微分とは何か?定義とやり方と公式をわかりやすく解説!

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、数学Ⅱの華である

「微分法」

について、まずは「微分って何?」というところから詳しく見ていき、定義とやり方について理解を深めましょう!

ウチダ

この記事では一番基本的な公式のみ解説していきます!

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目次

微分の定義の前に

微分の定義にいきなり入ると、

数学太郎

「なんじゃこりゃ…」

となってしまうと思いますので、まずは言葉の成り立ちからどういうものを扱っていくのか考えてみましょう。

微分の「微」という字。

これは「かすかな」という意味があることから、つまり「すごい小さいもの」を表していると理解しましょう。

次に「分」という字。

これは「わける」という意味ですよね。

これらを合わせると…

微分:すごい小さいものに何かを分けている

こういうイメージになると思います。(このイメージが大事!)

ウチダ

では、なんとなくのイメージをつかんだところで、定義に入っていきましょう。

微分の定義

さっそくまとめていきます。

(微分の定義)
ある関数$f(x)$に対して、$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$と定義される新たな関数$f'(s)$のことを、$f(x)$の導関数といい、この導関数を求めることを「( $x$ で)微分する」という。

どうやら、「微分」というのは正確な言葉ではなくて、「微分する」と動詞で使うのが正しい用法だとわかりますね。
(導関数と微分という言葉を同じ意味で使う人が多いです。一概に間違っている!というわけでもないので、そういう言い方をする人もいると受け入れてください。)

さて、この一見複雑な定義に見える「導関数」ですが、先ほどの微分のイメージを持っていればそれほど難しいものではありません。

図をご覧ください。↓↓↓

つまり、この図の距離 $h$ を限りなく $0$ に近づける(つまり微小にする)ときの $y$ の変化量を見たい!ということですね。

ここで、初めて極限値 lim なるものが出てきましたが、これは限りなく何かに近づけるという意味です。

ちなみに、$$dx…x \ の微小変化量$$$$dy…y \ の微小変化量$$と極めて小さい変化量のことを $dx \ , \ dy$ を用いて表すので、$$f'(x)=\frac{dy}{dx}$$というふうにも書けることになります。

ウチダ

積分法の分野でこの記号は出てくるので、知識として頭の片隅に入れておきましょう。

では定義を理解できたところで、試しにいくつか簡単な問題を解いてみましょう。

関数x^nを微分する

問題1.$y=x^2$ の導関数 $y’$ を求めよ。

この問題を微分の定義に当てはめて解いていきましょう。

【解】

定義より、

\begin{align}y’&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\end{align}

ここで、$h$ で約分できるので、

\begin{align}\lim_{h\to 0}\frac{2hx+h^2}{h}&=\lim_{h\to 0}(2x+h)\\&=2x\end{align}

(終了)

いかがでしょうか。

約分すると、$2x+h$ というきれいな形になり、この $h$ を限りなく $0$ に近づけるのですから、もうそれは無視しちゃってよい!ということです。

よって、答えは $y’=2x$ となりました。

ではもう一問ほどやってみましょう。

問題2.$y=3x^3+5$ の導関数 $y’$ を求めよ。

【解】

定義より、

\begin{align}y’&=\lim_{h\to 0}\frac{(3(x+h)^3+5)-(3x^3+5)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{3(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)+5-3x^3-5}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{9x^2h+9xh^2+3h^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}(9x^2+9xh+3h^2)\\&=9x^2\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

ウチダ

…なんか、規則性が見えてこないですか?

今試しに $2$ 乗と $3$ について扱ってみましたが、どちらとも展開公式を使ったときの「 $2$ 項目」しか残りませんでしたよね?

そして、$2$ 項目の係数は二項定理を用いることで、$${}_2{C}_{1}=2$$$${}_3{C}_{1}=3$$と求めてきました。

つまり、$n$ 乗のときも$${}_n{C}_{1}=n$$と考えることができるので、まとめるとこうなります。

(関数$x^n$の導関数)
$y=x^n$の導関数$y’$は、$$y’=nx^{n-1}$$

この結果は重要ですが、結果のみを覚えている方が多いと思います。

ウチダ

ぜひ「微分の定義から二項定理を用いれば導ける」ということを理解してから覚えるようにしてください♪

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微分のメリットとは?【結論:接線の傾きがわかります】

さて、微分したことで求めることができた導関数。

こいつを求めることにどんなメリットがあるのでしょうか?

微分の定義の見出しで、微分するというのはつまり$$\frac{yの微小変化量}{xの微小変化量}$$を求めることだと分かりました。

…おや、これって、どこかで似たようなもの見たことがありませんか…?

そう、傾きです!!

つまり、簡単にまとめてしまうと…

  • 接線の傾きを簡単に求めることができる!
  • 接線の傾きがわかることで、グラフの形がある程度わかる

この2つが微分の大きなメリットです!

微分に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は、微分法の入り口「微分するという言葉の定義」から入り、「関数 $x^n$ の導関数を求める」ところまでやりました。

微分法・積分法は数学Ⅱを学ぶ一番の理由だと言っても過言ではないので、しっかり勉強していきましょう。

続きは以下の記事をご覧ください。

おわりです。

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