【倍数判定法まとめ】3の倍数・4の倍数・7の倍数などの見分け方とは？

2019年3月25日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは整数を見た瞬間に「あっこれは $3$ の倍数だ」とか「あっこれは $4$ の倍数だ」とか判断できますか？

例題.　次の数が $3$ の倍数であるか、$4$ の倍数であるか瞬時に判断せよ。
(1)　$123456789$
(2)　$950000000000$

(1)が $3$ の倍数で、(2)が $4$ の倍数です。

このように、倍数を素早く判定する方法のことを「倍数判定法」と呼び、数学において非常に役に立ちます。

[ふきだし set=”悩む男性”]一瞬で判断できればどんなに便利なことか…。倍数判定法を早くマスターしたいなぁ。[/ふきだし]

[ふきだし set=”悩む女性”]$7$ の倍数判定法や $11$ の倍数判定法など、面白い倍数判定法も知りたいです！[/ふきだし]

よって本記事では、$2$ ～ $13$ までの倍数判定法をグループごとにまとめた上で、それらの証明や覚え方について

東北大学理学部数学科卒業
実用数学技能検定１級保持
高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

倍数判定法の一覧とその証明とは【わかりやすくまとめました】

さて、早速ですが表にしてまとめましたのでご覧ください。

～の倍数	見分け方（判定法）	情報の価値（★ $1$ ～★ $5$ でランク付け）
$2$ の倍数	一の位が偶数	★ $1$
$3$ の倍数	各桁の和が $3$ の倍数	★ $5$
$4$ の倍数	下 $2$ 桁が $4$ の倍数	★ $4$
$5$ の倍数	一の位が $0$ または $5$	★ $1$
$6$ の倍数	$2$ の倍数かつ $3$ の倍数	★ $2$
$7$ の倍数	詳しくは後述	/
$8$ の倍数	下 $3$ 桁が $8$ の倍数	★ $3$
$9$ の倍数	各桁の和が $9$ の倍数	★ $4$
$10$ の倍数	一の位が $0$	★ $1$
$11$ の倍数	各桁を交互に足し引きした値が $11$ の倍数	★ $3$
$12$ の倍数	$3$ の倍数かつ $4$ の倍数	★ $2$
$13$ の倍数	詳しくは後述	/

※情報の価値は、「重要度・難易度・使う頻度」など様々な要素を考慮した上でランク付けをしました。

いかがでしょう。

黄色でマーカーを付けた部分が、皆さんの知りたい情報ではないでしょうか。

さて、ここからは

第１章　…　$2$ の倍数，$5$ の倍数，$10$ の倍数
第２章　…　$4$ の倍数，$8$ の倍数
第３章　…　$3$ の倍数，$9$ の倍数【最重要】
第４章　…　$6$ の倍数，$12$ の倍数
第５章　…　$11$ の倍数【便利】
第６章　…　$7$ の倍数，$13$ の倍数

の計 $6$ グループに分けて、順に解説していきたいと思います。

※「第 $〇$ 章」の部分がリンクになっており、クリックするとその詳しい解説へジャンプします。

[ふきだし set=”ウチダ”]ぜひお好きな所から読んでみてください＾＾[/ふきだし]

2の倍数・5の倍数・10の倍数の見分け方

$2$ の倍数（つまり偶数）を小さい順に並べてみると…

$$2 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ 10 \ , \ 12 \ , \ 14 \ , \ 16 \ , \ …$$

と一の位が永遠とループしていくのがわかるかと思います。

$5$ の倍数についても同様に考えると…

$$5 \ , \ 10 \ , \ 15 \ , \ 20 \ , \ 25 \ , …$$

$10$ の倍数についても同様に考えると…

$$10 \ , \ 20 \ , \ 30 \ , \ 40 \ , \ 50 \ , …$$

つまり、これらの倍数に対しては「一の位だけ見ればOK」ということになりますね！

4の倍数・8の倍数の見分け方

いきなりですが式を $2$ つご覧ください。

$$100=4×25$$

$$1000=8×125$$

この $2$ つの式からわかることはいったいなんでしょうか。

少し考えてみてから続きをどうぞ。

↓↓↓（正解発表）

$100$ の倍数であれば $4$ の倍数でもある
$1000$ の倍数であれば $8$ の倍数でもある

つまり、「$4$ の倍数であれば十の位まで見ればよくて、$8$ の倍数であれば百の位まで見ればOK」だということになります。

ちょっと練習してみましょう。

問題１.　次の問いに答えなさい。
(1)　$5712947548$ は $4$ の倍数？
(2)　$4593095256$ は $8$ の倍数？

問題１の解答例

(1)　

\begin{align}5712947548&=5712947500+48\\&=57129475×100+48\end{align}

であるから、$48$ だけに注目すればよい。

よって $48=4×12$ より、$5712947548$ は $4$ の倍数である。

(2)　

\begin{align}4593095256&=4593095000+256\\&=4593095×1000+256\end{align}

であるから、$256$ だけに注目すればよい。

よって $256=8×32$ より、$4593095256$ は $8$ の倍数である。

(解答終了)

そろそろ倍数判定法の本質が見えてきたのではないでしょうか？

倍数判定法のポイントを一言で表すならば…

考えなくていいことを、考えない。

これに尽きると思います。

[ふきだし set=”考える男性”]$4$ の倍数判定法はこれで理解できたよ！次は $3$ の倍数判定法かな？[/ふきだし]

[ふきだし set=”ウチダ”]いよいよ来ましたね。$3$ の倍数判定法の証明までマスターできるかどうかで数学力そのものが変わってきます。次は要チェックですよ！[/ふきだし]

3の倍数・9の倍数の見分け方【最重要】

めっちゃくちゃ重要な $3$ の倍数及び $9$ の倍数の判定法。

ここでは $4$ 桁の自然数 $N$ を例にとって証明していきます。

３の倍数判定法の証明

$4$ 桁の自然数 $N$ は、$0≦a \ , \ b \ , \ c \ , \ d \ ≦9$ を満たす自然数 $a$，$b$，$c$，$d$ を用いて、$$N=1000a+100b+10c+d　…①$$

と表すことができる。

ここで、

\begin{align}1000=3×333+1 \ , \ 100=3×33+1 \ , \ 10=3×3+1\end{align}

※以降途切れている数式は横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

とできることを利用すると、①の式を

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=3×(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)\end{align}

と式変形することができる。

$333a+33b+3c$ は自然数より、$3×(333a+33b+3c)$ は $3$ の倍数となるから、残りの $a+b+c+d$ がどういう値をとるかで決まる。

したがって、$a+b+c+d$、つまり各桁の和が $3$ の倍数であるとき、$N$ も $3$ の倍数となる。

(証明終了)

いかがでしょう。

この証明のポイントは

自然数 $N$ を $N=1000a+100b+10c+d$ と数式の形で表す。
$3$ でくくれる部分は $3$ の倍数となるので、抜き出して考える。

ですね！

[ふきだし set=”考える女性”]$3$ の倍数判定法は覚えていたけど、なぜそうなるかまではしっかり理解していなかったわ！じゃあ $9$ の倍数判定法は…同じ風にして導くことができそうね！[/ふきだし]

[ふきだし set=”ウチダ”]その通り！$9$ の倍数判定法も $3$ の倍数判定法とほぼ同じやり方で証明することができますよ～。[/ふきだし]

↓↓↓（正解発表）

$9$ の倍数判定法の証明であれば、

\begin{align}1000=9×111+1 \ , \ 100=9×11+1 \ , \ 10=9×1+1\end{align}

とできることを利用し、

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{align}

と式変形すればOKですね＾＾

6の倍数・12の倍数の見分け方

$6$ の倍数や $12$ の倍数は

$6$ の倍数　→　$2$ の倍数かつ $3$ の倍数
$12$ の倍数　→　$3$ の倍数かつ $4$ の倍数

とも言い換えられるので、今までの知識の複合で解けます。

[ふきだし set=”ウチダ”]この図は「ベン図」と言い、複数の集合の関係を図で表したものです。詳しくは「ベン図・共通部分とは～（準備中）」の記事で解説してますので、ここではあまり深く考えなくてもOKです。[/ふきだし]

それでは、またまた練習してみましょう。

問題２.　次の問いに答えなさい。
(1)　$582$ は $6$ の倍数？
(2)　$6390$ は $12$ の倍数？

問題２の解答例

(1)　$582$ は一の位が偶数なので $2$ の倍数である。

また、各桁の和 $5+8+2=15$ は $3$ の倍数となるので、$582$ も $3$ の倍数である。

したがって、$582$ は $6$ の倍数である。

(2)　各桁の和 $6+3+9+0=18$ は $3$ の倍数となるので、$6390$ も $3$ の倍数である。

しかし、$90=4×22+2$ より、$6390$ は $4$ の倍数ではない。

したがって、$6390$ は $12$ の倍数ではない。

(解答終了)

この考え方を応用すれば、$15$ の倍数とか $18$ の倍数とかも

$15$ の倍数　→　$3$ の倍数かつ $5$ の倍数
$18$ の倍数　→　$2$ の倍数かつ $9$ の倍数

と書き換えて考えることができますね。

11の倍数の見分け方【便利】

$11$ の倍数判定法の発想は、$3$ の倍数・$9$ の倍数判定法とよく似ています。

というのも、

\begin{align}9999=11×909 \ , \ 1001=11×91 \ , \ 99=11×9　…②\end{align}

が成り立つことを利用するからです。

11の倍数判定法の証明

今回は、$5$ 桁の自然数 $N$ で考える。

このとき、$0≦a \ , \ b \ , \ c \ , \ d \ , \ e \ ≦9$ を満たす自然数 $a$，$b$，$c$，$d$，$e$ を用いて、$$N=10000a+1000b+100c+10d+e…③$$

と表すことができる。

ためしに、

\begin{align}N&=10000a+1000b+100c+10d+e\\&=(9999a+a)+(1001b-b)+(99c+c)+(11d-d)+e\\&=(9999a+1001b+99c+11d)+(a-b+c-d+e)\end{align}

と、③を式変形する。

ここで②の式より、

\begin{align}& \quad (9999a+1001b+99c+11d)+(a+b+c+d+e)\\&=11(909a+91b+9c+d)+(a-b+c-d+e)\end{align}

したがって、$11(909a+91b+9c+d)$ は $11$ の倍数となるから、各桁を交互に足し引きした値 $(a-b+c-d+e)$ によってすべてが決まる。

(証明終了)

$11$ の倍数の性質として面白いのが

$10^n±1$ で交互に登場する

ココですね。

[ふきだし set=”ウチダ”]これは知らないと中々気づけませんよね。学校ではここまでしっかりと教わることは難しいので、ぜひ僕のサイト等で知識を蓄えていただきたいと思います＾＾[/ふきだし]

では、例題をいくつか解いてみましょう。

問題３.　次の数が $11$ の倍数であるか判定しなさい。
(1)　$407$
(2)　$1729$
(3)　$2838$
(4)　$1001100110011001$

問題３の解答例

補足として、答えが $0$ もしくは $-11$，$-22$ などの数になっても、これらは

\begin{align}0=11×0 \ , \ -11=11×(-1) \ , \ -22=11×(-2)\end{align}

というふうに、「 $11 × \ 整数$ 」の形で表すことができるため、問題なく倍数判定法が使えます。

7の倍数・13の倍数の見分け方（おまけ）

$7$ の倍数判定法と $13$ の倍数判定法は、作るのが結構めんどくさいです。

桁が大きい場合　…　以下の二つの式
\begin{align}1001=7×11×13 \ , \ 999999=3^3×7×11×13×37　…④\end{align}

を利用して、$3$ 桁ずつに区切って考える。
桁が小さい場合　…　「一の位とそれ以外」に分けて考える。

押さえておきたい方針は以上 $2$ つです。

順に解説します。

桁が大きい場合

たとえば $N$ が $9$ 桁の自然数だとする。

このとき、$3$ 桁の自然数 $A$，$B$，$C$ を用いて、$$N=1000000A+1000B+C$$というふうに、$3$ 桁ずつに区切って表すことができる。

よって④の式を利用して式変形すると、

\begin{align}N&=1000000A+1000B+C\\&=(999999A+A)+(1001B-B)+C\\&=(999999A+1001B)+(A-B+C)\\&=7×13×(10989A+11B)+(A-B+C)\end{align}

となり、前半部分は $7$ の倍数かつ $13$ の倍数なので、結局 $A-B+C$ がどうかですべてが決まることがわかる。

(導出終了)

つまり、$3$ 桁ずつに区切った上で、$11$ の倍数判定法と同じように交互に足し引きしたもので判断すればOKということになります。

桁が小さい場合

たとえば $N=1000a+100b+10c+d$ （つまり $4$ 桁の自然数）であるとする。

このとき、一の位を除いた数にというのは、$100a+10b+c$ で表される。

ここで、

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=10×(100a+10b+c-2d)+21d\end{align}

と式変形すると、$21d$ は $7$ の倍数であり、$7$ と $10$ は互いに素であるため、

$$100a+10b+c-2d$$

つまり、（一の位を除いた数）$-$（一の位を $2$ 倍した数）が $7$ の倍数かどうかで決まる。

このように考えれば、

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=10×(100a+10b+c+5d)-49d\end{align}

として、（一の位を除いた数）$+$（一の位を $5$ 倍した数）が $7$ の倍数かどうかで判断してもいいし、$13$ の倍数の判定は

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=10×(100a+10b+c+4d)-39d\end{align}

として、（一の位を除いた数）$+$（一の位を $4$ 倍した数）がどうかで判断してもいい。

(導出終了)

ここからわかることは、倍数判定法は自分でいくらでも作り出すことができる、ということです。

また練習してみましょう。

問題４.　次の問いに答えなさい。
(1)　$174499941$ は $7$ の倍数？
(2)　$833$ は $7$ の倍数？
(3)　$9685$ は $13$ の倍数？

問題４の解答例

(1)　$3$ 桁ずつに区切って交互に足すと、$174-499+941=616=7×88$ なので、これは $7$ の倍数である。

(2)　一の位を除いた数から一の位の $2$ 倍を引くと、$83-3×2=77=7×11$ なので、これは $7$ の倍数である。

(3)　一の位を除いた数に一の位の $4$ 倍を足すと、$968+5×4=988=13×76$ なので、これは $13$ の倍数である。

(解答終了)

[ふきだし set=”悩む男性”]う～ん。理屈はわかったけど、それでもめんどくさいことに変わりはないね。[/ふきだし]

[ふきだし set=”ウチダ”]そうなんです。$7$ の倍数と $13$ の倍数は判定法を作っても、計算がすごく楽になるわけではないです。よって、あくまで雑学として押さえる程度に留めておいてくださいね＾＾[/ふきだし]

倍数判定法に関するまとめ

本記事のポイントを改めてまとめます。

考えなくていいことを、考えない（整数問題の基本です）。
$3$ の倍数，$4$ の倍数の判定法は必ず押さえる！
- これらを理解できれば、$6$ の倍数，$8$ の倍数，$9$ の倍数の判定法は自ずとわかる。
$11$ の倍数判定法は便利。$7$ と $13$ の倍数判定法は覚えなくてよし！（素直に割った方が速いですね。）

倍数判定法は作れる！

ぜひこの言葉をキャッチフレーズとして覚えてほしいと思います。

「整数の性質」全 25 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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コメント一覧（1件）

うより:

2022年11月23日 5:15 PM

nも

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【倍数判定法まとめ】3の倍数・4の倍数・7の倍数などの見分け方とは？

倍数判定法の一覧とその証明とは【わかりやすくまとめました】

2の倍数・5の倍数・10の倍数の見分け方

4の倍数・8の倍数の見分け方

3の倍数・9の倍数の見分け方【最重要】

6の倍数・12の倍数の見分け方

11の倍数の見分け方【便利】

7の倍数・13の倍数の見分け方（おまけ）

倍数判定法に関するまとめ

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