こんにちは、ウチダです。
数学Ａ「整数の性質」のまとめ記事を作成しました。
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整数の性質まとめ２５記事
エラトステネスのふるい
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エラトステネスの篩のやり方やその計算量とは？【素数を発見しよう】
「エラトステネスのふるい（素数の求め方・素数の見つけ方）」を知りたいですか？本記事では、エラトステネスのふるいの具体的なやり方をアニメーションでわかりやすく解説します。エラトステネスのふるいの計算量まで考察。ぜひお楽しみください♪
重要度：★★☆☆☆
難易度：★☆☆☆☆
- 自然数 $n$ までの素数をすべてあぶりだせるので、とっても便利です。
- 学校によっては習わないところもあるでしょう。
- 素数判定のアルゴリズムとして優秀なので、ぜひとも押さえておきたいところですね＾＾
倍数判定法
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【倍数判定法まとめ】3の倍数・4の倍数・7の倍数などの見分け方とは？
倍数判定法（２～１３）をわかりやすくまとめました。本記事では、３の倍数判定法・４の倍数判定法、そこから６の倍数判定法・８の倍数判定法・９の倍数判定法の導出、さらに７の倍数判定法の作り方など丁寧に解説しました。倍数判定法マスターになりたい方は必見です。
重要度：★★★★☆
難易度：★★☆☆☆
- $3$，$4$，$8$，$9$，$11$ の倍数判定法は必ずマスターしましょう。
- $7$，$13$ の倍数判定法は、正直ビミョーです。
- 整数の分野は「考えなくていいことを、考えない。」これがテーマです。
素因数分解
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素因数分解のやり方のコツとは？【応用問題３選も簡単に解けます】
速く正確に素因数分解するコツが知りたいですか？本記事では、素因数分解とは何かから、素因数分解のやり方のコツ、素因数分解の応用問題３選の解き方、さらには素因数分解の一意性までわかりやすく解説します。「素因数分解マスターになりたい」方は必見です。
重要度：★★★★☆
難易度：★☆☆☆☆
- 素因数分解は、小さい素数から順番に。
- これからの基本中の基本になります。
- 「素因数分解の一意性」は難しいので、知っておけばOK。
約数の個数と約数の総和
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約数の個数と約数の総和の求め方とは？【公式は素因数分解で導きます】
「約数の個数と約数の総和」の求め方が分からない？本記事では、「約数の個数と約数の総和の公式をどう導くか」から、約数の個数と約数の総和に関する問題９選まで、わかりやすく解説します。「約数の個数をスマートに求めたい！」「正の約数の総和がわからない」という方は必見です。
重要度：★★★☆☆
難易度：★★☆☆☆
- 素因数分解の応用例その $1$。
- 約数の個数については、数学Ａ「場合の数」でも習います。
- 応用問題まで解けるようになりましょう！
最大公約数と最小公倍数
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最大公約数と最小公倍数の求め方とは？【ヒント：素因数分解】
「最大公約数と最小公倍数の求め方」を知りたいですか？本記事では、最大公約数と最小公倍数と素因数分解の関係から、最大公約数と最小公倍数に関する応用問題３選（積の性質や互除法など）をわかりやすく解説します。本記事を読めば、最大公約数と最小公倍数についてスッキリ理解できます。
重要度：★★★☆☆
難易度：★★☆☆☆
- 素因数分解の応用例その $2$。
- 最大公約数と最小公倍数の関係を理解するのが少し難しい。
- 特に最大公約数は、これからあらゆるところで登場します。
互いに素な自然数
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互いに素な自然数とは？【応用例７選もわかりやすく解説します】
「互いに素な自然数」の意味がわからない？本記事では、互いに素と最大公約数の関係から、互いに素に成り立つ性質の証明問題、さらには豊富な応用例まで、わかりやすく解説します。本記事を読んで、互いに素にまつわる知識を蓄えていきましょう！
重要度：★★★★☆
難易度：★★☆☆☆
- 互いに素＝最大公約数が $1$。
- 互いに素な自然数も、これから至る所で登場します。
- 定義はシンプルです。言葉に惑わされないようにしよう！
オイラー関数
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オイラー関数とは？【公式の証明や応用例２選をわかりやすく解説します】
「オイラー関数とは何か」知りたいですか？本記事では、オイラー関数の公式の証明から、オイラー関数の計算練習問題４選、さらにオイラー関数の応用例（格子点の問題・フェルマーの小定理）までわかりやすく解説します。「オイラー関数がよくわからない…」という方は必見です。
重要度：★★☆☆☆
難易度：★★★☆☆
- 互いに素な自然数の個数に着目しました。
- 公式の証明は大学レベルなので、スルーしてもOK。
- このレベルを難易度 ★ $3$ にしないと後が困るので(^_^;)
素数が無限に存在することの証明５選
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素数は無限に存在するの？【５通りの美しい証明をわかりやすく解説】
「素数が無限にあることの証明」を知りたいですか？本記事では、素数が無限にあることの５通りの美しい証明（ユークリッド・ゴールドバッハ・オイラー２つ・サイダック）をわかりやすく解説します。本記事を読んで、素数や背理法に詳しくなろう！
重要度：★★★☆☆
難易度：★★★☆☆
- どちらかというと数学Ⅰ「集合と命題」のお話。
- $5$ 通りで証明しております。
- 最初の $2$ つは知っておくと吉。
無限降下法
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無限降下法とは？【フェルマーの最終定理などの応用例３選を解説】
「無限降下法とは何か」知りたいですか？本記事では、無限降下法が背理法であり数学的帰納法でもある理由から、無限降下法の応用例３選（ルート２が無理数・フェルマーの最終定理ｎ＝４・不定方程式の非自明な整数解）まで、わかりやすく丁寧に解説します。
重要度：★☆☆☆☆
難易度：★★★★☆
- 原理はシンプルですが、応用が難しいです。
- この記事も、数学Ⅰ「集合と命題」の要素が強いかも。
- 雑学的な位置づけですね。
完全数
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完全数（496や8128）とは？一覧とその求め方【公式の証明もわかりやすく解説】
「完全数とは何か」知りたいですか？本記事では、完全数の定義から完全数の求め方の公式、さらには完全数に成り立つ美しい性質や一覧まで、具体的な完全数（6，28，496，8128など）を通してわかりやすく解説します。完全数マスターになりたい方は必見です。
重要度：★★☆☆☆
難易度：★★★★☆
- 言葉だけはめちゃめちゃ有名な数「完全数」。
- 実はこいつには、公式や面白い性質が山ほどあるのです…！
- 「〇〇数」の中で、知っておいた方が良いランキング堂々の第 $1$ 位ですね。
メルセンヌ素数
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メルセンヌ素数と完全数の美しいつながり【二進数表示もキレイです】
「メルセンヌ素数の美しい性質」を知りたいですか？本記事では、メルセンヌ数と二進数の関係・メルセンヌ素数と完全数の関係から、メルセンヌ素数に関する入試問題まで、わかりやすく解説します。本記事を読めばメルセンヌ素数が好きになること間違いなし！
重要度：★★☆☆☆
難易度：★★★☆☆
- 完全数の理解のためには必須です。
- メルセンヌ素数と完全数の美しいつながりを理解しましょう。
- 二進数表示も美しいです。
ピタゴラス数
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ピタゴラス数が一発でわかる公式【証明もあわせて解説】
「ピタゴラス数とは何か」知りたいですか？本記事では、すべての原始ピタゴラス数を求めることができる公式の証明を解説します。原始ピタゴラス数の求め方を知りたい、原始ピタゴラス数の一覧を自分で作りたい方は必見の内容です。
重要度：★★☆☆☆
難易度：★★★★☆
- めっっっっちゃスゴイ公式があります。
- ただ、その公式の証明がなかなか難解かと(^_^;)
- 僕個人的に、〇〇数の中では一番面白いと感じる数ですね。
友愛数
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友愛数とは220と284みたいな組のことです【婚約数・社交数もあわせて解説】
「友愛数とは何か」知りたいですか？本記事では、「友愛数とは何か」その一覧から、友愛数を生み出す法則、さらに友愛数にまつわる数（婚約数や社交数）までわかりやすく解説します。「友愛数！名前だけ聞いたことがある！」「友愛数について深く知りたい！」という方は必見です。
重要度：★☆☆☆☆
難易度：★☆☆☆☆
- 友愛数については、わかっていない事実が多すぎます。
- よって、コラム的にまとめました。
- 記事内でも紹介してますが、「博士の愛した数式」はオススメの映画です！
カプレカ数
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カプレカ数とは？なぜ５桁はないの？【４桁「６１７４」の証明も解説】
「カプレカ数とは何か」知りたいですか？本記事では、カプレカ数の定義から、３～８桁までのカプレカ数、さらにカプレカ数を応用した小学生向けの計算遊びまで、わかりやすく解説します。ぜひカプレカ数の不思議さ・面白さを実感してみてください♪
重要度：★☆☆☆☆
難易度：★★☆☆☆
- おそらく多くの方が言葉すら知らない「カプレカ数」。
- 不思議な数の魅力にどっぷり浸かっちゃってください＾＾
- 入試には、まず間違いなく出てきません！(笑)
合同式mod（基本）
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合同式の基本的な使い方３選とは【まずは練習問題でmodに慣れよう】
合同式（mod）の意味が分からない？本記事では、合同式（mod）の基本的な部分についてまとめました。具体的には、「modとは何か」「合同式に成り立つ性質５つ」「余りを求める問題」「一の位の数を求める問題」「倍数であることの証明問題」を解説します。
重要度：★★★★★
難易度：★★★☆☆
- 個人的に、整数の性質における最重要項目その $1$ かなと。
- 研究内容なので、学校によっては習わないところもありますが…
- 難関大を目指すのであれば必須の知識だと思いますよ。
合同式mod（応用）
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合同式（mod）を応用して京大入試問題を解こう【不定方程式の問題も解説】
合同式（mod）を応用して、京大の入試問題を解こう！本記事では、一次不定方程式を互除法を使わずに合同式（mod）で解く方法や、京都大学の超良問入試問題を解くコツについて、わかりやすく解説します。「合同式（mod）マスターになりたい」方は必見です。
重要度：★★★★☆
難易度：★★★★☆
- 基本だけでも十分な学びにはなります。
- ただ、ぜひ応用にも触れてほしいです。
- 特に京大の問題は、マジで超良問なので。
ユークリッドの互除法
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ユークリッドの互除法の原理をわかりやすく解説！【互除法の活用２選アリ】
「ユークリッドの互除法」の原理がわからない？本記事ではユークリッドの互除法の原理から互除法の活用２選（最大公約数・一次不定方程式）、さらにユークリッドの互除法の裏ワザや長方形との関係までわかりやすく解説します。本記事を読んで、互除法マスターになろう！
重要度：★★★★★
難易度：★★★☆☆
- 整数の性質における最重要項目その $2$。
- 互除法の原理を理解できるかどうかで、点数が大きく変わってきます。
- 実は意外と単純かもよ？記事を読めばこの意味がわかります。
一次不定方程式
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一次不定方程式の解き方とは？【応用問題３選もわかりやすく解説します】
「一次不定方程式」の解き方がよくわからない？本記事では、一次不定方程式の特殊解の見つけ方から、ユークリッドの互除法を用いる問題、さらに一次不定方程式の応用問題３選まで、わかりやすく解説します。「一次不定方程式マスター」になりたい方必見です。
重要度：★★★★★
難易度：★★★☆☆
- 整数の性質における最重要項目その $3$。
- センター試験でも頻出の一次不定方程式です。
- 解き方は決まっています。絶対にマスターしましょう。
不定方程式
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不定方程式の解き方４パターンとは？【方程式の整数解の問題９選を通して解説】
「不定方程式」って難しいですよね。本記事では、不定方程式の解き方４パターンを、不定方程式の問題９選（ユークリッドの互除法を用いる一次不定方程式・二次不定方程式など）を通して、わかりやすく解説します。「不定方程式マスター」になりたい方は必見です。
重要度：★★★★☆
難易度：★★★★☆
- 難関大を目指すのであれば必ず押さえておきたいのが「不定方程式」。
- 特に「因数分解」は、整数問題でよく使う技術です。
- 分数を含んだら下から（上から）評価。これも頻出です。
ｎ進法
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ｎ進法の変換方法とは？【ｎ進法の四則計算・小数もわかりやすく解説します】
「ｎ進法とは何か」知りたいですか？本記事では、ｎ進法の変換方法（10進法から2進法・2進法から10進法）や四則計算、またｎ進法の小数など、問題13選を通してわかりやすく解説します。「ｎ進法の問題の解き方がわからない…」という方は必見です。
重要度：★★★☆☆
難易度：★★★☆☆
- 人によってはメッチャ難しく感じる「ｎ進法」。
- 裏ワザに頼らないでほしいな～。。
- というか、裏ワザに頼ると、逆に難しく感じますよ？
鳩ノ巣原理（部屋割り論法）
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鳩ノ巣原理を使った面白い問題５選【なぜ成り立つの？無限についても考察】
「鳩ノ巣原理（部屋割り論法）とは何か」知りたいですか？本記事では、鳩ノ巣原理を用いる面白い証明問題５選から、「ペアノの公理」「対角線論法」につながる"無限"に関する考察まで、わかりやすく解説します。「鳩ノ巣原理をマスターしたい」という方は必見です。
重要度：★★☆☆☆
難易度：★★★☆☆
- 実は入試でもまあまあ頻出な「鳩ノ巣原理」。
- 特に「タイルの問題」はマジな良問です。
- 感動すること間違いナシ！！
ガウス記号
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ガウス記号の定義や性質とは？【応用問題５選もわかりやすく解説します】
「ガウス記号（床関数）とは何か」知りたいですか？本記事では、ガウス記号の定義や性質から、ガウス記号の応用問題５選（グラフ・方程式・不等式・階乗の素因数分解・はさみうちの原理を用いる極限）までわかりやすく解説します。「ガウス記号マスター」になりたい方必見です。
重要度：★★☆☆☆
難易度：★★★☆☆
- 別に概念自体はそれほど難しくはないですね。
- ただ、方程式や不等式を解く問題は一度やっておいた方が良いかも。
- 知らないと面食らいます。
フェルマーの小定理
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フェルマーの小定理の２通りの証明とは？【京大入試を含む問題３選も解説】
「フェルマーの小定理とは何か」知りたいですか？本記事では、フェルマーの小定理の２通りの証明（数学的帰納法・互いに素）から、フェルマーの小定理の例題２問、さらには京大入試問題や暗号理論まで、わかりやすく解説します。本記事を読んで、「フェルマーの小定理マスター」になろう！
重要度：★★★★☆
難易度：★★★★★
- 重要かつ最高難易度。
- 簡単な応用問題は解けるようにしておきたいところです。
- またまた京大さんが素晴らしい問題を作ってます。
整数問題（数オリや大学入試）
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整数問題の難問・良問３選【解き方のコツやおすすめ参考書を解説します】
「整数問題の解き方のコツ」を知りたいですか？本記事では、整数問題の難問・良問３選（数学オリンピックや大学入試問題）の解き方のコツから、おすすめ参考書（整数問題集）まで、わかりやすく解説します。「整数問題マスター」になりたい方必見です！
重要度：★★★★☆
難易度：★★★★★
- 整数問題の難問・良問を $3$ つ厳選してみました。
- $1$ 問目の難易度は ★ $100$ です。(笑)
- 参考書「マスターオブ整数」でしっかりと勉強しましょう。
RSA暗号
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RSA暗号とは？作り方や解き方・安全性までわかりやすく解説します【サマーウォーズ】
「RSA暗号とは」RSA暗号の仕組みから、RSA暗号の作り方や解き方・安全性まで、例題を通してわかりやすく解説します。本記事を読んで、RSA暗号に対する理解を深めていきましょう。映画サマーウォーズの見方も変わるはず…！
重要度：★★☆☆☆
難易度：★★★★★
- 最後は、ネット社会を支える「RSA暗号」のお話。
- 社会における重要性は ★ $500$ ぐらいあります。
- 興味がある方は、「量子論」の勉強もしてみてはいかがでしょうか＾＾
整数の性質をしっかりマスターしたいと思ったら…？
[ふきだし set=”悩む男性”]…量がとっても多かったね。[/ふきだし]
[ふきだし set=”ウチダ”]整数の分野は、それほど難易度が高いということですね。そこでオススメなのが、「整数問題集を $1$ 冊買って、とことんやり込む」勉強法ですね。[/ふきだし]
お任せください。打ってつけの参考書があります。
それが「マスターオブ整数」です。
リンク
「マスターオブ整数がなぜ優れているか」僕なりの見解を話すと…
- $112$ ページと、丁度いい厚さ。
- 網羅参考書では省略されてしまう解説なども、しっかり載せている。
- 第 $1$，$2$ 章だけでも学びになるので、基礎作りにもオススメ。
- もちろん第 $3$ 章以降は言わずもがな良問ぞろいです。
[ふきだし set=”ウチダ”]「分野ごとに問題集を買う必要はない」というのが僕の持論ですが、整数問題だけはやっておいた方が良いと思います。[/ふきだし]
整数の分野は、良問にたくさん触れることが重要ですので、ぜひ取り組んでみてはいかがでしょうか＾＾
網羅系の参考書でオススメなのは、「Focus Gold」ですね。
リンク
ぜひご参考ください♪
終わりです。
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