重複順列の問題6選とは【公式よりも応用問題の解き方が大切です】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、「重複順列(ちょうふくじゅんれつ)」の公式は $n^r$ と、ものすごく簡単な形であるがゆえに、

数学太郎のアイコン画像数学太郎
よ~し。公式に当てはめて…って、あれ??答えと違うんだけど…。

と間違えてしまうことはよくあります。

また、そもそも

数学花子のアイコン画像数学花子
「これは重複順列の問題!」と判断すること自体が難しいなぁ…。

そう感じている方も多いかと思います。

よって本記事では、重複順列だと判断する2つのポイントから、重複順列の基本問題3選、重複順列の応用問題3選の解き方まで

  • 東北大学理学部数学科卒
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • (専門は確率論でした。)

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

重複順列の見分け方【2つのポイントに注意です。】

この $2$ 点に注意しておけば、ほとんどの基本問題には対応できるでしょう。

  1. 使う個数の制限が“全く”ない。
  2. 並び替えが発生する(順列である)。

また、これらを満たすとき、次の公式が使えます。

【重複順列の総数】
$n$ 個から $r$ 個取る重複順列の総数は$$n^r$$
ウチダのアイコン画像ウチダ
ポイント $2$ つの補足をすると、①に対しちょっとでも制限がある場合は「同じものを含む順列」、②に対し並び替えが発生しない場合は「重複組合せ」の考え方を使うことが多いです。

以上、重複順列の基本はたったこれだけですが、実際に問題が解けるようにならないと意味がないですよね。

よってここからは、具体的な問題を解いていくことで、理解を深めていきましょう。

重複順列の基本問題3選

重複順列の基本問題としてよく出題されるのが、

  • サイコロの問題
  • じゃんけんの問題
  • 部分集合の問題

以上 $3$ つです。

まとめて確認しましょう。

問題. 以下の(1)~(3)の場合の数を求めよ。
(1) 大中小 $3$ 個のさいころを投げたとき、目の出方の総数
(2) $4$ 人でじゃんけんをしたとき、手の組合せの総数
(3) 集合 $A=\{1,2,3,4,5\}$ の部分集合の総数

すべて重複順列の公式によって求めることができます。

↓↓↓

【解答】

(1) $1$ 個のさいころにつき、目の出方は $6$ 通りある。

よって、$6^3=216$ 通り。

(2) $1$ 人につき、手の出し方は $3$ 通りある。

よって、$3^4=81$ 通り。

(3) たとえば、要素 $1$ に対して

  • 部分集合に属している
  • 部分集合に属していない

の $2$ 通り考えられる。

また、要素 $2$ に対しても同様に $2$ 通り、要素 $3$ に対しても同様に $2$ 通り、

…というふうに、すべての要素それぞれに対し $2$ パターン考えられる。

【重複順列】部分集合の個数を求める問題

したがって、$2^5=32$ 通り。

(解答終了)

重複を許さないふつうの順列では ${}_n{P}_{r}$ を使う必要がありましたが、重複を許す順列では $1$ つ $1$ つ独立させて考えることができるため、計算がとってもラクですね。

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重複順列の応用問題3選

重複順列の授業を受ける女子高生

それでは、本記事のメイントピック。

  • 偶数などの条件がある整数の問題
  • $n$ と $r$ がわかりづらい問題
  • 部屋割りの問題

以上 $3$ つの応用問題について、詳しく解説していきます。

偶数などの条件がある整数の個数の問題

問題. 次の条件を満たす整数の個数を求めよ。
(1) $4$ 桁の自然数で、偶数であるもの
(2) (1)の中で $4300$ より小さいもの

この問題も、$0$ から $9$ までの数字を使う回数について制限がないため、重複順列の問題ですね。

さて、整数の個数を求める問題では、とあることに注意しなくてはいけません。

それが何だったか、ぜひ思い出しながらご覧ください。

【解答】

(1) それぞれの位の数について、場合の数を求めると…

  • 千の位の数 → $0$ 以外の $9$ 通り。
  • 百の位の数 → $10$ 通り。
  • 十の位の数 → $10$ 通り。
  • 一の位の数 → $2$、$4$、$6$、$8$、$0$ の $5$ 通り。

よって、積の法則より、$9×10×10×5=4500$ 個である。

(2) $1000$ 以上 $4300$ 未満の自然数の個数を求めればOK。

ⅰ)千の位が $1$、$2$、$3$ のいずれかである場合

百、十の位の数に制限がなく $10$ 通りで、一の位の数は変わらず $5$ 通り。

よって、積の法則より、$3×10×10×5=1500$ 個。

ⅱ)千の位が $4$ である場合

百の位の数は $0$、$1$、$2$ の $3$ 通り。

十の位の数は制限がないため $10$ 通り。

一の位の数は変わらず $5$ 通り。

よって、積の法則より、$1×3×10×5=150$ 個。

したがって、ⅰ)ⅱ)より和の法則を用いて、 $1500+150=1650$ 個である。

(解答終了)

この問題の場合、$4$ 桁であることは確定しているため、千の位に $0$ が入ることはありません…!

そこだけ注意です。

ウチダのアイコン画像ウチダ
別解として、「 $奇数の個数=偶数の個数$ 」より、(1)は $9000÷2=4500$ 個、(2)は $3300÷2=1650$ 個と求めることもできます。ただ、より複雑な条件が付いたときに対応できるように、まずは本解答をしっかりと押さえておきましょう。

nとrがわかりづらい問題

問題1. $5$ 個のアメ玉を $3$ 人の子供に配るとき、何通りの配り方があるか。ただし、アメ玉を $1$ 個ももらえない子供がいてもよい

「アメ玉を $1$ 個ももらえない子供がいてもよい」

この部分がポイントです。

皆さん、もうお分かりだと思いますが、この問題の答えは

$5^3$ or $3^5$

のどちらかではないですか?

さて、どっちが正しい答えか、よ~く考えてみて下さい。

↓↓↓

【解答】

$1$ 個のアメ玉に対し $3$ 通りの配り方がある。

アメ玉は $5$ 個あるので、よって $3^5=243$ 通りである。

(解答終了)

もし $5^3=125$ 通りが答えになる問題を作りたいときは、以下のようになります。

問題2. $5$ 種類のアメ玉がたくさんある。このとき、$3$ 人の子供に対し $1$ 個ずつ配る場合の数を求めなさい。

このような問題であれば、$1$ 人の子供に対し $5$ 通りの配り方があるため、$5^3=125$ 通りとなります。

【重複順列】nとrの違いがわかりづらい問題
ウチダのアイコン画像ウチダ
それにしても…「アメ玉を $1$ 個ももらえない子供がいてもよい」という条件は道徳心に欠けるので、日常生活においては必ず $1$ 個は全員にいきわたるようにしましょう。(笑)

【重要】部屋割りの問題

問題. $5$ 人の生徒を、$2$ つの部屋 $A$、$B$ に分けるとき、それぞれの条件下における場合の数を求めよ。
(1) 空き部屋があってもよい
(2) 空き部屋がないようにする

さて、「空き部屋があるかないか」ももちろん重要な要素の一つですが、まずは「何通り( $n$ )が何個( $r$ )か」を考えていきましょうね。

↓↓↓

【解答】

(1) $1$ 人の生徒に対して、$A$ か $B$ かの $2$ 通り考えられる。

よって、$2$ 通りが $5$ 回続くので、$2^5=32$ 通り。

(2) (1)で、空き部屋ができてしまう場合は

  • 全員が部屋 $A$ に入る
  • 全員が部屋 $B$ に入る

の $2$ 通りである。

したがって、$32-2=30$ 通り。

(解答終了)

空き部屋がない場合の数については、空き部屋ができてしまう場合の数を引いて求めるしかありません。

ウチダのアイコン画像ウチダ
部屋割りの問題(組分け問題)は非常に問題パターンが豊富で、かなり難しいです。「組分け問題全8パターン+αを解説【区別の有無で数学的な考え方が変わる】」の記事でしっかり学習しておきましょう。

重複順列に関するまとめ

本記事のポイントを $3$ つまとめます。

  1. 「使う個数の制限がない」かつ「並び替えが発生する」 → 重複順列
  2. 公式より「解き方の理解」の方が大切。
  3. 部屋割り(組分け)の問題は、いろんなパターンがあって難しい。

重複順列の問題は一見すると簡単ですが、甘く見ていると足をすくわれますので、しっかりと学習しておきましょう。

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