微分とは何か?定義とやり方と公式をわかりやすく解説!

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、数学Ⅱの華である

「微分法」

について、まずは「微分って何?」というところから詳しく見ていき、定義とやり方について理解を深めましょう!

この記事では一番基本的な公式のみ解説していきます!

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目次

微分の定義の前に

微分の定義にいきなり入ると、

「なんじゃこりゃ…」

となってしまうと思いますので、まずは言葉の成り立ちからどういうものを扱っていくのか考えてみましょう。

微分の「微」という字。

これは「かすかな」という意味があることから、つまり「すごい小さいもの」を表していると理解しましょう。

次に「分」という字。

これは「わける」という意味ですよね。

これらを合わせると…

微分:すごい小さいものに何かを分けている

こういうイメージになると思います。(このイメージが大事!)

では、なんとなくのイメージをつかんだところで、定義に入っていきましょう!

微分の定義

さっそくまとめていきます。

(微分の定義)
ある関数$f(x)$に対して、$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$と定義される新たな関数$f'(s)$のことを、$f(x)$の導関数といい、この導関数を求めることを「( $x$ で)微分する」という。

どうやら、「微分」というのは正確な言葉ではなくて、「微分する」と動詞で使うのが正しい用法だとわかりますね。
(導関数と微分という言葉を同じ意味で使う人が多いです。一概に間違っている!というわけでもないので、そういう言い方をする人もいると受け入れてください。)

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さて、この一見複雑な定義に見える「導関数」ですが、先ほどの微分のイメージを持っていればそれほど難しいものではありません。

図をご覧ください。↓↓↓

つまり、この図の距離$h$を限りなく0に近づける(つまり微小にする)ときの$y$の変化量を見たい!ということですね。

ここで、初めて極限値 lim なるものが出てきましたが、これは限りなく何かに近づけるという意味です。

ちなみに、$$dx…xの微小変化量$$$$dy…yの微小変化量$$と極めて小さい変化量のことを$dx,dy$を用いて表すので、$$f'(x)=\frac{dy}{dx}$$というふうにも書けることになります。
(積分法の分野でこの記号は出てくるので、知識として頭の片隅に入れておきましょう。)

では定義を理解できたところで、試しにいくつか簡単な問題を解いてみましょう。

関数$x^n$を微分する

問題1.$y=x^2$の導関数$y’$を求めよ。

この問題を微分の定義に当てはめて解いていきましょう。

【解】

定義より、

\begin{align}y’&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\end{align}

一度ここまでで止めておきます。

式変形のポイントですが、

極限(lim)は簡単にできるまで残しておく!

ですので、まだ何もいじくりません。

今、2乗の展開公式で$(x+h)^2$を展開し、分子を計算しました。

ここで、$h$で約分できることにお気づきでしょうか!(ここがポイント!)

すると、先ほどの式からこのように変形できます。

\begin{align}\lim_{h\to 0}\frac{2hx+h^2}{h}&=\lim_{h\to 0}(2x+h)\\&=2x\end{align}

(終了)

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いかがでしょうか。

約分すると、$2x+h$というきれいな形になり、この$h$を限りなく0に近づけるのですから、もうそれは無視しちゃってよい!ということです。

よって、答えは$y’=2x$となりました。

ではもう一問ほどやってみましょう。

問題2.$y=3x^3+5$の導関数$y’$を求めよ。

【解】

定義より、

\begin{align}y’&=\lim_{h\to 0}\frac{(3(x+h)^3+5)-(3x^3+5)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{3(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)+5-3x^3-5}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{9x^2h+9xh^2+3h^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}(9x^2+9xh+3h^2)\\&=9x^2\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

…なんか、規則性が見えてこないですか?

今試しに2乗と3乗のときをやってみましたが、どちらとも展開公式を使ったときの「2項目」しか残りませんでしたよね?

そして、2項目の係数は二項定理を用いることで、$${}_2{C}_{1}=2$$$${}_3{C}_{1}=3$$と求めてきました。(上が問題1。下が問題2。)

つまり、$n$乗のときも$${}_n{C}_{1}=n$$と考えることができるので、まとめるとこうなります。

(関数$x^n$の導関数)
$y=x^n$の導関数$y’$は、$$y’=nx^{n-1}$$

この結果は重要ですが、結果のみを覚えている方が多いと思います。

ぜひ「微分の定義から二項定理を用いれば導ける」ということを理解してから覚えるようにしてください^^。

「二項定理について詳しく知りたい!」という方は以下の記事をご覧ください。

↓↓↓

関連記事

二項定理の公式を超わかりやすく証明!係数を求める問題に挑戦だ!【応用問題も解説】

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微分のメリット

さて、微分したことで求めることができた導関数。

こいつを求めることにどんなメリットがあるのでしょうか?

微分の定義の見出しで、微分するというのはつまり$$\frac{yの微小変化量}{xの微小変化量}$$を求めることだと分かりました。

…おや、これって、どこかで似たようなもの見たことがありませんか…?

そう、傾きです!!

つまり、簡単にまとめてしまうと…

  • 接線の傾きを簡単に求めることができる!
  • 接線の傾きがわかることで、グラフの形がある程度わかる

この2つが微分の大きなメリットです!

続きは以下の記事をご覧ください。

↓↓↓

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微分に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は、微分法の入り口「微分するという言葉の定義」から入り、「関数$x^n$の導関数を求める」ところまでやりました。

微分法・積分法は数学Ⅱを学ぶ一番の理由だと言っても過言ではないので、しっかり勉強していきましょう。

(補足)
定義が少し厄介な形をしているので、まずはそれに慣れておかないと後々苦労します。なので、結果だけを覚えようとせず、「なぜそうなるのか」理解するためにも、定義から公式を導けるようになっておきましょう。

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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