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【倍数判定法まとめ】3の倍数・4の倍数・7の倍数などの見分け方とは?

2019 12/14
【倍数判定法まとめ】3の倍数・4の倍数・7の倍数などの見分け方とは?

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは整数を見た瞬間に「あっこれは $3$ の倍数だ」とか「あっこれは $4$ の倍数だ」とか判断できますか?

例題. 次の数が $3$ の倍数であるか、$4$ の倍数であるか瞬時に判断せよ。
(1) $123456789$
(2) $950000000000$

(1)が $3$ の倍数で、(2)が $4$ の倍数です。

このように、倍数を素早く判定する方法のことを「倍数判定法」と呼び、数学において非常に役に立ちます。

悩む男性のアイコン画像悩む男性
一瞬で判断できればどんなに便利なことか…。倍数判定法を早くマスターしたいなぁ。
悩む女性のアイコン画像悩む女性
$7$ の倍数判定法や $11$ の倍数判定法など、面白い倍数判定法も知りたいです!

よって本記事では、$2$ ~ $13$ までの倍数判定法をグループごとにまとめた上で、それらの証明や覚え方について

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

倍数判定法の一覧とその証明とは【わかりやすくまとめました】

さて、早速ですが表にしてまとめましたのでご覧ください。

~の倍数見分け方
(判定法)
情報の価値
(★ $1$ ~★ $5$ で
ランク付け)
$2$ の倍数一の位が偶数★ $1$
$3$ の倍数各桁の和が $3$ の倍数★ $5$
$4$ の倍数下 $2$ 桁が $4$ の倍数

★ $4$ 

$5$ の倍数一の位が $0$ または $5$

★ $1$

$6$ の倍数$2$ の倍数かつ $3$ の倍数

★ $2$

$7$ の倍数詳しくは後述/
$8$ の倍数下 $3$ 桁が $8$ の倍数★ $3$
$9$ の倍数各桁の和が $9$ の倍数

★ $4$

$10$ の倍数一の位が $0$★ $1$
$11$ の倍数各桁を交互に足し引き
した値が $11$ の倍数

★ $3$

$12$ の倍数$3$ の倍数かつ $4$ の倍数★ $2$
$13$ の倍数詳しくは後述/

※情報の価値は、「重要度・難易度・使う頻度」など様々な要素を考慮した上でランク付けをしました。

いかがでしょう。

黄色でマーカーを付けた部分が、皆さんの知りたい情報ではないでしょうか。

さて、ここからは

  • 第1章 … $2$ の倍数,$5$ の倍数,$10$ の倍数
  • 第2章 … $4$ の倍数,$8$ の倍数
  • 第3章 … $3$ の倍数,$9$ の倍数【最重要】
  • 第4章 … $6$ の倍数,$12$ の倍数
  • 第5章 … $11$ の倍数【便利】
  • 第6章 … $7$ の倍数,$13$ の倍数

の計 $6$ グループに分けて、順に解説していきたいと思います。

※「第 $〇$ 章」の部分がリンクになっており、クリックするとその詳しい解説へジャンプします。

ウチダのアイコン画像ウチダ
ぜひお好きな所から読んでみてください^^

2の倍数・5の倍数・10の倍数の見分け方

$2$ の倍数(つまり偶数)を小さい順に並べてみると…

$$2 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ 10 \ , \ 12 \ , \ 14 \ , \ 16 \ , \ …$$

と一の位が永遠とループしていくのがわかるかと思います。

$5$ の倍数についても同様に考えると…

$$5 \ , \ 10 \ , \ 15 \ , \ 20 \ , \ 25 \ , …$$

$10$ の倍数についても同様に考えると…

$$10 \ , \ 20 \ , \ 30 \ , \ 40 \ , \ 50 \ , …$$

つまり、これらの倍数に対しては「一の位だけ見ればOK」ということになりますね!

4の倍数・8の倍数の見分け方

いきなりですが式を $2$ つご覧ください。

$$100=4×25$$

$$1000=8×125$$

この $2$ つの式からわかることはいったいなんでしょうか。

少し考えてみてから続きをどうぞ。

↓↓↓(正解発表)

  • $100$ の倍数であれば $4$ の倍数でもある
  • $1000$ の倍数であれば $8$ の倍数でもある

つまり、「$4$ の倍数であれば十の位まで見ればよくて、$8$ の倍数であれば百の位まで見ればOK」だということになります。

ちょっと練習してみましょう。

問題. 次の問いに答えなさい。
(1) $5712947548$ は $4$ の倍数?
(2) $4593095256$ は $8$ の倍数?

【解答】

(1) 

\begin{align}5712947548&=5712947500+48\\&=57129475×100+48\end{align}

であるから、$48$ だけに注目すればよい。

よって $48=4×12$ より、$5712947548$ は $4$ の倍数である。

(2) 

\begin{align}4593095256&=4593095000+256\\&=4593095×1000+256\end{align}

であるから、$256$ だけに注目すればよい。

よって $256=8×32$ より、$4593095256$ は $8$ の倍数である。

(解答終了)

そろそろ倍数判定法の本質が見えてきたのではないでしょうか?

倍数判定法のポイントを一言で表すならば…

考えなくていいことを、考えない。

これに尽きると思います。

考える男性のアイコン画像考える男性
$4$ の倍数判定法はこれで理解できたよ!次は $3$ の倍数判定法かな?
ウチダのアイコン画像ウチダ
いよいよ来ましたね。$3$ の倍数判定法の証明までマスターできるかどうかで数学力そのものが変わってきます。次は要チェックですよ!

3の倍数・9の倍数の見分け方【最重要】

めっちゃくちゃ重要な $3$ の倍数及び $9$ の倍数の判定法。

ここでは $4$ 桁の自然数 $N$ を例にとって証明していきます。

【証明】

$4$ 桁の自然数 $N$ は、$0≦a \ , \ b \ , \ c \ , \ d \ ≦9$ を満たす自然数 $a$,$b$,$c$,$d$ を用いて、$$N=1000a+100b+10c+d …①$$

と表すことができる。

ここで、

\begin{align}1000=3×333+1 \ , \ 100=3×33+1 \ , \ 10=3×3+1\end{align}

※以降途切れている数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

とできることを利用すると、①の式を

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=3×(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)\end{align}

と式変形することができる。

$333a+33b+3c$ は自然数より、$3×(333a+33b+3c)$ は $3$ の倍数となるから、残りの $a+b+c+d$ がどういう値をとるかで決まる。

したがって、$a+b+c+d$、つまり各桁の和が $3$ の倍数であるとき、$N$ も $3$ の倍数となる。

(証明終了)

いかがでしょう。

この証明のポイントは

  • 自然数 $N$ を $N=1000a+100b+10c+d$ と数式の形で表す。
  • $3$ でくくれる部分は $3$ の倍数となるので、抜き出して考える。

ですね!

考える女性のアイコン画像考える女性
$3$ の倍数判定法は覚えていたけど、なぜそうなるかまではしっかり理解していなかったわ!じゃあ $9$ の倍数判定法は…同じ風にして導くことができそうね!
ウチダのアイコン画像ウチダ
その通り!$9$ の倍数判定法も $3$ の倍数判定法とほぼ同じやり方で証明することができますよ~。

↓↓↓(正解発表)

$9$ の倍数判定法の証明であれば、

\begin{align}1000=9×111+1 \ , \ 100=9×11+1 \ , \ 10=9×1+1\end{align}

とできることを利用し、

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{align}

と式変形すればOKですね^^

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6の倍数・12の倍数の見分け方

$6$ の倍数や $12$ の倍数は

  • $6$ の倍数   → $2$ の倍数かつ $3$ の倍数
  • $12$ の倍数 → $3$ の倍数かつ $4$ の倍数

とも言い換えられるので、今までの知識の複合で解けます。

6の倍数判定法と12の倍数判定法【ベン図を使って考えよう】
ウチダのアイコン画像ウチダ
この図は「ベン図」と言い、複数の集合の関係を図で表したものです。詳しくは「ベン図・共通部分とは~(準備中)」の記事で解説してますので、ここではあまり深く考えなくてもOKです。

それでは、またまた練習してみましょう。

問題. 次の問いに答えなさい。
(1) $582$ は $6$ の倍数?
(2) $6390$ は $12$ の倍数?

【解答】

(1) $582$ は一の位が偶数なので $2$ の倍数である。

また、各桁の和 $5+8+2=15$ は $3$ の倍数となるので、$582$ も $3$ の倍数である。

したがって、$582$ は $6$ の倍数である。

(2) 各桁の和 $6+3+9+0=18$ は $3$ の倍数となるので、$6390$ も $3$ の倍数である。

しかし、$90=4×22+2$ より、$6390$ は $4$ の倍数ではない。

したがって、$6390$ は $12$ の倍数ではない。

(解答終了)

この考え方を応用すれば、$15$ の倍数とか $18$ の倍数とかも

  • $15$ の倍数 → $3$ の倍数かつ $5$ の倍数
  • $18$ の倍数 → $2$ の倍数かつ $9$ の倍数

と書き換えて考えることができますね。

11の倍数の見分け方【便利】

$11$ の倍数判定法の発想は、$3$ の倍数・$9$ の倍数判定法とよく似ています。

というのも、

\begin{align}9999=11×909 \ , \ 1001=11×91 \ , \ 99=11×9 …②\end{align}

が成り立つことを利用するからです。

【証明】

今回は、$5$ 桁の自然数 $N$ で考える。

このとき、$0≦a \ , \ b \ , \ c \ , \ d \ , \ e \ ≦9$ を満たす自然数 $a$,$b$,$c$,$d$,$e$ を用いて、$$N=10000a+1000b+100c+10d+e…③$$

と表すことができる。

ためしに、

\begin{align}N&=10000a+1000b+100c+10d+e\\&=(9999a+a)+(1001b-b)+(99c+c)+(11d-d)+e\\&=(9999a+1001b+99c+11d)+(a-b+c-d+e)\end{align}

と、③を式変形する。

ここで②の式より、

\begin{align}& \quad (9999a+1001b+99c+11d)+(a+b+c+d+e)\\&=11(909a+91b+9c+d)+(a-b+c-d+e)\end{align}

したがって、$11(909a+91b+9c+d)$ は $11$ の倍数となるから、各桁を交互に足し引きした値 $(a-b+c-d+e)$ によってすべてが決まる。

(解答終了)

$11$ の倍数の性質として面白いのが

$10^n±1$ で交互に登場する

ココですね。

ウチダのアイコン画像ウチダ
これは知らないと中々気づけませんよね。学校ではここまでしっかりと教わることは難しいので、ぜひ僕のサイトで知識を蓄えていただきたいと思います^^

では、例題をいくつか解いてみましょう。

問題. 次の数が $11$ の倍数であるか判定しなさい。
(1) $407$
(2) $1729$
(3) $2838$
(4) $1001100110011001$

【解答】

(1) $4-0+7=11$ なので、$407$ は $11$ の倍数である。

(2) $1-7+2-9=-13$ なので、$1729$ は $11$ の倍数ではない。

(3) $2-8+3-8=-11$ なので、$2838$ は $11$ の倍数である。

(4) $1-0+0-1+…=0$( $4$ 回繰り返し)なので、これは $11$ の倍数である。

(解答終了)

補足として、答えが $0$ もしくは $-11$,$-22$ などの数になっても、これらは

\begin{align}0=11×0 \ , \ -11=11×(-1) \ , \ -22=11×(-2)\end{align}

というふうに、「 $11 × \ 整数$ 」の形で表すことができるため、問題なく倍数判定法が使えます。

7の倍数・13の倍数の見分け方(おまけ)

$7$ の倍数判定法と $13$ の倍数判定法は、作るのが結構めんどくさいです。

  1. 桁が大きい場合 … 以下の二つの式
    \begin{align}1001=7×11×13 \ , \ 999999=3^3×7×11×13×37 …④\end{align}


    を利用して、$3$ 桁ずつに区切って考える。
  2. 桁が小さい場合 … 「一の位とそれ以外」に分けて考える。

押さえておきたい方針は以上 $2$ つです。

順に解説します。

【桁が大きい場合】

たとえば $N$ が $9$ 桁の自然数だとする。

このとき、$3$ 桁の自然数 $A$,$B$,$C$ を用いて、$$N=1000000A+1000B+C$$というふうに、$3$ 桁ずつに区切って表すことができる。

7の倍数判定法と13の倍数判定法【3桁ずつに区切ろう】

よって④の式を利用して式変形すると、

\begin{align}N&=1000000A+1000B+C\\&=(999999A+A)+(1001B-B)+C\\&=(999999A+1001B)+(A-B+C)\\&=7×13×(10989A+11B)+(A-B+C)\end{align}

となり、前半部分は $7$ の倍数かつ $13$ の倍数なので、結局 $A-B+C$ がどうかですべてが決まることがわかる。

(導出終了)

つまり、$3$ 桁ずつに区切った上で、$11$ の倍数判定法と同じように交互に足し引きしたもので判断すればOKということになります。

【桁が小さい場合】

たとえば $N=1000a+100b+10c+d$ (つまり $4$ 桁の自然数)であるとする。

このとき、一の位を除いた数にというのは、$100a+10b+c$ で表される。

ここで、

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=10×(100a+10b+c-2d)+21d\end{align}

と式変形すると、$21d$ は $7$ の倍数であり、$7$ と $10$ は互いに素であるため、

$$100a+10b+c-2d$$

つまり、(一の位を除いた数)$-$(一の位を $2$ 倍した数)が $7$ の倍数かどうかで決まる。

このように考えれば、

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=10×(100a+10b+c+5d)-49d\end{align}

として、(一の位を除いた数)$+$(一の位を $5$ 倍した数)が $7$ の倍数かどうかで判断してもいいし、$13$ の倍数の判定は

\begin{align}N&=1000a+100b+10c+d\\&=10×(100a+10b+c+4d)-39d\end{align}

として、(一の位を除いた数)$+$(一の位を $4$ 倍した数)がどうかで判断してもいい。

(導出終了)

ここからわかることは、倍数判定法は自分でいくらでも作り出すことができる、ということです。

また練習してみましょう。

問題. 次の問いに答えなさい。
(1) $174499941$ は $7$ の倍数?
(2) $833$ は $7$ の倍数?
(3) $9685$ は $13$ の倍数?

【解答】

(1) $3$ 桁ずつに区切って交互に足すと、$174-499+941=616=7×88$ なので、これは $7$ の倍数である。

(2) 一の位を除いた数から一の位の $2$ 倍を引くと、$83-3×2=77=7×11$ なので、これは $7$ の倍数である。

(3) 一の位を除いた数に一の位の $4$ 倍を足すと、$968+5×4=988=13×76$ なので、これは $13$ の倍数である。

(解答終了)

悩む男性のアイコン画像悩む男性
う~ん。理屈はわかったけど、それでもめんどくさいことに変わりはないね。
ウチダのアイコン画像ウチダ
そうなんです。$7$ の倍数と $13$ の倍数は判定法を作っても、計算がすごく楽になるわけではないです。よって、あくまで雑学として押さえる程度に留めておいてくださいね^^

倍数判定法に関するまとめ

本記事のポイントを改めてまとめます。

  • 考えなくていいことを、考えない(整数問題の基本です)。
  • $3$ の倍数,$4$ の倍数の判定法は必ず押さえる!
    • これらを理解できれば、$6$ の倍数,$8$ の倍数,$9$ の倍数の判定法は自ずとわかる。
  • $11$ の倍数判定法は便利。$7$ と $13$ の倍数判定法は覚えなくてよし!(素直に割った方が速いですね。)

倍数判定法は作れる!

ぜひこの言葉をキャッチフレーズとして覚えてほしいと思います。

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以上で終わりです。

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