ は $x$ に反比例するので、$$y=\frac{k}{x}$$と表すことができる。

ここで、$y=4$ のとき $x=3$ であるので、$$4=\frac{k}{3}$$

両辺に $3$ をかけると、$$k=12$$

したがって、$$y=\frac{12}{x}$$

(2の別解)

$y$ は $x$ に反比例するので、$$y=\frac{k}{x}$$と表すことができる。

この式の両辺に $x$ をかけると、$$xy=k$$

この式に $y=4$、$x=3$ を代入すると、$$k=4×3=12$$

と一発で求めることができる。

(解答終了)

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$x$ と $y$ についての条件が一個でもあれば、比例定数は求まります。

(2)の別解として、$$xy=k$$という式を作り出しました。

この式は、反比例の式のバージョン $2$ としてよく出てきますし、比例定数 $k$ を求めるにはかなり便利です。

よって、反比例の式と言われたら…

$$y=\frac{k}{x}$$

$$xy=k$$

この $2$ つを思い浮かべるようになれるとGoodです👍

ちなみに、この(1)と(2)は、目次1-1「反比例の代表例の①で考えた $2$ パターンの式を表しています。

反比例のグラフの書き方

比例・反比例の式を求めるには、一つ条件が与えられればいいのでしたね!

では、「こうして求めた比例・反比例の式のグラフはどうなるのか」最後に考えていきましょう。

まず、(1)の比例の式$$y=3x$$のグラフです。

比例の式は、$x=0$ のとき $y=0$ になるので、必ず原点 O を通ります。

また、たとえば $x=1$ のとき $y=3$ となるため、グラフは以下のようになります。

↓↓↓

ここで注目していただきたいのが「変化の割合」です。

たとえば、$x=1$ から $x=2$ に $1$ 増えるとき、$y=3$ から $y=6$ に $3$ 増えています。

他にも、$x=-1$ から $x=0$ に $1$ 増えるとき、$y=-3$ から $y=0$ に $3$ 増えています。

このように、どこの $2$ 点をとっても変化の割合が一定であるとき、そのグラフは直線になり、変化の割合は傾きになります。

さて、それでは(2)の反比例の式$$y=\frac{12}{x}$$のグラフを考えていきましょう。

まず、反比例の式では、$x$ が分母に来ています。

ここで、割り算のルールより$0$ で割ってはいけないため、$x=0$ のときは定義できません。

⇒参考.「0で割ることができない理由を小学校で習う定義から解説!【答えはエラー?】

このルールを踏まえて、いろいろ代入してみて表を作ってみます。

↓↓↓

図に書き込んだ通り、たとえば $x=2,3,4$ の間での変化の割合を見てみると、$y$ の値の増え方が異なっていますよね。

よって、「変化の割合が一定ではないため、直線にはならない」ことがわかります。

直線であれば通る $2$ 点を結ぶだけで書くことができますが、曲線になるとそうもいきません。

↓↓↓

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今求めた $8$ つの点をすべて通るような曲線 $2$ つ。

これが反比例のグラフになります。

かなり難しいですよね(^_^;)

なんと、この反比例のグラフを次に詳しく学習するのは、高校生の中でも数学Ⅲという、国公立大学の理系を目指す人たちが履修する科目の中でのお話です。

また、数学Ⅲの中では、「双曲線(そうきょくせん)」「分数関数(ぶんすうかんすう)」と言葉を変えて登場してきます。

実は、この時点でかなり高度な内容について学習しているのです。

ただ、解説した通り、

  • 変化の割合が一定でないこと
  • 原点 O に関して点対称であること

この $2$ つは今のうちに押さえておきましょう。

比例反比例に関するまとめ

以上の内容を、一つの図でまとめておきたいと思います。

$k$ の正負でグラフの形が少し変わります。

比例のグラフは「右肩下がりの直線」、反比例のグラフは「左上と右下の曲線」となります。

これはぜひ自分でチェックしてみて下さいね^^

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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