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分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ!ポイントは比の考え方とうまく結びつけること!

2019 9/22
分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ!ポイントは比の考え方とうまく結びつけること!

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、小学校高学年で習う関門

「分数」

について、考え方と計算のやり方(足し算引き算掛け算割り算)を詳しく解説していきます!

目次

分数とは比である

おっと、いきなりスゴイことを言っていますね。

ですが、この考え方こそ最重要!!

これがわかっていない人が多いです。これを理解していないと分数の計算の意味を理解できません。

では理解するために、比の考え方から復習してみましょう。

比とは何か

例えば$$1:2$$という比は、「りんご1個に対してバナナ2個という割合(わりあい)」ですよね!(りんごとかバナナとかは何でもいいです)

では、この右側の数字を4に変えたらどうなりますか…?

$$1:2=2:4$$ですよね!(りんご2個に対してバナナ4個)

では次に、この右側の数字を1に変えてみましょう

すると、$$1:2=?:1$$と式が立ちます。

この「?」に当てはまる数は、計算式で表すと、$$1÷2$$ですよね。(比は同じものをかけたり割ったりしてもよいのでしたね。)

ここで、$$1÷2=\frac{1}{2}$$と表すことにしたよ、というのが分数の正体です!

(小数で表すと0.5なので、$\frac{1}{2}=0.5$が成り立ちますね。)

まとめると…

分数とは、比の右側の数を1にしたときの左側の数のこと!

になります。

では、分数を習う大きなメリットを次の章で見ていきましょう。

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分数を習うメリット

【メリットその1:小数よりも簡単に書ける】

例えば、$$1:3$$という比の右側の数字を1に変えてみると、少数では$$1:3=0.3333…:1$$となってしまい、書くのに一苦労しますよね。

ですが、分数を用いることで、$$1:3=\frac{1}{3}:1$$と簡単に書くことができます。

よって、今後は小数をなるべく使わず、$0.3333…=\frac{1}{3}$と書くことで次のメリットにもつながってきます!

【メリットその2:計算を行う上で扱いやすい】

皆さん、筆算は好きですか?

僕は正直言ってあまり好きではありません(笑)。

小数の足し算引き算掛け算割り算だと、筆算を使うことがよくありますよね。

例えば、$$0.75×0.15$$という計算、やりたくないですよね…

ですが、この計算も分数で行うことで、$$0.75×0.15=\frac{3}{4}×\frac{3}{20}=\frac{9}{80}$$このように簡単に行うことができます!
(もちろん小数で計算したときと同じ値になります。)

ここでこういう疑問が生まれると思います。

なぜ分数を使うと計算がラクになるの?

この理由として、さっき見てきた「比の考え方」が登場してくるわけです!

次の章で詳しく見ていきましょう。

分数の約分や通分は比を用いている

例えば、$$1:2=2:4=3:6$$ですよね。

この比を利用すればこんなことが言えるわけです。$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$$

何故かというと、それぞれの比の右側の数字を1にしてみればいいんですよね。

試しに真ん中の$2:4$でやってみると、$$2:4=?:1$$すると、$$?=2÷4=\frac{2}{4}$$となるわけです。

実は今行ったことが、

  • 約分
  • 通分

この2つなんですね!!

約分するときは「分母と分子を同じ数で割る」、通分するときは「分母と分子を同じ数でかける」。

なぜこれらができるかというのは…

「比でできるのだから比をもとに作った数である分数でもできるよね。」

そういう考え方なんですね!

まとめると…

分母と分子に同じ数をかけたり割ったりしても、値は変わらない!
→約分や通分ができる!

ということになります。

では、次の章から具体的な計算について見ていきましょう。

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分数の計算のやり方

計算には、

  • 足し算(たしざん)
  • 引き算(ひきざん)
  • 掛け算(かけざん)
  • 割り算(わりざん)

この4つがありましたね。

ここまで分数についてまとめてきましたが、分数について考えるときは必ず比の考え方を利用していました。

ここでも比を用いて考えていきたいのですが…

比のままだと計算ができません!

例えば、$$1:2+2:3$$という計算はできますか?

このように、比のままの形だと考えることには向いているけど計算には向いていないのですね。

このことからも分数を使うメリットは感じられるかと思います^^

では、足し算から順に見ていきましょう。

分数の足し算

問題1.$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$を計算せよ。

これを小数で計算すると、$$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=0.3333…+0.5=0.83333…$$となってしまい、ずっと続く数になるので、なんか気持ち悪いですよね。。

では分数で計算していきましょう!

足し算だから、きっとこうすればいいはず!$$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$$

…なんかおかしいですね。

実際、$$\frac{2}{5}=2÷5=0.4$$なので、小数で計算したときと値が変わってしまっています。なのでこれでは正しくないということがわかりました。

ではどうすればいいのか…

ここで「分数とは比である」という言葉を思い出しましょう。

今、$\frac{1}{3}$というのは、比で考えれば$1:3=?:1$の?部分でした。

これは、「りんご1個に対してバナナ3個という割合」のことでした。

ではこれを$$1:3=2:6$$としておきましょう。

すると、「りんご2個に対してバナナ6個という割合」になりますね。

次に、$\frac{1}{2}$についても同じように、$$1:2=3:6$$とすると、「りんご3個に対してバナナ6個という割合」になります。

ここで、「バナナの個数が6個」というふうに、二つとも同じになりました!!

つまり、分数を足すという行為は、

\begin{align}バナナ6個に対してりんご2個+りんご3個=バナナ6個に対してりんご5個\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホで見てる方のみ。)

というふうに考えることができると思います。

よって、計算方法をまとめると、$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$$

となり、$\frac{5}{6}=5÷6=0.8333…$なので、これで小数で計算したときの結果と同じになりました。

(終わり)

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(補足)
「りんご~個に対して」が途中から「バナナ~個に対して」と基準が変わりました。
これは、比で考えるときはどちらか基準でも変わりはなかったのですが、分数は「数」なので、どちらを基準にするか決める必要があります。
これは僕のやり方ですが、この記事では「右側の数を1として」というふうに、右側を基準にしていることがわかると思います。
そしてその右側の数は分母に位置していますね。

つまり、基準=右側=分母となるので、分母をそろえましょう。
こういう流れになります。

分数の引き算

問題2.$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$を計算せよ。

引き算は足し算ののことをおこなっているだけです。(ここがポイント!)

なので、足し算のときと同じように、「基準を合わせる(つまり分母をそろえる=通分)」をしていきましょう。$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$$

(終わり)

この計算を小数でやろうと思ったら、$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=0.5-0.3333…$$となってしまうので、なんか大変そうですよね。。

いったんまとめておくと、

分数の足し算引き算は分母をそろえる(通分する)必要がある!!
(基準をそろえて考えなければいけないため)

では掛け算と割り算にうつりましょう。

分数の掛け算

問題3.$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$を計算せよ。

さて、これを小数で計算しようと思ったら、$$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=0.5×0.3333…$$となってしまい大変です。

なので分数で計算していきましょう。

ここで、比の考えをもう一度おさらいしておくと、同じ数をかけたり割ったりすることはOKでしたね。

同じ数をかけたり割ったりするというのは、分数で言えば、「$\frac{2}{2}$をかける」や「$\frac{3}{3}$で割る」という計算に当たります。

これは、$$\frac{2}{2}=2÷2=1$$ですし、$$\frac{3}{3}=3÷3=1$$なので、結局比は何も変わってないんですよね。

ですが、この問題は、$\frac{1}{3}$をかけてますよね。

$\frac{1}{3}$という数はもちろん1ではないので、これは比を変えるということを意味しているのです!!(ここがポイント!)

では、具体的に計算はどうするかというと…$$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1×1}{2×3}=\frac{1}{6}$$となります!
(つまり、「分母は分母で」「分子は分子で」それぞれ計算すればOKです。)

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分数の割り算

問題4.$\frac{1}{2}÷\frac{1}{3}$を計算せよ。

引き算のとき、足し算の逆だから~と考えました。

ここでも一緒です!

割り算というのは、掛け算ののことをおこなっているだけです。(ここがポイント!)

なので、計算方法も全く同じで、「分母は分母で」「分子は分子で」計算すればOKです。

実際にやっていきましょう。$$\frac{1}{2}÷\frac{1}{3}=\frac{1÷1}{2÷3}$$…さて、困りましたね。

分子は$1÷1=1$なのでいいですが、分母の$2÷3$が計算できません!!

こういう時、使えるテクニックがありますので、見ていきましょう!↓↓↓

$$\frac{1÷1}{2÷3}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{1×3}{\frac{2}{3}×3}=\frac{3}{2}$$

(終わり)

いかがでしょうか。

途中で分数の中に分数が出てきてしまいましたが、これは「繁分数(はんぶんすう)」と呼ばれる数で、何も問題はありません。

その分母を約分するために、分母と分子それぞれに3をかけました。

こういうふうに計算してもいいのですが…

最初に言いました。割り算は掛け算の逆だと。

掛け算の世界において基準となるのは、「1」という数です。

1を何度かけても値は変わらないですよね。

(ということはつまり、足し算の世界において基準となるのは、「0」という数ですね。)

よって、$$\frac{1}{3}×\frac{3}{1}=1$$

と、逆数をかけてあげれば1になるので、

分数の割り算=逆数の掛け算

となります!(ここもポイント!)

よって、今回の問題は、$$\frac{1}{2}÷\frac{1}{3}=\frac{1}{2}×\frac{3}{1}=\frac{3}{2}$$と計算しても正解です!
(こっちの方が普通ですね。)

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分数の掛け算割り算についてまとめると

「分母は分母で」「分子は分子で」それぞれ計算する!
(ただし割り算のときは、逆数をかけてあげた方が良いときが多い。)

ただ単に、「分数の割り算は逆数をかける」と覚えるのではなく、仕組みを理解して使えるようになるといいですね^^

分数に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日はまず「比の考え方」から入り、それを応用して「分数」という数を作りました。

そのうえで、「分数を使うメリット」を小数と比べて感じて、最後に「分数の計算のルール」について考えました。

分数を自由に使えるようになると、計算の幅がグッと広がりますので、ぜひ苦手意識をもたずに、分数を楽しんじゃってください!

「四則演算(足し算引き算掛け算割り算)についてもっと理解を深めたい!」という方はこちら!!

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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