三角比の表の値(sincostan)の覚え方を解説!【単位円でマイナスも定義】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は数学Ⅰ「図形と計量」で習う

「三角比(sin cos tan)」

の特別な値の表の正しい覚え方について一緒に考えていきましょう!

また「単位円とは何か」から詳しく見ていくことで、マイナスの値をとる三角比が出てきても余裕で対応できるようになるかと思います。

どこよりも丁寧に解説していきますので、ぜひご期待くださいませ!

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目次

三角比の表とは?

まず「三角比の表とは何か」について見ていきましょう。

図をご覧ください。

↓↓↓


※出典「三角関数表」より

数学Ⅰと数学Ⅱの教科書の巻末に、このような表が書かれていませんか?

この対応表のことを「三角比の表(または三角関数表)」と呼び、これを用いて解く問題もあります。

さて、この表をすべて覚えるのは現実的に不可能に近いです。

そこで「重要な部分だけでもいいので覚えておきましょう」となったのですが、それが赤い枠で囲った $5$ つの部分です。

では、次の章から「赤い枠の部分はなぜ重要か」を明らかにした上で、簡単な覚え方について一緒に考えていきましょう♪

三角比の表(sin cos tan)の値の覚え方

三角比の分野は学校によって教え方が異なります。

進学校であればあるほど「三角比⇒三角関数」と数学ⅠⅡをつなげて履修する傾向がありますね。

つまり、三角関数というのは、三角比の値を関数として扱っているに過ぎないので、基本は一致している部分が多いです。

したがって、この記事では少し数学Ⅱの内容も含みますが、それは自然な流れであることを今のうちに理解しておくと、後々ラクになるかと思いますので、ぜひ読み進めていってほしいと思います。

$2$ つの特別な比の直角三角形

いきなりですが、皆さんは特別な直角三角形と言われてどういう図形を思い浮かべますか?

少し考えてみて下さい。

↓↓↓(答えあり)

きっと、$3:4:5$ の直角三角形や $5:12:13$ の直角三角形を思い浮かべた方もいるかと思います。

しかし、ここでは「角度と辺の比両方とも簡単に表せる」ような直角三角形について考えていきます。

なぜなら、三角比は直角三角形の底角を用いて定義されるからです。

さて、果たしてそんな直角三角形は存在するのでしょうか。。

実は $2$ つもあります!加えてなんと、中学校で習ってきています!

では復習もかねて順に見ていきましょう^^

ⅰ) 正方形を半分に切る

図のように、とある正方形を用意します。

そこで、対角線に沿って半分に切ってみましょう。

すると、底角が $90°$ の半分で $45°$ となり、辺の比が $1:1:\sqrt{2}$ の直角二等辺三角形を作ることが出来ました!

この直角三角形の角度と辺の比はどちらとも簡単ですよね!!

よって、まずは $45°$ に対する三角比(sin cos tan)を覚える必要があることが分かりました。

ⅱ) 正三角形を半分に切る

図のように、とある正三角形を用意します。

そこで、対称の軸に沿って半分に切ってみましょう。

すると、底角は $60°$ のままですね!

また、底辺の長さを $1$ としたとき、斜辺の長さは $2$ なので、三平方の定理より高さは $\sqrt{3}$ と求めることが出来ます。

よって、辺の比が $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形を作ることが出来ました!

この直角三角形の角度と辺の比はどちらとも簡単ですよね!!

したがって、$30°$ それから $60°$ に対する三角比(sin cos tan)も覚える必要がありそうですね!

以上のように、覚えるべき三角比の値のスタートは「正三角形」と「正四角形(=正方形)」を半分に切ることから始まります!

これについては、三角比の値を覚えている人でも意外と忘れていることがあるので、この機会にぜひ押さえていただきたく思います。

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★今すぐに覚える方法★

さて、本記事のメインテーマである「三角比の表を覚える方法」について解説していきます。

先に見た、$2$ つの特別な直角三角形を思い浮かべることで、定義通り求めれば sin cos tan の値はすぐにわかります。

しかし、逐一定義通りに求めるのは効率が悪いです。

よって、この表は今すぐにでも覚えることをオススメします!!

↓↓↓

この表が、これから長い間三角比を扱っていく上での基本中の基本となるので、ぜひ覚えてください。

…と一口に言いましても、中々覚えづらいかとは思います。

なので、コツを二つほどご紹介いたします。

まず一つ目は、表の下に書かれてある「三角比の相互関係」の一つ$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}$$という関係式です。

「この式がなぜ成り立つのか」については三角比の定義式を用いることですぐに証明ができますので、ぜひチャレンジしてみて下さい^^

⇒参考.「サインコサインタンジェント(sin,cos,tan)とは?斜辺を1にすればわかりやすい定義に?良い覚え方のコツを解説!

この関係式から分かることは、「 sin と cos さえ覚えておけば、tan は簡単に求めることが出来る」ということです。

よって、例えば

\begin{align}\tan 30°&=\frac{\sin 30°}{\cos 30°}\\&=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\&=\frac{\frac{1}{2}×2}{\frac{\sqrt{3}}{2}×2}\\&=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{align}

というふうに、$\tan 30°$ は $\sin 30°$ と $\cos 30°$ を用いて表すことが出来ます。

このように、知識を結びつけることでただの暗記にならなくて済むので、覚えやすくなります。

さて、では肝心の sin、cos の値はどのようにして覚えたらよいのでしょうか!

そこで、二つ目のコツです。

↓↓↓

まず、赤枠で囲った部分について解説します。

$\sin θ$ の行を見てみると、「 $2$ 分の~」という形で表したとき、分子が左から順番に $\sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}$ と表せることにお気づきでしょうか!

実際、$$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$$$$\frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1$$ですし、また、先程の表での $\sin 45°$ は分母の有理化を行うことで$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$となりますね。

これは覚え方としては非常に有効ですが、計算などの場面で扱う際は$$\sin 30°=\frac{1}{2}$$というふうにスマートに使って下さい♪

なのでパッと出てくるまではぜひこの覚え方を参考にしていただき、「覚えられた!」となったらこれは忘れて結構です。
※ただし、「 $\sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 」これだけはぜひ両方とも覚えておくことをオススメします。なぜなら、場面によって使い分けることが出来れば、計算のスピードが上がるからです。

さて、次に青枠で囲った部分について解説をしましょう。

これは一目瞭然だとは思いますが、値の並び順が逆ではないですか?

実はこれ、結構大事です!

値の並び順が逆であることを式として表すと$$\sin (90°-θ)=\cos θ$$または$$\cos (90°-θ)=\sin θ$$となりますが、この $2$ つの式は共に成り立ちます!

この式は、直角三角形を用意して、底角を $θ$ としたとき、もう一つの角度が $90°-θ$ であることを利用すれば簡単に導くことが出来るのですが、この結果を知っておくことそのものに非常に意味があります。

なぜなら、知っておくだけで「 sin と cos をリンクさせて覚える」ことが出来ますし、数学Ⅱで習う最も重要な公式の一つ「加法定理」忘れた時に思い出す材料になるからです。

我々は人間なので、何かを忘れてしまうことはそりゃもちろんあるでしょう。

重要なのは忘れないことではなく、忘れた時に思い出せるかどうかです。

そして、この式のような具体的な結果というのは、より抽象的で重要度の高い公式などを思い出すときに非常に役立ちます。

とにかく、$0°$ ~ $90°$ までの三角比の特別な値は、これでスッキリ覚えることが出来そうですね!
※$0°$ と $90°$ については初めて見る方もいるかと思います。この三角比の値については、次の章で明らかになります。

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単位円(半円)で $180°$ まで拡張

さて、$0°$ ~ $90°$ までまとめましたので、ここからは拡張について考えたいと思います。

拡張という概念はとても重要です。

なぜなら、角度の定義は 「 $360°$ で一回転を表す」なので、$90°$ まででは不十分だからです。

⇒参考.「円の一周が360度の理由とは?なぜそう決めたのか由来を様々な視点から解説!

他の例を挙げます。

例えば、我々は小学1年生で「自然数」を習います。

しかしそれだけでは数学的議論が制限されてしまうため、” $0$ (ゼロ)”や”負の数”を定義し、範囲を「整数」まで広げます。

そこで、整数は連続していないことに目をつけ、整数同士の間の数として「小数」を定義します。

また、高校2年生にもなると、$2$ 乗して $-1$ になる数として「虚数」という数を定義します。

このように、範囲をどんどん広げていくことって、数学の進歩に大きく貢献するんですね!

そこで気をつけなければいけないのが、範囲を広げて議論していくためには自然な拡張でなければならない、ということです。

つまり、今まで行ってきた議論を無視するような拡張はできない、ということですね。

では、三角比について今まで分かっていることはなんでしょう。

少し振り返ってみると…

sin cos は「斜辺が $1$ の直角三角形における高さと底辺」を表す

この事実がものすごい重要なんですね!

⇒参考.「サインコサインタンジェント(sin,cos,tan)とは?斜辺を1にすればわかりやすい定義に?良い覚え方のコツを解説!

ではこれを踏まえ、三角比の定義をとりあえず $180°$ まで拡張していきましょう。

↓↓↓

先から紹介している関連記事において、「 sin は高サイン(高さ+サイン)、cos はよコサイン(横+コサイン)と覚えよう」と伝えてきました。

そこで、$180°$ まで拡張するために、座標平面を利用します。

つまり、座標平面を用いることで、$$高さ → y 座標$$$$底辺 → x 座標$$として見ることが出来ます。

すると、図の点の座標を $(\sin θ、\cos θ)$ と表せるわけですね!

では $θ$ が鈍角の場合の sin cos の値はどうなるのでしょうか。

↓↓↓

$y$ 座標は常にプラスなので、$0≦\sin θ≦1$ ですが、$x$ 座標はマイナスになり得るので、$-1≦\cos θ≦1$ となりますね!

ここで、三角比の値として初めて負の数が登場しました!

※今まで扱ってきた三角比は $0°<θ<90°$ でしたが、この拡張によって $0°≦θ≦180°$ に広がりました。ここまでくれば、 $\sin 0°=0$ や $\cos 90°=0$ である理由が、拡張によるものだったと理解できますね。

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単位円で $360°$ まで拡張

さて、数学Ⅰでは $180°$ までの拡張で十分ですが、せっかくなので $360°$ までやっちゃいましょう(笑)。

しかし、拡張の仕方は $90°$ → $180°$ に拡張した際と全く同じです!

よって、以下の図のようになります。

↓↓↓

ここまでくるとついに、$-1≦\sin θ≦1$ となり、「 $\sin θ$ 」としても負の数が登場してきました。

しかし、定義自体は$$y 座標 = \sin θ$$$$x 座標 = \cos θ$$なので、何も変わっていませんね。

さて、今 $0°$ ~ $360°$ まであらゆる角度について三角比を定義することが出来ました。

ここで、例えば $390°$ や $-60°$ などについても考えてみましょうか。

角度の定義は「一回転 $= 360°$ 」でした。

それに加えて、反時計回りに回転させていることを考慮し、定義を「反時計回りに一回転 $= 360°$ 」としましょう。

すると、$$390°=360°+30°$$なので、「一回転して $30°$ だけずれる」と考えることが出来ます。

したがって、$$\sin 390°=\sin 30°$$と定義してもおかしくないと言えますね!

このように、$360°$ (一回転)まで定義してしまえば、あとは「何回転するか」や「反時計回り(+)か時計回り(-)か」のみ考えればいいので、実質的に $0°$ ~ $360°$ 以外のどんな角度に対しても三角比が定義できたことになります。

ではなぜこの事実が必要であるか…

それは、数学Ⅱでは「三角比を $θ$ の関数として扱う」ので、$θ$ に制限があるままだと困るからです!

$θ$ は、今まで扱ってきた $2$ 次関数などでいう $x$ の代わりのようなものなので、実数全体で定義できた方が圧倒的に応用が利きます。

ではちょっとだけ練習してみましょう。

例えば、$\sin 225°$ を求めるには、$$\sin 225°=\sin (180°+45°)$$であることを考えればOKです。

つまり、反時計回りに半回転したのち、$45°$ だけずらした点の $y$ 座標を求めればいいので、$$\sin 225°=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$となります。

ここでも $0°$ ~ $90°$ の三角比の値が基本となっていますね!

今までの話をまとめると、これから三角比を求める際は、頭の中で単位円を描き、どこの点の座標を聞かれているかをハッキリさせ、$30°$ 、$45°$ 、$60°$ の三角比の値をもとに考えればよい、ということになります。

ぜひたくさん訓練して、最長でも $3$ 秒ぐらいで求めることが出来るようになりましょう♪

tan について

さて、ここまでくれば、あなたはもう立派な三角比マスター、いや単位円マスターです。

残りの tan についても、$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}$ を用いれば求めることができるので問題ないです。

しかし!

やはり tan についても、スピードを重視して求めていきたい!

ということで、今まで飛ばしてきた tan を素早く求める方法をご紹介します♪

といっても、やることはそんなに変わりません。

ただ、tan の定義を振り返ると、「底辺が $1$ である直角三角形における高さ」でした。

つまり、斜辺が $1$ ではないので、少しだけ工夫が必要だということです。

↓↓↓

いかがでしょうか。

ここで注目してほしいのが、$$△OAP∽△OBQ$$が成り立つことです。

よって、

\begin{align}\tan θ&=\frac{\sin θ}{\cos θ}\\&=\frac{Pのy座標}{Pのx座標}\\&=\frac{Qのy座標}{Qのx座標}\\&=Qのy座標\end{align}
となります。

したがって、tan を求めるときは、線分OPを右方向に伸ばした半直線と $x=1$ の交点の $y$ 座標を求めればよい、となります。

「底辺を $1$ にしたい」という発想から、このような工夫が生まれるわけですね!

ここでも基本は $\tan 30°$、$\tan 45°$、$\tan 60°$ になりますので、やはりこの $3$ つは押さえておきましょう♪

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三角比の表で遊ぼう!

さて、ここまでで特別な角度に対する三角比の覚え方はマスターしました!

ためしにちょっとだけ練習です。

【問題】

(1) $\sin 60°$

(2) $\cos 115°$

(3) $\tan 330°$

(4) $\sin 270°$

答えです。

↓↓↓

【解答】

(1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ または $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$

(4) $-1$

ぜひたくさん練習してくださいね^^

では最後に、この章で

  • 三角比の表と電卓を用いた遊び
  • 身近な例【道路標識】

この $2$ つを見て終わりにしたいと思います。

三角比の相互関係

いきなりですが、図をご覧ください。

↓↓↓

この図は、sin cos の定義に使われる直角三角形ですね。

直角三角形において三平方の定理(ピタゴラスの定理)が成り立つことから$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1$$が導けますね。

また、この式の両辺を $\cos^2 θ$ で割ると、$$1+\tan^2 θ=\frac{1}{\cos^2 θ}$$という式が導けます。

冒頭に紹介した $\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}$ と合わせて、これらの式を三角比の相互関係と呼びます。

今回は、$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1 ……①$$ を使って遊んでみましょう。

ここで、もう一度三角比の表を載せておきます。

↓↓↓


※出典「三角関数表」より

ではためしに、$27°$ の欄を見て、①の式に代入してみましょうか。

この計算は大変なので、電卓を用いることにします。

すると、

\begin{align}(左辺)&=(0.4540)^2+(0.8910)^2\\&=0.206116+0.793881\\&=0.999997\end{align}
となりました。

三角比の値というのは、大体が無理数なので、この表は近似値を示しています。

よって、多少の誤差はありますが、見事に右辺の $1$ に限りなく近づきました。

これ、なんか感動しませんか!?

「ちょっとでも面白い」と感じた方は、ぜひ電卓をカタカタ鳴らして、「本当に $=1$ となるのか」いろんな角度でチェックしてみて下さい♪

①の式の美しさを感じていただければ幸いです。

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三角比の応用【傾斜角の問題】

もう一つ、身近な例をお話しましょう。

↓↓↓

※出典「上り急勾配あり」より

この標識、見覚えありませんか?

そう、「坂道での道路標識」です!

見たところ坂の傾斜を表しているように思えます。

しかし、角度が $10°$ かと思いきや、$10%$ って書かれているんですよね…。

実はこの標識は、「水平方向に $100(m)$ 進んだ時、垂直方向に $10(m)$ 上がる」というように、進んだ距離に対する登った距離の割合を示しています。

では、角度はいったい何度ぐらいなのでしょうか。

それを三角比を用いて計算してみましょう^^

底辺が $100(m)$ に対して、高さが $10(m)$ ということは

\begin{align}\tan θ&=\frac{10}{100}\\&=\frac{1}{10}\end{align}
を表しています。

ここで、$\tan θ=0.1$ となる $θ$ を、表から探してみると、$$\tan 6°=0.1051$$ですね。

よって、角度で表現すれば大体 $6°$ ということになります。

こうしてみると、普段何気なく目にしている道路標識でさえ、意外と知られていないことってあるんですね。

三角比の表に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日一番お伝えしたかったことは「自然な拡張の仕方」です。

「斜辺が $1$ の直角三角形における底辺と高さ」という定義から「単位円周上の点の座標」に拡張することで、すべての角度について議論ができるようになりました。

定義を拡張するというのは、数学的議論を行う上で最も重要なものの一つですので、しっかり押さえておきましょう。

三角比に関する記事はこちらから!

⇒⇒⇒「図形と計量」一覧

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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