樹形図を使う？使わない？【問題によって使い分けるコツを解説】

2019年10月12日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、場合の数を求める方法で一番最初に学ぶのが「樹形図(じゅけいず)」を用いる方法です。

ここで、よくこんな疑問を抱いている人を見かけます。

[ふきだし set=”悩む男性”]樹形図の理屈はわかるんだけど、樹形図を使うときと使わないときの明確な違いってないの？なんかあいまいでわかりづらいんだけど…[/ふきだし]

[ふきだし set=”悩む女性”]樹形図を書くとき、どうしてもノートを圧迫しちゃうのよね…。なんかいい方法ありませんか？[/ふきだし]

今回は、このような悩みに対しての解答や、樹形図を用いる問題の解き方について、

東北大学理学部数学科卒
教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

樹形図を使うかどうかの判断【「規則性」を考えましょう】

まずは樹形図を使うかどうかの判断です。

これは大きく $2$ つに分類できると思います。

全体の場合の数が少ないとき
規則性がわかりづらいとき

皆さんもおわかりだと思いますが、樹形図って書くのめんどくさいですよね…。

でも、たとえば全体の場合の数が $6$ 通りとか $8$ 通りとか、そのぐらいであれば全部書いちゃった方が速いこともあります。

もう一つの方。これが一番のポイントですが、

樹形図を用いることで、規則性を見つけなくても解ける

よって、

規則性を中々見つけられない
そもそも規則性がない

こういう場合は樹形図を用いて $1$ つ $1$ つ数えた方が圧倒的に速いですし、何より正確です。

[ふきだし set=”ウチダ”]樹形図の次に「順列と組合せ」「重複順列」「円順列」「同じものを含む順列」など色々学びますが、これらはすべて“ある規則性”を見つけて公式化していますよね。それぞれの詳細は別の記事で解説するとして、これらの知識が使えない場合はどこまでいっても「樹形図」を用いるようにしましょう。[/ふきだし]

では、樹形図を使う代表的な問題って、たとえばどんなものがあるのでしょうか。

樹形図の使い分け練習問題３選

本記事では、

コイントス…簡単。
辞書式配列
$3$ 勝先取など(例：団体戦やクライマックスシリーズ)

以上 $3$ 問を取り上げます。

コイントスの問題は、場合の数を求める基本問題として最初に学びます。

他 $2$ つは、規則性を見出しづらい(そもそもない)問題であり、樹形図が大活躍します。

コイントスの問題

問題.　$3$ 枚の硬貨を同時に投げるとき、$2$ 枚が表で $1$ 枚が裏になる確率を求めよ。

コイントスの問題は、樹形図で解く。

こう考えちゃっていいと思います。

なぜなら、$1$ 回のコイントスで「表、裏」の $2$ 通りしかないので、$3$ 回のコイントスでの場合の数は $2^3=8$ 通りだからです。

このぐらいであれば、樹形図でしっかり正確に求めていきましょう。

【解答】

図のように樹形図を書く。

このとき、題意を満たすものに「〇」など印をつけておくとGOOD。

したがって、樹形図より、全 $8$ 通り中 $3$ 通りが当てはまるので、$$\frac{3}{8}$$

(解答終了)

樹形図の基本は、この問題で大体押さえられますね。

当たり前ですが、樹形図を書くと非常にわかりやすいです＾＾

[ふきだし set=”ウチダ”]場合の数から確率を求めるときは、ほとんどの場合「 $1$ つ $1$ つ区別して考える」と上手くいくことが多いです。この問題でも $3$ 枚の硬貨をそれぞれ $A$、$B$、$C$ と表しています。これは学習していくにつれ、自然と理解できるようになってくるかと思います。[/ふきだし]