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多角形の内角の和・外角の和は?正多角形の内角の求め方は?証明や問題をわかりやすく解説!

2019 12/14
多角形の内角の和・外角の和は?正多角形の内角の求め方は?証明や問題をわかりやすく解説!

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、中学2年生で習う

「多角形・正多角形の角度」

について、まずは多角形の内角の和・外角の和を考察し、次に正多角形の一つの内角・外角の求め方を考察します。

証明や練習問題なども扱っていますので、ぜひご覧ください♪

目次

多角形の内角の和・外角の和

三角形・四角形・五角形・…など、頂点が $3$ つ以上の角ばった図形のことを「多角形」と呼びます。

さて、多角形について考えるとき、基本図形は”三角形”になります。

どういうことか、以下の図をご覧ください。

↓↓↓

図のように、四角形であれば $2$ つの三角形に、五角形であれば $3$ つの三角形に分割することができます。

つまり、多角形の内角の和は「三角形の内角の和」の知識を用いて求めることができる、というわけです。

ここで皆さんに質問ですが、三角形の内角の和はいくつでしたっけ…?

そう、答えは $180°$ ですね。

よって、ここからの話はすべて「三角形の内角の和が180度である」ことありきの話になります。

実は、この事実は結構奥が深く、しっかり理解していると数学がより一層面白く感じられるかと思います。

なので、「とりあえず基本を押さえたい!」という方だけでなく、「三角形の内角の和が180度って誰が決めたの?」という方にも、以下の記事はオススメの内容になっております♪

「三角形の内角の和」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒三角形の内角の和は180度って証明できるの?【三角形の外角の定理(公式)や問題アリ】

以上の話を踏まえ、ここからはタイトルの内容である「多角形の内角の和や外角の和」などについて、いろいろ考察していきたいと思います。

公式の証明

まずは公式の紹介です。

↓↓↓

【多角形の内角の和や外角の和の公式】
$n$ 角形の内角の和は $180°×(n-2)$
$n$ 角形の外角の和は $360°$

上の内角の和の公式から順に証明していきましょう。

…と言いましたが、内角の和の公式は簡単に導くことができます。

下の図をご覧ください。

↓↓↓

四角形であれば $2$ 個の三角形に、五角形であれば $3$ 個の三角形に、…というふうに、

$$n角形 → (n-2)個の三角形$$

に分割できます。

よって、$n$ 角形の内角の和は、分割してできた三角形の内角をすべて足せばよいので、$$180°×(n-2)$$と求めることができます。

たとえば四角形であれば、$n=4$ を代入して、$$180°×(4-2)=180°×2=360°$$

五角形であれば、$n=5$ を代入して、$$180°×(5-2)=180°×3=540°$$

と、皆さんがご存じであろう結果と一致します。

証明が少し難しいのは「多角形の外角の和」ですが、これも柔軟に考えることですぐに導き出すことができます。

【外角の和の公式の証明】

$n$ 角形の内角の和が$$180°×(n-2) ……①$$であることを利用する。

ここで、一つの内角と外角の和は直線の角度であるため、$180°$ である。

よって、すべての内角と外角の和は$$180°×n ……②$$である。

また、$$外角の和 = 内角と外角の和 – 内角の和$$

であるため、①②を代入して、

\begin{align}外角の和 &=180°×n-\{180°×(n-2)\}\\&=180°×n-(180°×n-360°)\\&=180°×n-180°×n+360°\\&=360°\end{align}

したがって、外角の和は常に $360°$ である。

(証明終了)

ポイントは、内角と外角の和は簡単に$$180°×n$$と求めることができるところですね。

なぜなら、$n$ 角形の頂点の個数は $n$ 個だからです。

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以上、多角形の内角の和と外角の和の公式の導出でした。

次の章では、この公式を応用していきます。

正多角形の内角(外角)の求め方とは

正多角形とは、「すべての辺の長さが等しく、すべての内角の大きさが等しい多角形」を指します。

よって、多角形の内角の和の公式より、正多角形の一つ一つの内角は$$\frac{180°×(n-2)}{n}$$と求めることができます。

また、正多角形における外角もすべて等しいため、正多角形の一つ一つの外角も$$\frac{360°}{n}$$と、和の公式を $n$ で割ることで求められます。

以上を踏まえ、$n=3~6$ (正三角形から正六角形)までまとめたいと思います。

↓↓↓

特に正四角形は、すべての内角が直角になることから、長方形の一種でもあります。

皆さんご存じだと思いますが、正方形と呼ぶことの方が多いですよね。

正三角形~正六角形あたりまでは出題されやすいため、覚えておくと便利です。

ちなみに、正七角形の一つの内角は$$\frac{180°×5}{7}=\frac{900°}{7}=128.571428…°$$

となり、整数値にならないためほぼ出題されることはないでしょう。
※正八角形の一つの内角・外角は整数値になるため、ふつうに出題されます。

多角形の内角と外角の応用問題2選

それでは最後に、多角形の内角と外角に関する応用問題を解いて終わりにしましょう。

代表的な問題として

  • 方程式を解く問題
  • 星型多角形の角度の和を求める問題

以上 $2$ つが挙げられます。順に見ていきましょう。

方程式を解く問題

問題. 内角の和が $1260°$ である正多角形の一つの外角の大きさを求めよ。

まずはこのように、「内角の和から何角形であるかを導く」問題です。

内角の和の公式から、方程式を立て解いてあげましょう。

【解答】

多角形の内角の和の公式より、$$180×(n-2)=1260 ……①$$

両辺を $180$ で割ると、$$n-2=7$$

よって、$$n=9$$

したがって、正九角形の一つの外角の大きさは$$\frac{360°}{9}=40°$$

(解答終了)

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角度に関する方程式を解く際は、①のように、「° 」を外して計算してあげましょう。

「° 」は単位みたいなものなので、①の式はふつうに解いて大丈夫です。

あとは、問題文で問われている内容を間違えないように注意してください。

星型多角形の角度の和を求める問題

問題. 下の図で、印をつけられた角度の和を求めよ。

一見求めることができなさそうですよね(^_^;)

だって、どこの角度も与えられていませんからね。

しかし、星型多角形の先端の角の和は常に求めることができます。

ヒントは、今まで解説してきた知識において、「変わらないものは何だったか」です!

【解答】

図のように、真ん中にできる五角形に注目して考える。

↓↓↓

多角形の外角の和は常に $360°$ なので、●の合計がわかった。

これと同じことを、もう一方にも適用する。

↓↓↓

また、真ん中に五角形ができる星型多角形は、三角形も $5$ 個できる。

よって、先端の角の和は、

\begin{align}180°×5-(●5つ)-(■5つ)&=180°×5-360°×2\\&=180°×5-180°×4\\&=180°\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(解答終了)

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ちなみに、今解いた図形は真ん中に五角形ができているため、「星型五角形」「五芒星(ごぼうせい)」などの呼び方があります。

また、真ん中に六角形・七角形・…ができる星型多角形ももちろん存在し、それらに関しても全く同じように解くことができます。

ようは、以下の式が成り立つということです。

↓↓↓

【星型 $n$ 角形の先端の角の和】
\begin{align}180°×n-360°×2=180°×(n-4)\end{align}

※この数式は少し横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

「(できる三角形の内角の和)ー360°×2」という構図が常に成り立つため、公式が作れるのですね!

数学って面白いですね!^^

多角形の内角と外角に関するまとめ

今日は三角形の内角の和から、多角形の内角・外角まで話を広げてきました。

理解は深まりましたでしょうか。

最後の星型多角形に関する問題も面白いですよね!

公式は覚える必要はありませんが、求め方をしっかり理解できれば自然と覚えてしまうものだと思います。

いろんな面白い問題にチャレンジしてみましょう♪

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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