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等比数列の和の公式を応用して複利計算をしてみよう!そもそも金利って何?【アインシュタイン絶賛】

2019 9/22
等比数列の和の公式を応用して複利計算をしてみよう!そもそも金利って何?【アインシュタイン絶賛】

こんにちは、ウチダショウマです。
今日は、かの有名な”アインシュタイン”が「人類最大の発明」とまで称した

「複利」

の威力について、そもそも”金利”ってなに?というところから、等比数列の和の公式を用いて詳しく解説していきます!

まず、等比数列の和の公式について知りたい!!という方は、以下の記事を参考にしてください。↓↓↓

関連記事
等比数列の和の公式の覚え方とは?問題を通してわかりやすく証明!極限についても考察!

目次

そもそも単利と複利ってどう違うの?

まず、金利にも2種類の方法があります。

それが、「単利」と「複利」ってやつです。

これらがどう違うか、まずは押さえておきたいところですね。

  • 単利…元本のみに金利がつく単利法によって計算された利子のこと。
  • 複利…元本に加えて利子にも金利がつく複利法によって計算された利子のこと。

これだけ見てもピンときづらいかと思いますので、具体例を通してみていきましょう。

例題.年利率5%の預金会社に100万円を預けた。1年後、5年後、10年後の元本合計を求めよ。ただし、単利法と複利法の2つの方法で分けて求めること。

今、あなたの手元には100万円があります。(最高ですね(笑)!)

年利率□%というのは、「年間で□%つく利子の計算方法」ということですね。

ですので、単利法でも複利法でも、1年後の元本合計は$$100万+5万=105万$$となります。

しかし、2年後はどうでしょう。

別々に見ていきます。

【単利法の場合】$$105万+5万=110万$$

【複利法の場合】$$105万+5万2500=110万2500$$

…あれ?複利法の方が若干金額が増えましたね!

どういうことでしょうか。定義に戻ってみましょう。

単利法の場合は、「元本(つまり100万円)のみ」に金利がつくので、毎年5万ずつふえていきます。(この5万という利子は絶対に変わりません。)

しかし、複利法の場合、「元本に利子を上乗せした金額(2年目の場合105万)」すべてに金利がつくので、$$105万×0.05=5万2500$$増えました。

こうしてみていくと、$$単利≦複利$$の式が常に成り立つことがわかりますね!

これがまず複利のすごいところです!

…ですが所詮2500円。(2500円あったら牛丼6杯食えますけどね(笑)。)

複利の恐ろしさはここからです。。

次の章で、5年後10年後の場合を見ていきましょう。

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複利のすごいところ1【雪だるま式】

「複利は雪だるま式に増えていく」なんて言葉を聞いたことはありませんか?

2年後までの例に見た通り、前年の利子分も上乗せするわけですから、金利はどんどん増えていくわけですね。

ただ、その増え方が尋常じゃない…

では、5年後まで見ていきましょうか。

【単利法の場合】

\begin{align}100万+5万+5万+5万+5万+5万=125万\end{align}

※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

【複利法の場合】

\begin{align}100万×1.05×1.05×1.05×1.05×1.05≒127万6282\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

…あれ?2万も増えてる!?

ここでポイントです!

(複利計算の公式)
$n$年後の元本合計は、$$100万(1+0.05)^n$$

複利の計算式は意外にも単純で、「利子を上乗せした合計(つまり$1+0.05=1.05倍$したもの)」にさらに利子がつく(つまり、$1+0.05=1.05倍$)されるので、

元本を単純に年利率を加えた数で掛け算していけばOK!

ということになります。

これがまさしく、公比が1.05の「等比数列」になってるわけですね~。
(一応補足しておくと、単利法は公差が5万の「等差数列」になっています。)

(単利計算の公式)
$n$年後の元本合計は、$$100万(1+0.05n)$$

公式だけだとわかりづらいと思いますので、数列を関数表示にしてグラフを用いて説明していきましょう。

  

実際に行った計算結果においても、$n$が小さいとき、あまり変化はありませんでした。

しかし、$n$が大きくなっていくにつれ、両者の差は徐々に開き始めます。

実際に計算してみると、$n=10$のとき(つまり10年後には)、なんと13万円もの差ができてしまうのですね!!

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数列というのは実は、「とびとびの値をとる(=離散的な)関数」として表記できます。

皆さん、「指数関数的に増える」という言葉を聞いたことがありませんか。

等比数列を関数表示すると指数関数になるので、つまり指数関数と同じく爆発的な増え方をするわけですね。

では、次の章では、アインシュタインが絶賛したといわれる「72の法則」について見ていきましょう。

複利のすごいところ2【72の法則】

端的に言ってしまえばこうです。

(72の法則)
複利法の場合、元本を2倍にするのにかかる年数は、$$72÷年利率$$で求めることができる。

これ、美しいですよね!

先ほどの例で言えば、元本を2倍にする(つまり200万にする)のにかかる年数は、$$72÷5=14.6≒15年$$なので、約15年かかるということがわかります。

すごいかかるなあ…と感じるかもしれませんが、単利で考えた時、$$100万÷5万=20年$$かかることを考えれば、5年も短くなっているというのは魅力的ですよね!

注意していただきたいのは、この「72の法則」はあくまで簡便的な計算であるということです。

例えば、年利率72%の預金会社があると仮定します。(現実には絶対にありえませんが。)

すると、「72の法則」を用いれば、$$72÷72=1年$$で、来年にはなんと2倍になっている!という結果が出ます。

しかし、実際には、72%しか増えないので、2倍にはならないですよね。

ただし、年利率というのはどんなに大きい会社でも「3%」とか「6%」といった感じです。
(日本の預金年利は大体0.025%です。いかに超低金利社会であるかがわかりますね。)

海外バンクでは、「年利率5%」といった金利の高い投資信託も少なからずあるため、一度視野を広げて海外に目を向けて資産運用していく、という方法もありかもしれませんね。

これって複利?複利じゃない?

では、ここでは、預金などの「投資信託」以外にも複利が適用されているかいないか、2つほど例を見ていきましょう。

  • 人口爆発

はい、これも複利の原理が大きく作用しています。

2019年現在、世界の人口は約70億にまで達していますが、約100年前の1900年には世界の人口は15億人で、その1900年前の西暦元年(イエスキリストが生まれた年)では、世界の人口は1億人しかいなかったのです。

人口爆発の背景には、「産業革命」や「農業革命」といったものもありますが、人類が増えれば増えるほど複利の力は働きやすいというところにも目を向けるべきですね。

「世界中の食糧が栄養価の高いイモであっても、100億人以上に増えてしまうと飢餓が起こる」というような話もありますから、人口減少も問題ですが、人口爆発にも気を配って、我々は最善の注意を払っていくべきなのかもしれませんね。

  • 株式投資

これも投資信託なので複利の力は働きます。

働きますが…

株式投資において複利の力を過信するのは、危険であるとハッキリ言っておきましょう。

理由は簡単で、「10年も20年も年利率が下がらず安定している会社などほとんどないから」です。

ですから、複利の力を利用して資産運用しようと思ったら、比較的安定性のある海外バンクに預けるなどして、株式投資ではデイトレードまたは短中期トレードをするのが得策かもしれませんね。(もし資産が減ってしまっても、当サイトは一切の責任を負いませんのでご了承ください。)

複利計算の問題を解いてみよう!

では最後に問題を解いてみましょうか。

問題.年利率5%で100万円を借金した。ちょうど1年後から毎年10万円ずつ返済するとき、何年後に返し終わるか。

さて、「毎年定額で借金を返していく」というのは、よくある光景だと思ってしまいませんか?

ここでは、よくある光景でも、実際に計算してみると複利の力は恐ろしい…

ということを実感していただきましょう。

では、解いていきます。

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まず、$n$年後に返し終わると仮定します。

すると、借りたお金(=元金)は$$100万(1+0.05)^n=100万×1.05^n$$と膨れ上がっていますね。

次に、返していく方のお金(=積立金)を考えます。

ここでポイントがあります。

積立金にも年利率5%の利子が複利法でつく!

ですから、$n$年後の積立金は、

\begin{align}10万+10万×1.05+10万×1.05^2+…+10万×1.05^{n-1}\end{align}

になります。

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(補足)
最初の$10万$は、「$n$年目に積み立てたお金」です。これには金利はかかりませんね。
最後の$10万×1.05^{n-1}$は「1年目に積み立てたお金」です。これには$n-1$年分の金利がかかっているわけです。

この$n$年後の積立金ですが、初項10万、公比1.05、項数$n$の等比数列の和になっているので、$$\frac{10(1.05^n-1)}{1.05-1}=200(1.05^n-1)$$となりますね!
(等比数列の和の公式は超重要です。ぜひ、自分で導けるようになりましょう!)

よって、積立金が元金を初めて超えたとき返済が終わるので、$$200(1.05^n-1)≧100万×1.05^n$$という不等式を解けば、これを満たす最小の自然数$n$が求まります。

この先の計算は、「両辺の常用対数をとる」などの操作をすることで求めることができます。
(問題文に与えられた情報を使いましょう。ここでは省略します。)

すると、$$n≧14.198…$$となるため、$$答.15年後$$であることがわかります。

…どうですか。

これを計算し終わったとき、僕は

借金って、こわい…

と恐れおののきました。

毎年10万を払い続けたとしても、年利率5%で借りた100万を返すには150万必要になってくるわけですね。(毎年5万の返済であれば、もっとかかるわけです。)

ですから、皆さんに一つだけ伝えておきます。

借金は慎重に!!!

複利計算に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日の話はお金が絡むので、将来皆さんの生活に何らかの形で役に立つ時が来ると思います。

僕は「お金に関する勉強はなるべく早いうちにしておいた方がいい」という考えの持ち主なので、例えばこの記事をご覧になっているあなたが高校生であったとしても、お金について知ることは大切だと思います。

人は、恐怖心があると正常な判断ができません。そして、お金に関する正しい勉強をするということは、そのままお金に対する恐怖心を取り除きます

ですのでぜひ皆さんには、「怖い怖い」といって勉強しないのではなく、勉強をすることで怖がらずに人生を選択できる人間になっていってほしいなと、切に願っております。

それでは、ウチダショウマでした。
皆さん、よい数学Lifeを!!

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