平行線と線分の比の問題・3通りの証明・定理の逆の証明を解説!

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、中学3年生で習う

「平行線と線分の比の定理」

を用いる問題や、その $3$ 通りの証明、また定理の逆の証明について、わかりやすく解説していきます。

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目次

平行線と線分の比の定理とは【台形】

まずは定理のご紹介です。

※ $ℓ // n$ は前提以前の大前提条件です。つまり、仮定しているのは「 $m // n$ 」だけだと理解してください。

平行ならば線分の比がわかるという、非常にシンプルな定理です。

また①と②については、②→①の順で書かれている教科書もありますが、どちらとも重要なのであまり関係はありません。

さて、この図を見ていると、複数の台形が浮かび上がってきますね。

具体的には…

  • 台形 $ABED$
  • 台形 $BCFE$
  • 台形 $ACFD$

この $3$ つです。

ここで、台形が出てこないもう一つの「平行線と線分の比の定理」について見ていきましょう。

三角形と比の定理

「平行線と線分の比」と表現した場合、この定理を含むこともありますが、一応別のものとして紹介しておきます。

②の式が一つ増えましたね。

成り立つ仕組みも基本的にほぼ同じであるため、この「三角形と比の定理」も「平行線と線分の比の定理」と表すことが多いです。

つまり、区別する必要はないということですね。

これらの定理を証明する前に、これらがいかに有用であるか感じていただきたいので、まずは問題を解いてみましょう♪
※定理の証明は目次3「平行線と線分の比の定理の証明3選」から始まります。

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平行線と線分の比の性質を用いる問題

問題. 下の図における $x$ と $y$ をそれぞれ求めよ。

$x$ は「平行線と線分の比の定理(台形)」、$y$ は「三角形と比の定理」で求めることができます。

【解答】

下の図で、色を付けた部分について考える。

緑に対して「平行線と線分の比の定理①」を用いると、$$6:x=8:12 ……①$$

オレンジに対して「三角形と比の定理②」を用いると、$$8:(8+12)=4:y ……②$$

①を整理すると、$$6:x=2:3$$

比例式は「内積の項 = 外積の項」が成り立つので、$$2x=18$$

よって、$$x=9$$

②を整理すると、$$2:5=4:y$$

同様に、$$2y=20$$

よって、$$y=10$$

(解答終了)

定理を用いることで、簡単に求まりますね!

この基本の解き方を押さえたうえで、いろいろな応用問題にチャレンジすると力が付くかと思います。

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平行線と線分の比の定理の証明3選

それでは、応用方法がわかったところで、定理の証明に移りたいと思います。

先にお伝えしておくと、この定理は三角形の相似から導くことができます。

その相似な図形の作り方が主に $2$ つありますので、そちらから見ていきましょう。

具体的には

  • 砂時計型とピラミッド型を作る
  • 平行四辺形を作る
  • 式変形から導く

以上 $3$ 通りの方法です。

砂時計型とピラミッド型を作る

【証明】

線分 $DF$ を以下のように平行移動すると、砂時計型の図形ができる。

よって、$△D’BA ∽ △F’BC$ となるため、$$BA:BC=D’B:F’B$$

ここで、$D’B=DE , F’B=EF$ であるため、$$AB:BC=DE:EF$$

今度は線分 $DF$ を以下のように平行移動すると、ピラミッド型の図形ができる。

よって、$△ABE’ ∽ △ACF’$ となるため、$$AB:AC=AE’:AF’$$

ここで、$AE’=DE , AF’=DF$ であるため、$$AB:BC=DE:DF$$

(証明終了)

もちろん、線分 $DF$ を横に平行移動しただけでは、辺の長さは変わりません。

そうして代表的な $2$ つの相似

  • 砂時計型
  • ピラミッド型

を作ってしまえば、三角形の相似を用いることができます。

この証明は「相似条件とは?三角形の相似条件はなぜ3つなの?【証明問題アリ】」の記事でも詳しく解説しております。

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平行四辺形を作る

言い忘れてましたが、三角形と比の定理も全く同じ方法で証明ができます。

これが、冒頭で「この $2$ つの定理を区別する必要はない」とお伝えした一番の理由です。

また、さっきの章で「線分 $DF$ を平行移動したらピラミッド型ができた」ことから、三角形と比の定理を証明することでもOKです。

ですから、この章と次の章では三角形と比の定理①を証明していきます。

【証明】

三角形と比の定理②は、ピラミッド型の相似そのものである。

よってここからは、三角形と比の定理①について考察していく。

以下の図のように、四角形 $DFCE$ が平行四辺形になるように、辺 $BC$ 上に点 $F$ をとる。 

この図で、まず $△ADE$ と $△DBF$ が相似であることを示す。

(証明中断)

さて、とりあえず補助線を引くところまで進みました。

ここで、$$△ADE ∽ △DBF$$さえ示すことができれば、あとは上手くいきそうです。

どう示すか少し考えてみましょう。

ポイントは「平行線と角の性質」です。

【証明再開】

平行線が $2$ 組あるので、それぞれの同位角について考える。

$DE // BC$ より、$$∠ADE=∠DBF ……①$$

$DF // AC$ より、$$∠DAE=∠BDF ……②$$

①、②より、2つの角がそれぞれ等しいので、$$△ADE ∽ △DBF$$

相似な図形の辺の比はすべて等しいから、$$AD:DB=AE:DF$$

ここで、平行四辺形の対辺は等しいから、$$DF=EC$$

よって、$$AD:DB=AE:EC$$

(証明終了)

平行線における同位角が等しいことを $2$ 回用いて相似を示し、最後に「平行四辺形の性質」を用いて証明完了です。

それぞれの詳しい解説は、

にてご確認ください。

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式変形から導く

最後は、三角形と比の定理②から式変形を行い、「三角形と比の定理①」を示す方法です。

【証明】

三角形と比の定理②より、$$AD:AB=AE:AC$$

が成り立つ。

ここで、図より明らかに、$$AD:(AD+DB)=AE:(AE+EC)$$

と変形できる。

また、比例式の意味から、$$\frac{AD+DB}{AD}=\frac{AE+EC}{AE}$$

とできる。

この式を整理すると、$$1+\frac{DB}{AD}=1+\frac{EC}{AE}$$

両辺から $1$ を引くと、$$\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}$$

この式は、比例式$$AD:DB=AE:EC$$が成り立つことを意味する。

(証明終了)

比例式の意味をしっかり理解していれば、分数を用いて方程式を作ることができます。

比例式については「比例式の解き方とは?分数を用いた計算・かっこを含む文章問題をわかりやすく解説!」の記事で詳しく解説しております。

平行線と線分の比の定理の逆の証明と問題

実は「平行線と線分の比の定理」は、その逆も成り立ちます

どういうことかというと…

つまり、①と②の線分の比を満たしていれば、直線は平行になるということです。

さて、①と②は、どちらか一方でも満たせば両方とも満たすことは、今までの解説からわかるかと思います。

よって、ここでは②の条件から、$$DE // BC$$を導いてみましょう。

【逆の証明】

$△ADE$ と $△ABC$ において、

$∠A$ は共通より、$$∠DAE=∠BAC ……①$$

また、仮定より、$$AD:AB=AE:AC ……②$$

①、②より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、$$△ADE ∽ △ABC$$

相似な図形の対応する角は等しいから、$$∠ADE=∠ABC$$

よって、同位角が等しいから、$$DE // BC$$

(証明終了)

また、定理の逆を用いることで、平行な直線を見つける問題も解くことができます。

問題. 以下の図で、平行な線分の組み合わせを一組見つけよ。

書き込んでしまいましたが、見るからに$$AB // FE$$しかなさそうですよね。

逆に言うと、この問題は $BC ∦ DF$ や $AC ∦ DE$ を示すことも求められています。
※「 $∦$ 」で「平行ではない」という意味を表します。「 ≠ 」で「等しくない」と似てますね。

【解答】

まずは比を整数値にして出しておこう。

$$AD:DB=2.5:3.5=5:7 ……①$$

$$BE:EC=3.6:1.8=2:1 ……②$$

$$CF:FA=1.6:3.2=1:2 ……③$$

②、③より、$$CE:EB=CF:FA=1:2$$が成り立つので、$$AB // FE$$が示せた。

また、①、③より、$$AD:DB≠AF:FC$$なので $BC ∦ DF$ であり、①、②より、$$BD:DA≠BE:EC$$なので $AC ∦ DE$ である。

(解答終了)

「辺の比が等しくなければ平行ではない」も押さえておくといいですね^^

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平行線と線分の比に関するまとめ

平行線と線分の比の定理は、ほぼほぼ三角形の相似と変わりありません。

ただ、一々証明していては手間ですし、下の図で

$$AB:BD=AE:EC$$

が使えるのが嬉しいところです。

ちなみに、この定理よりもっと特殊な場合についての定理があります。

それが「中点連結定理」と呼ばれるものです。

この定理も非常に重要なので、ぜひ押さえていただきたく思います。

次に読んでほしい「中点連結定理」に関する記事はこちらから

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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