場合の数とは？【高校数学Ａの解説記事総まとめ１２選】

2019年10月29日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、

数学太郎

場合の数の総まとめ記事があったらなぁ～。

数学花子

ついでに場合の数の基本的な部分も知りたいなぁ～。

そういった声にお応えしまして、「遊ぶ数学版場合の数総まとめ記事」を作成いたしました！！

ウチダ

下の目次からお好きな部分へ飛んで、ぜひ色々な記事をご覧くださいませ！

場合の数の基本とは？【「もれなく」かつ「重複なく」です】

最初に、場合の数の基本中の基本をまとめておきます。

もれなく数える
重複なく数える

「以上 $2$ 点を守ることができているか」は常に確認する必要があります。

この大基本さえ押さえておけば、理論上どんな場合の数だろうと求めることができますが…

ウチダ

たとえば答えが「 $843$ 通り」だとして、それを $1$ つずつ数え上げたいと思う人はどこにもいませんよね？

ということで、工夫して数え上げていくことが重要となってきます。

本記事では、以上を踏まえて

重要度　…　★ $1$ ～ $5$ でランク付け（私の独断と偏見によるものです）
難易度　…　★ $1$ ～ $5$ でランク付け（私の独断と偏見によるものです）

この $2$ つの指標とともに、全 $12$ 記事をご紹介します。

場合の数の解説記事１２選

樹形図

重要度：★★★☆☆
難易度：★☆☆☆☆

「樹形図を使うか使わないかの判断基準」を $2$ 点挙げています。
特に「 $3$ 勝先取」の問題は必ず押さえたいところです。
基本ではありますが、登場頻度は少ないため、重要度は★ $3$ 個です。

和の法則・積の法則

重要度：★★★☆☆
難易度：★★☆☆☆

樹形図をちょっとだけ発展させたものです。
「～の法則」なんていう名前がついてますが、言ってることは当たり前です。
「正の約数の個数を求める問題」は知っておいた方が良いかも。

順列と組合せの違い

重要度：★★★★★
難易度：★★★☆☆

「区別をつける（なくす）→階乗をかける（割る）」ここが最重要ポイント！
整数を作る問題と三角形の個数の問題が少し難しいため、難易度は★ $3$ つです。
必ず押さえておきましょう！！

円順列

重要度：★★★★★
難易度：★★★☆☆

円順列のポイントは「固定」すること！
計 $7$ 問あります。円順列の出題パターンは事前に把握しておいた方が良いです。
全体的な難易度は★ $3$ にしましたが、★ $5$ の問題もあります。

数珠順列（じゅず順列）

重要度：★★★☆☆
難易度：★★★★☆

円順列のちょっと応用版。
出題頻度はあまり多くないため、重要度は下がります。
でも「左右対称」のキーワードで何の話かわかるようには、なっておきましょう。

重複順列

重要度：★★★★☆
難易度：★★☆☆☆

円順列の次に重要。★ $5$ よりの★ $4$ です。
円順列よりは簡単なので、難易度は★ $2$ にしました。
応用問題の「部屋割り」や「アメ玉」はふつうに★ $3$ ぐらいあるかも。

同じものを含む順列

重要度：★★★★☆
難易度：★★☆☆☆

同じものを含む順列は、つまるところ「組合せ」です。
一定の順序を含む順列（文字列の問題など）では常に疑うようにしましょう。
整数を作る問題や最短経路問題が、重要な応用問題ですね。

最短経路問題

重要度：★★★☆☆
難易度：★★★☆☆

「↑」と「→」の同じものを含む順列です。
しかし、「～を通らない」の解き方は確認しておく必要があるでしょう。
池がある場合では、とっておきの解き方があります！

組分け問題（部屋割り問題）

重要度：★★★★☆
難易度：★★★★☆

「モノの区別」「組の区別」「要素の個数の指定」と $3$ つの指標で考えなければいけません。
わかりやすく図解してますので、コツをつかんでいきましょう！
「重複度で割る」のがポイントです。

重複組合せ

重要度：★★★☆☆
難易度：★★★★☆

仕切りを使う理由がわかりづらいですが、逆にそこさえ理解できてしまえば、あとはすんなりいきます。
「整数解の個数を求める問題」はマジで頻出なので、必ず押さえておきましょう！
ポイントは「 $0$ 以上」になるように変数変換するところですね。

二項係数の公式（組合せの性質）

重要度：★★☆☆☆
難易度：★★★☆☆

二項係数の公式 $3$ つを、$2$ 通りの方法で証明しています。
「パスカルの三角形」や「フェルマーの小定理」に応用されます。
公式①だけは、自然と使えるようになる必要があります。ここは慣れです。

完全順列（攪乱順列）

重要度：★☆☆☆☆
難易度：★★★★★

完全にコラム内容ですね。
「 $1↔k$ 」と「 $1→k$，$k→1以外$ 」に場合分けして考えるのがポイントです。
よく挙げられる代表例が「プレゼント交換」や「席替え」です。

確率の総まとめ記事

場合の数の次に学ぶのが「確率」です。
場合の数の知識が非常に役に立ちます。
あわせて勉強しておけば、効率UP間違いナシです！

場合の数をしっかりマスターしたいと思ったら…？

遊ぶ数学内で取り扱っている全 $12$ 記事のご紹介でした。

まずは、これらの記事をじっくり読んで勉強していただきたく思います。

数学太郎

本当にそれだけで十分なの…？

ウチダ

…はい。とは言えませんね。(笑)

ということで、僕が本当にオススメしたい教材を $2$ つご紹介します。

まず一つ目。

数学参考書「Focus Gold」さんです。

リンク

「Focus Gold がなぜ優れているか」僕なりの見解を書き記すと…

問題ごとに要点に”Focus”し、デザインもきれいでわかりやすい。
出版元が「啓林館」さんで、とっても本質的な解説。
数学が苦手な方～得意な方まで、全人類楽しめる。
コラムが数学好きにはたまらない。（勉強法などもあります。）

参考書は、自分に合っているものを $1$ 冊見つけ、それをやりこむことが重要です。

ウチダ

未だに愛用させてもらっている参考書です。かなり力が付きますよ！

次に二つ目。

「数学ガールの秘密ノート」さんです。

リンク

著者が「結城浩」さんという方で、本職はプログラマです。

数学ガールの特徴は

僕、ミルカ、テトラ、ユーリの $4$ 人からなる会話形式で話が進んでいく。
個性豊かなキャラクターたちで、読んでいて楽しい。
数学的にも、易しい部分から高度な部分まで、幅広く解説。

ということで、これもまた数学が苦手な方でも得意な方でも、どちらでも楽しめる内容となっています。

ウチダ

「場合の数だけ勉強したい！」という方にピッタリの教材です。物語形式なので、読んでいて楽しい。それなのに、読み終わったころには理解がめっちゃ深まっている。そんな不思議な作品です。

以上、参考になりましたら幸いです。

終わりです！

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