整数の性質とは?【高校数学Aの解説記事総まとめ25選】

こんにちは、ウチダショウマです。

数学A「整数の性質」のまとめ記事を作成しました。

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整数の性質まとめ25記事

エラトステネスのふるい

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★☆☆☆☆

  • 自然数 $n$ までの素数をすべてあぶりだせるので、とっても便利です。
  • 学校によっては習わないところもあるでしょう。
  • 素数判定のアルゴリズムとして優秀なので、ぜひとも押さえておきたいところですね^^

倍数判定法

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重要度:★★★★☆
難易度:★★☆☆☆

  • $3$,$4$,$8$,$9$,$11$ の倍数判定法は必ずマスターしましょう。
  • $7$,$13$ の倍数判定法は、正直ビミョーです。
  • 整数の分野は「考えなくていいことを、考えない。」これがテーマです。

素因数分解

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重要度:★★★★☆
難易度:★☆☆☆☆

  • 素因数分解は、小さい素数から順番に。
  • これからの基本中の基本になります。
  • 「素因数分解の一意性」は難しいので、知っておけばOK。

約数の個数と約数の総和

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重要度:★★★☆☆
難易度:★★☆☆☆

  • 素因数分解の応用例その $1$。
  • 約数の個数については、数学A「場合の数」でも習います。
  • 応用問題まで解けるようになりましょう!

最大公約数と最小公倍数

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重要度:★★★☆☆
難易度:★★☆☆☆

  • 素因数分解の応用例その $2$。
  • 最大公約数と最小公倍数の関係を理解するのが少し難しい。
  • 特に最大公約数は、これからあらゆるところで登場します。

互いに素な自然数

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重要度:★★★★☆
難易度:★★☆☆☆

  • 互いに素=最大公約数が $1$。
  • 互いに素な自然数も、これから至る所で登場します。
  • 定義はシンプルです。言葉に惑わされないようにしよう!

オイラー関数

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★★★☆☆

  • 互いに素な自然数の個数に着目しました。
  • 公式の証明は大学レベルなので、スルーしてもOK。
  • このレベルを難易度 ★ $3$ にしないと後が困るので(^_^;)

素数が無限に存在することの証明5選

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重要度:★★★☆☆
難易度:★★★☆☆

  • どちらかというと数学Ⅰ「集合と命題」のお話。
  • $5$ 通りで証明しております。
  • 最初の $2$ つは知っておくと吉。

無限降下法

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重要度:★☆☆☆☆
難易度:★★★★☆

  • 原理はシンプルですが、応用が難しいです。
  • この記事も、数学Ⅰ「集合と命題」の要素が強いかも。
  • 雑学的な位置づけですね。

完全数

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★★★★☆

  • 言葉だけはめちゃめちゃ有名な数「完全数」。
  • 実はこいつには、公式や面白い性質が山ほどあるのです…!
  • 「〇〇数」の中で、知っておいた方が良いランキング堂々の第 $1$ 位ですね。

メルセンヌ素数

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★★★☆☆

  • 完全数の理解のためには必須です。
  • メルセンヌ素数と完全数の美しいつながりを理解しましょう。
  • 二進数表示も美しいです。

ピタゴラス数

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★★★★☆

  • めっっっっちゃスゴイ公式があります。
  • ただ、その公式の証明がなかなか難解かと(^_^;)
  • 僕個人的に、〇〇数の中では一番面白いと感じる数ですね。

友愛数

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重要度:★☆☆☆☆
難易度:★☆☆☆☆

  • 友愛数については、わかっていない事実が多すぎます。
  • よって、コラム的にまとめました。
  • 記事内でも紹介してますが、「博士の愛した数式」はオススメの映画です!

カプレカ数

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重要度:★☆☆☆☆
難易度:★★☆☆☆

  • おそらく多くの方が言葉すら知らない「カプレカ数」。
  • 不思議な数の魅力にどっぷり浸かっちゃってください^^
  • 入試には、まず間違いなく出てきません!(笑)

合同式mod(基本)

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重要度:★★★★★
難易度:★★★☆☆

  • 個人的に、整数の性質における最重要項目その $1$ かなと。
  • 研究内容なので、学校によっては習わないところもありますが…
  • 難関大を目指すのであれば必須の知識だと思いますよ。

合同式mod(応用)

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重要度:★★★★☆
難易度:★★★★☆

  • 基本だけでも十分な学びにはなります。
  • ただ、ぜひ応用にも触れてほしいです。
  • 特に京大の問題は、マジで超良問なので。

ユークリッドの互除法

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重要度:★★★★★
難易度:★★★☆☆

  • 整数の性質における最重要項目その $2$。
  • 互除法の原理を理解できるかどうかで、点数が大きく変わってきます。
  • 実は意外と単純かもよ?記事を読めばこの意味がわかります。

一次不定方程式

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重要度:★★★★★
難易度:★★★☆☆

  • 整数の性質における最重要項目その $3$。
  • センター試験でも頻出の一次不定方程式です。
  • 解き方は決まっています。絶対にマスターしましょう。

不定方程式

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重要度:★★★★☆
難易度:★★★★☆

  • 難関大を目指すのであれば必ず押さえておきたいのが「不定方程式」。
  • 特に「因数分解」は、整数問題でよく使う技術です。
  • 分数を含んだら下から(上から)評価。これも頻出です。

n進法

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重要度:★★★☆☆
難易度:★★★☆☆

  • 人によってはメッチャ難しく感じる「n進法」。
  • 裏ワザに頼らないでほしいな~。。
  • というか、裏ワザに頼ると、逆に難しく感じますよ?

鳩ノ巣原理(部屋割り論法)

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★★★☆☆

  • 実は入試でもまあまあ頻出な「鳩ノ巣原理」。
  • 特に「タイルの問題」はマジな良問です。
  • 感動すること間違いナシ!!

ガウス記号

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★★★☆☆

  • 別に概念自体はそれほど難しくはないですね。
  • ただ、方程式や不等式を解く問題は一度やっておいた方が良いかも。
  • 知らないと面食らいます。

フェルマーの小定理

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重要度:★★★★☆
難易度:★★★★★

  • 重要かつ最高難易度。
  • 簡単な応用問題は解けるようにしておきたいところです。
  • またまた京大さんが素晴らしい問題を作ってます。

整数問題(数オリや大学入試)

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重要度:★★★★☆
難易度:★★★★★

  • 整数問題の難問・良問を $3$ つ厳選してみました。
  • $1$ 問目の難易度は ★ $100$ です。(笑)
  • 参考書「マスターオブ整数」でしっかりと勉強しましょう。

RSA暗号

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重要度:★★☆☆☆
難易度:★★★★★

  • 最後は、ネット社会を支える「RSA暗号」のお話。
  • 社会における重要性は ★ $500$ ぐらいあります。
  • 興味がある方は、「量子論」の勉強もしてみてはいかがでしょうか^^
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整数の性質をしっかりマスターしたいと思ったら…?

数学太郎のアイコン画像数学太郎
…量がとっても多かったね。
ウチダのアイコン画像ウチダ
整数の分野は、それほど難易度が高いということですね。そこでオススメなのが、「整数問題集を $1$ 冊買って、とことんやり込む」勉強法ですね。

お任せください。打ってつけの参考書があります。

それが「マスターオブ整数」です。

「マスターオブ整数がなぜ優れているか」僕なりの見解を話すと…

  • $112$ ページと、丁度いい厚さ。
  • 網羅参考書では省略されてしまう解説なども、しっかり載せている。
  • 第 $1$,$2$ 章だけでも学びになるので、基礎作りにもオススメ。
  • もちろん第 $3$ 章以降は言わずもがな良問ぞろいです。
ウチダのアイコン画像ウチダ
「分野ごとに問題集を買う必要はない」というのが僕の持論ですが、整数問題だけはやっておいた方が良いと思います。

整数の分野は、良問にたくさん触れることが重要ですので、ぜひ取り組んでみてはいかがでしょうか^^

網羅系の参考書でオススメなのは、「Focus Gold」ですね。

ぜひご参考ください♪

終わりです。

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