数の規則性の問題の解き方とは?苦手意識をなくすコツを解説!【中学受験算数】

こんにちは、ウチダショウマです。
今日は、中学受験算数講座第一回ということで、まずは頻出の

「数の規則性の問題」

について、解き方のコツや苦手意識をなくすための考え方について見ていきます!!

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目次

数の規則性の問題が基本

規則性とひとことでいっても、いろいろな問題パターンがあります。

  • 図形の規則性
  • 数の規則性
  • 植木算
  • つるかめ算

などなどです。

今日は第一回ということで、一番基本となる

「数の規則性の問題」

から見ていくことにしましょう^^

数の規則性の問題1【同じ数をかけた数】

まずはこの問題にチャレンジです!

問題1.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
   1 4 9 16 □ 36 49 …

数が規則正しく並んでいるものを「数列(すうれつ)」と言います。

皆さんはこの規則性がわかりますか?

少しヒントを出しましょう。

問題1′.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
1×1 2×2 3×3 4×4 □ 6×6 7×7 …

さあ、こう書かれたらどうでしょう!

もうお分かりですね。

答えは、$$5×5=25$$になります!正解できたでしょうか。

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このように、同じ数を2回かけた数というのはスゴイねらわれやすく、図形の規則性の問題などでもよく出てきます。

中学生になると、「累乗(るいじょう)」なんて言ったりしますね。

僕の感覚で言うと、$$15×15=225$$この辺りまでは覚えておいた方が、問題がかなり解きやすくなると思います。

なぜ覚えておくといいかというと、こんな応用問題もあり得るからですね。

問題2.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
  99 120 143 168 □ 224 …

数が大きくなると一気に難しくなりますね…(^_^;)

でも大丈夫!さっきの問題とこの問題、少ししか違いはありません。

一回立ち止まって5分くらい考えてみてください^^

そろそろいいですかね…

ではここでヒントです!

問題2′.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
100-1 121-1 144-1 169-1 □ 225-1 …

どうでしょう。お分かりになりましたか?

実は、$$100=10×10$$$$121=11×11$$$$144=12×12$$$$169=13×13$$という風に、同じ数を2回かけた数から1引いた数になってたんですね…!

よって、答えは、$$14×14-1=196-1=195$$となります。

この問題は、例えば$144=12×12$などを知ってないと厳しいですよね。

このように、知識がないと解くことが難しい問題がたくさんあります。

また、こういう問題から算数に苦手意識を持つ方も多いです。

ですので、数に対する苦手意識をなくすために、まずはこういうところから知識を増やし、実際に使ってみることで楽しく学習していきましょう。

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数の規則性の問題2【等差数列】

では次の問題にまいりましょう!

問題3.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
    4 8 12 16 □ 24 …

この数列の規則性、わかりますか?

ここでもヒントを出しますよ!

ぜひヒントを見る前に少し立ち止まって考えてみて下さい^^。

問題3′.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
4×1 4×2 4×3 4×4 □ 4×6 …

いかがでしょうか。

すべての数が「$4×整数$」という形で書くことができましたね!

このように表すことができるとき、その数を「4の倍数」と言います。

ですから、答えは$$4×5=20$$となります。

また、この数列のように、ひとつ前の数との差がすべて等しい数列のことを、中学校や高校では「等差数列(とうさすうれつ)」と呼びます。

この数列でも、$$8-4=4$$$$12-8=4$$$$16-12=4$$といった風に、差はすべて4で等しいですね!

こういう視点で数列を見ると、こんな問題が解けるようになります。

問題4.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
    5 11 17 23 □ 35 …

さて、この数列の規則性は何でしょう。

図をご覧ください。↓↓↓

問題3のように、「~の倍数」にはなってませんが、次の数に進むのに、すべて+6をしていますよね!

よって、答えは、$$23+6=29$$でもいいし、$$35-6=29$$でもいいわけです。

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では、数列の形についてあと2つ見ていきます。

数の規則性の問題3【等比数列】

早速問題にまいりましょう。

問題5.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
    2 4 8 16 □ 64 …

さてどうでしょうか。

先ほどの「等差数列」の問題より、数の増え方が大きいですね。

数の増え方が大きいときは、次の規則性を疑ってみてください。↓↓↓

今度は、次の数へ進むのに、すべて×2をしていますね!

このように、「同じ数をかけて次の数へ進む」数列のことを「等比数列(とうひすうれつ)」と言います。

(2:4=4:8=8:16=…というふうに、ずっと比が等しいから”等比”数列なんですね)

では最後!少し見破りづらい「階差数列」を見ていきましょう。

数の規則性の問題4【階差数列】

早速問題に移ります。

問題6.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
     3 4 6 9 □ 18 …

これがすぐにわかる方はかなりスゴイと思います!

また5分ぐらい考えてみてください^^。

では、解説していきます。

図をご覧ください。↓↓↓

この数列は、「等差数列」と似ていますが、ちょっと違いますね。

等差数列では、「赤の数字」が同じでしたが、こちらの数列では、「青の数字」が同じですね。

このように、ひとつ前の増え方との差がすべて等しい数列のことを「階差数列(かいさすうれつ)」と呼びます。
(“階段”みたいに一段下がっているイメージがあるので、”階差”数列なんですね)

ですから、この問題の答えは、$$9+4=13$$でもいいですし、$$18-5=13$$でもいいわけです。

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数の規則性の練習問題を解いてみよう

以上まずは4パターンの数列を見てみました。

これらの知識が実際に定着したかどうか、次の練習問題を解いて確認してみてください!

(答えは書きませんので、わかった方はコメントしてみてください^^。お答えします。)

練習問題.次の数列の規則性を考え、□に当てはまる数を求めよ。
(1)  1 9 25 49 □ 121 …
(2) 101 97 93 89 □ 81 …
(3)  2 6 18 54 □ 486 …
(4)  7 10 15 22 □ 42 …

(補足)
中学数学でも高校数学でも基本的な数列はこの4つです。
また、実は(1)は(4)と同じ風に考えても解くことができます。((1)も実は階差数列になっています。)
これを説明するには、高校数学の知識が必要ですので、ここでは省略しますが、あくまで基本は小中高とず~っと同じであることは理解していただきたいと思います。

数の規則性に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

ポイントを2つまとめます。

  • 同じ数を2回かけた数については、$15×15=225$ぐらいまではすぐにわかるようにしておく。(3回かけた数は、$4×4×4=64$ぐらいまで知っておくとGOOD!!)
  • 等差数列、等比数列、階差数列のどれかではないか、数列を見たらすぐに考えるクセをつける。

ぜひ、数に対する苦手意識をなくし、数列を思う存分楽しんでほしいなと思います!

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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