場合の数とは?【高校数学Aの解説記事総まとめ12選】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、

数学太郎のアイコン画像数学太郎
場合の数の総まとめ記事があったらなぁ~。
数学花子のアイコン画像数学花子
ついでに場合の数の基本的な部分も知りたいなぁ~。

そういった声にお応えしまして、「遊ぶ数学版場合の数総まとめ記事」を作成いたしました!!

ウチダのアイコン画像ウチダ
下の目次からお好きな部分へ飛んで、ぜひ色々な記事をご覧くださいませ!
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目次

場合の数の基本とは?【「もれなく」かつ「重複なく」です】

最初に、場合の数の基本中の基本をまとめておきます。

  • もれなく数える
  • 重複なく数える

「以上 $2$ 点を守ることができているか」は常に確認する必要があります。

この大基本さえ押さえておけば、理論上どんな場合の数だろうと求めることができますが…

ウチダのアイコン画像ウチダ
たとえば答えが「 $843$ 通り」だとして、それを $1$ つずつ数え上げたいと思う人はどこにもいませんよね?

ということで、工夫して数え上げていくことが重要となってきます。

本記事では、以上を踏まえて

  • 重要度 … ★ $1$ ~ $5$ でランク付け(私の独断と偏見によるものです)
  • 難易度 … ★ $1$ ~ $5$ でランク付け(私の独断と偏見によるものです)

この $2$ つの指標とともに、全 $12$ 記事をご紹介します。

場合の数の解説記事12選

樹形図

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重要度:★★★☆☆
難易度:★☆☆☆☆

  • 「樹形図を使うか使わないかの判断基準」を  $2$ 点挙げています。
  • 特に「 $3$ 勝先取」の問題は必ず押さえたいところです。
  • 基本ではありますが、登場頻度は少ないため、重要度は★ $3$ 個です。

和の法則・積の法則

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重要度:★★★☆☆
難易度:★★☆☆☆

  • 樹形図をちょっとだけ発展させたものです。
  • 「~の法則」なんていう名前がついてますが、言ってることは当たり前です。
  • 「正の約数の個数を求める問題」は知っておいた方が良いかも。

順列と組合せの違い

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重要度:★★★★★
難易度:★★★☆☆

  • 「区別をつける(なくす)→階乗をかける(割る)」ここが最重要ポイント
  • 整数を作る問題と三角形の個数の問題が少し難しいため、難易度は★ $3$ つです。
  • 必ず押さえておきましょう!!

円順列

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重要度:★★★★★
難易度:★★★☆☆

  • 円順列のポイントは「固定」すること!
  • 計 $7$ 問あります。円順列の出題パターンは事前に把握しておいた方が良いです。
  • 全体的な難易度は★ $3$ にしましたが、★ $5$ の問題もあります。

数珠順列(じゅず順列)

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重要度:★★★☆☆
難易度:★★★★☆

  • 円順列のちょっと応用版。
  • 出題頻度はあまり多くないため、重要度は下がります。
  • でも「左右対称」のキーワードで何の話かわかるようには、なっておきましょう。

重複順列

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重要度:★★★★☆
難易度:★★☆☆☆

  • 円順列の次に重要。★ $5$ よりの★ $4$ です。
  • 円順列よりは簡単なので、難易度は★ $2$ にしました。
  • 応用問題の「部屋割り」や「アメ玉」はふつうに★ $3$ ぐらいあるかも。

同じものを含む順列

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重要度:★★★★☆
難易度:★★☆☆☆

  • 同じものを含む順列は、つまるところ「組合せ」です。
  • 一定の順序を含む順列(文字列の問題など)では常に疑うようにしましょう。
  • 整数を作る問題や最短経路問題が、重要な応用問題ですね。

最短経路問題

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重要度:★★★☆☆
難易度:★★★☆☆

  • 「↑」と「→」の同じものを含む順列です。
  • しかし、「~を通らない」の解き方は確認しておく必要があるでしょう。
  • 池がある場合では、とっておきの解き方があります!

組分け問題(部屋割り問題)

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重要度:★★★★☆
難易度:★★★★☆

  • 「モノの区別」「組の区別」「要素の個数の指定」と $3$ つの指標で考えなければいけません。
  • わかりやすく図解してますので、コツをつかんでいきましょう!
  • 「重複度で割る」のがポイントです。

重複組合せ

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重要度:★★★☆☆
難易度:★★★★☆

  • 仕切りを使う理由がわかりづらいですが、逆にそこさえ理解できてしまえば、あとはすんなりいきます。
  • 「整数解の個数を求める問題」はマジで頻出なので、必ず押さえておきましょう!
  • ポイントは「 $0$ 以上」になるように変数変換するところですね。

二項係数の公式(組合せの性質)

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★★★☆☆

  • 二項係数の公式 $3$ つを、$2$ 通りの方法で証明しています。
  • 「パスカルの三角形」や「フェルマーの小定理」に応用されます。
  • 公式①だけは、自然と使えるようになる必要があります。ここは慣れです。

完全順列(攪乱順列)

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重要度:★☆☆☆☆
難易度:★★★★★

  • 完全にコラム内容ですね。
  • 「 $1↔k$ 」と「 $1→k$,$k→1以外$ 」に場合分けして考えるのがポイントです。
  • よく挙げられる代表例が「プレゼント交換」や「席替え」です。

確率の総まとめ記事

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  • 場合の数の次に学ぶのが「確率」です。
  • 場合の数の知識が非常に役に立ちます。
  • あわせて勉強しておけば、効率UP間違いナシです!
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場合の数をしっかりマスターしたいと思ったら…?

遊ぶ数学内で取り扱っている全 $12$ 記事のご紹介でした。

まずは、これらの記事をじっくり読んで勉強していただきたく思います。

数学太郎のアイコン画像数学太郎
本当にそれだけで十分なの…?
ウチダのアイコン画像ウチダ
…はい。とは言えませんね。(笑)

ということで、僕が本当にオススメしたい教材を $2$ つご紹介します。

まず一つ目。

数学参考書「Focus Gold」さんです。

「Focus Gold がなぜ優れているか」僕なりの見解を書き記すと…

  • 問題ごとに要点に”Focus”し、デザインもきれいでわかりやすい。
  • 出版元が「啓林館」さんで、とっても本質的な解説。
  • 数学が苦手な方~得意な方まで、全人類楽しめる。
  • コラムが数学好きにはたまらない。(勉強法などもあります。)

参考書は、自分に合っているものを $1$ 冊見つけ、それをやりこむことが重要です。

ウチダのアイコン画像ウチダ
未だに愛用させてもらっている参考書です。かなり力が付きますよ!

次に二つ目。

数学ガールの秘密ノート」さんです。

著者が「結城浩」さんという方で、本職はプログラマです。

数学ガールの特徴は

  • 僕、ミルカ、テトラ、ユーリの $4$ 人からなる会話形式で話が進んでいく。
  • 個性豊かなキャラクターたちで、読んでいて楽しい。
  • 数学的にも、易しい部分から高度な部分まで、幅広く解説。

ということで、これもまた数学が苦手な方でも得意な方でも、どちらでも楽しめる内容となっています。

ウチダのアイコン画像ウチダ
場合の数だけ勉強したい!」という方にピッタリの教材です。物語形式なので、読んでいて楽しい。それなのに、読み終わったころには理解がめっちゃ深まっている。そんな不思議な作品です。

以上、参考になりましたら幸いです。

終わりです!

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