確率漸化式の解き方とは？【東大の問題など３選をわかりやすく解説します】

2019年11月9日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、数学Ｂ「数列」の内容が含まれているため、数ⅠＡのセンター試験には出てこない「確率漸化式」。

しかし、東大などの難関大では、文系理系問わずふつうに出題されます。

[ふきだし set=”悩む男性”]確率漸化式の基本的な解き方を、わかりやすく解説してほしいな。[/ふきだし]

[ふきだし set=”悩む女性”]東大など、難関大の入試問題にも対応できる力を身に付けたいな。[/ふきだし]

こういった悩みを抱えている方は多いでしょう。

よって本記事では、確率漸化式の解き方の基本から、東大の入試問題を含む確率漸化式の問題 $3$ 選まで

東北大学理学部数学科卒業
教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ
（専門は確率論でした。）

の僕がわかりやすく解説します。

確率漸化式の解き方とは？【「状態遷移図」を書いて立式しよう】

確率漸化式の問題における解き方の基本。それは…

状態遷移図（じょうたいせんいず）を書いて立式すること。

これに尽きます。

[ふきだし set=”ウチダ”]状態推移図とか、確率推移図とか、いろんな呼び名があります。例題を通してわかりやすく解説していくので、安心して続きをどうぞ！[/ふきだし]

例題「箱から玉を取り出す確率漸化式」

問題.　箱の中に $1$ ～ $5$ までの数字が書かれた $5$ 個の玉が入っている。この中から $1$ 個の玉を取り出し、数字を確認して箱に戻す試行を $n$ 回繰り返す。得られる $n$ 個の数字の和が偶数である確率を $p_n$ とするとき、$p_n$ を求めなさい。

たとえばこういう問題。

$\displaystyle p_1=\frac{2}{5}$ ぐらいであればすぐにわかりますが、$p_2$ 以降が難しいですね。

[ふきだし set=”考える男性”]パッと見だけど、$n$ 個目までの和が偶数か奇数かによって、$n+1$ のときの確率 $p_{n+1}$ は変わってくるよね。[/ふきだし]

この発想ができたあなたは、非常に鋭い！

ようは、$p_n$ と $p_{n+1}$ の関係を明らかにすればよくて、そのために「状態遷移図」を上手く使う必要がある、ということです。

よって状態遷移図より、

\begin{align}p_{n+1}&=p_n×\frac{2}{5}+(1-p_n)×\frac{3}{5}\\&=-\frac{1}{5}p_n+\frac{3}{5}\end{align}

というふうに、$p_{n+1}$ と $p_{n}$ の関係から漸化式を作ることができました。

あとは漸化式の解き方に従って、

特性方程式を解くと $\displaystyle α=\frac{1}{2}$
数列 $\displaystyle \{p_n-\frac{1}{2}\}$ は初項 $\displaystyle -\frac{1}{10}$，公比 $\displaystyle -\frac{1}{5}$ の等比数列となる

以上より、$$p_n=\frac{1}{2}\{1+(-\frac{1}{5})^n\}$$

と求めることができます。

[ふきだし set=”ウチダ”]確率漸化式ならではのポイントは「状態遷移図を上手く使って立式する」ところにあります。漸化式の解き方そのものについては「漸化式～（後日書きます）」の記事をご参照ください。[/ふきだし]

確率漸化式の応用問題２選

確率漸化式の解き方のポイントは掴めましたか？

先ほどの問題は、確率漸化式の中では最も基本的だと言ってよいでしょう。

よってここからは、立式の難易度をレベルアップさせた応用問題 $2$ つについて考えていきます。

具体的には

数直線上を移動する確率漸化式
東大入試問題（2012年）

の $2$ 問を解説していきますよ！

数直線上を移動する確率漸化式

問題.　数直線上を原点 $O$ から正の向きにサイコロを投げて進む。$4$ 以下の目が出れば $1$ 進み、$5$ 以上の目が出れば $2$ 進む。ちょうど点 $n$ に到達する確率を $p_n$ とするとき、$p_n$ （ $n≧3$ ）を求めなさい。

さっきの問題と何が違うのか、よ～く考えてみて下さい＾＾

↓↓↓

【解答】

$n-2$，$n-1$，$n$ の関係を、状態遷移図を使って明らかにしていく。

よって状態遷移図より、$n≧3$ のときの確率漸化式は

\begin{align}p_n&=p_{n-1}×\frac{2}{3}+p_{n-2}×\frac{1}{3}\\&=\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{3}p_{n-2}\end{align}

となる。

あとは漸化式の解き方に従って、

特性方程式 $\displaystyle α^2=\frac{2}{3}α+\frac{1}{3}$ を解くと $\displaystyle α=-\frac{1}{3} \ , \ 1$
数列 $\{p_{n+1}-p_n\}$ と数列 $\displaystyle \{p_{n+1}+\frac{1}{3}p_n\}$ の一般項をそれぞれ求めてあげる

以上より、$$p_n=\frac{3}{4}\{1-(-\frac{1}{3})^{n+1}\} \ (n≧3)$$

と求めることができる。

※$n=1$，$n=2$ を代入しても $\displaystyle p_1=\frac{2}{3} \ , \ p_2=\frac{7}{9}$ と正しい答えが求まります。

(解答終了)

この問題のポイントは、「点 $n-2$ から点 $n-1$ を経由せず直接点 $n$ に到達する場合がある」ところですね。

それさえ気づいてしまえば、あとは隣接三項間の漸化式を解いて終わりです。

東大入試問題【超良問】

問題.　図のように、正三角形を $9$ つの部屋に辺で区切り、部屋 $P$，$Q$ を定める。$1$ つの球が部屋 $P$ を出発し、$1$ 秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球が $n$ 秒後に部屋 $Q$ にある確率を求めよ。

※東京大学2012年理系第２問・文系第３問より出典

さ～て、ラストはお待ちかね。東京大学の超難問入試問題です！

図形の確率漸化式ということもあって、今までとはちょっと違った発想も必要になります。

いきなり解答だと長くなってしまうため、まずは $2$ つヒントを出したいと思いますので、ぜひヒントをもとに解いてみてください♪

↓↓↓

ヒント１「図形の対称性」

以下の図のように、部屋に名前を付けてみます。

ここで、「図形の対称性」を意識して名前を付けることがポイントです！

「 $〇$ と $〇’$ 」に行く確率は同じであることが予想できますよね？

よって、$$Qに行く確率 = Q’に行く確率$$の式が成り立ち、置く文字を節約することができます。

ヒント２「奇数と偶数に着目」

それでは、ちょっと具体的に実験してみましょうか。

まず初めに部屋 $P$ にいることから、$1$ 秒後，$2$ 秒後，…に存在する部屋は次のようになります。

\begin{align}P \quad &→ \quad A,B,B’ \ (1秒後)\\&→ \quad P,Q,Q’ \ (2秒後)\\&→ \quad A,B,B’,C,C’,D \ (3秒後)\\&→ \quad P,Q,Q’ \ (4秒後)\\&→ \quad …\end{align}

こうして見ると、

あれ？偶数秒後でしか、$Q$ に辿り着くことはなくね？

この重要な事実に気づくことができましたね！

よって、球が $n$ 秒後に部屋 $Q$ にある確率を $q_n$ とした場合、

$n$ が奇数　→　$q_n=0$
$n$ が偶数　→　$q_n$ はまだわからない。

ここまで整理できます。

[ふきだし set=”ウチダ”]これにてヒントは終わりです。「図形の対称性」と「奇数偶数」に着目し、ここまで整理できました。あとは”状態遷移図”を上手く使えば、解けるはずです！[/ふきだし]

解答

【解答】

球が $n$ 秒後に $P$ にある確率を $p_n$，$Q$ または $Q’$ にある確率を $q_n$ とする。

このとき、$2k$ 秒後から $2k+2$ 秒後までの状態遷移図を考えよう（ $k$ は $0$ 以上の整数）。

以上より、

\begin{align}q_{2k+2}&=p_{2k}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+q_{2k}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+q_{2k}×\frac{2}{3}\\&=\frac{1}{3}p_{2k}+\frac{5}{6}q_{2k}　…①\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

と式が立てられた。

ここで、$p_{2k}=a_{k} \ , \ q_{2k}=b_{k}$ とおくと、偶数秒後では部屋 $P$，$Q$，$Q’$ いずれかに必ず存在するため、$a_k+b_k=1$ が常に成り立つ。

よってこれらを①の式に代入すると、

\begin{align}b_{k+1}&=\frac{1}{3}(1-b_k)+\frac{5}{6}b_k\\&=\frac{1}{2}b_k+\frac{1}{3}\end{align}

あとは漸化式の解き方に従って、

特性方程式を解くと $\displaystyle α=\frac{2}{3}$
数列 $\displaystyle \{b_k-\frac{2}{3}\}$ は初項 $\displaystyle b_1-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$，公比 $\displaystyle \frac{1}{2}$ の等比数列となる

以上より、$$b_k=\frac{2}{3}\{1-(\frac{1}{2})^k\}$$

したがって、図形の対称性より、$2k$ 秒後に球が $Q$ にある確率 $Q_{2k}$ は

$$Q_{2k}=\frac{1}{2}q_{2k}=\frac{1}{2}b_k=\frac{1}{3}\{1-(\frac{1}{2})^k\}$$

まとめると、$$Q_n=\left\{\begin{array}{ll}0 \ &( n が奇数のとき)\\\frac{1}{3}\{1-(\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}\} \ &( n が偶数のとき)\end{array}\right.$$

(解答終了)

ここまでお疲れさまでした～。