約分・通分とは結局何なのか？【スムーズなやり方＋問題４選をわかりやすく解説します】

こんにちは、ウチダです。

突然ですが皆さん！分数の計算はお好きですか…？？？

そう、小学校の算数で習う「約分・通分（やくぶん・つうぶん）」ですが、意外と中高生や社会人であってもスムーズにできる方は少ないものです。

ということで本記事では、約分・通分の計算を速くするコツから練習問題 $4$ 選まで、

• 東北大学理学部数学科卒業
• 実用数学技能検定１級保持
• 高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

約分・通分とは結局何なのか？【円で解説～速く計算するコツ】

まずは、約分と通分の例を見てみましょう。

• 約分の例：$\displaystyle \frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
• 通分の例：$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

ここから分かる通り、

約分…分母がより小さい分数にすること。
通分…$2$ つの分数を足し算(引き算)するときに、分母をそろえること。

ということになります。

言葉の定義は重要ですから、まずは「約分・通分」の意味を正しく知っておきましょう。

約分・通分をわかりやすく円を使って解説

さて、次は約分と通分を”円”で理解していきます！！

通分も同じように円で考えることで、すぐにわかります。

特に、通分を理解していないと、

のような、絶対にしてはいけない間違った計算をしてしまうことに繋がります。

ぜひ、以上のように

わかりづらい考え方があったら、数式だけでなく「図」とリンクさせて理解する！！

この方法を約分・通分に対しても行っていきましょうね！

約分・通分の計算を速くするコツ

お待たせしました！いよいよ約分・通分の計算を速くするコツをご紹介します！

【約分を速くするコツ】
分母と分子の最大公約数で割る！→それが難しければ、$2$、$3$、$5$、…というふうに、素数で割っていく！
【通分を速くするコツ】
大きい分母の方に、$2$、$3$、$4$、…というふうに掛け算をしていき、小さい分母で割れるところでSTOPする！

これらのコツは基本的なものではありますが、意外と定着している方は少ないです！！

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約分・通分マスターになるために問題４選を解こう！

ここまでが約分・通分のインプットになります。

さあ、インプットしたら即座にアウトプットして、知識を定着させていきましょう！

約分の練習問題

問題１．次の分数を約分しなさい。
(1)　$\displaystyle \frac{15}{20}$
(2)　$\displaystyle \frac{18}{30}$
(3)　$\displaystyle \frac{84}{132}$

(3)は最大公約数を見つけるのが少し難しいですよね…そういう時はどうするんでしたっけ？

それでは解答です！

通分の練習問題

問題２．次の計算をしなさい。
(1)　$\displaystyle \frac{3}{4}-\frac{1}{3}$
(2)　$\displaystyle \frac{3}{8}+\frac{5}{6}$
(3)　$\displaystyle \frac{3}{10}-\frac{5}{12}+\frac{7}{15}$

またもや(3)が曲者です。しかし $3$ つになっても、やり方は一緒のはず…。

それでは早速解答に移ります！

いかがでしたか？

解答と同じ方法で解くことはできましたか？

通分の計算を速くするコツは、先述したとおり

【通分を速くするコツ】
大きい分母の方に、$2$、$3$、$4$、…というふうに掛け算をしていき、小さい分母で割れるところでSTOPする！

つまり、$2$ つの分母で割り切れる最小の数で分母を揃えることにあります。

この数のことを、数学の用語で「最小公倍数（さいしょうこうばいすう）」と言い、これについては中学および高校で詳しく学びます！

以下、軽く解説をしますね！

約分・通分のコツ(応用編)は「素因数分解」にあり！

【約分のコツ(応用編)】
分母と分子の最大公約数で割る！
【通分のコツ(応用編)】
全ての分母の最小公倍数に揃える！

→これらを見つけるには、”素因数分解”がうってつけ！

たとえば、通分編(2)であれば、

• $6=2×3$
• $8=2×2×2$

というふうに、素数同士の掛け算の形で表す（＝素因数分解をする）ことをしておきます。

そして両者を見比べると…$6$ には$2×2=4$、$8$ には $3$ が足りないことがわかります。

すると最小公倍数である $6×4=8×3=24$ がすぐに導き出せるのです…!!

素因数分解と最大公約数・最小公倍数に関する詳しい解説記事は、こちらをご覧ください。

通分は単純な計算ミス（例．分子に掛け忘れる）に注意

通分に関しては計算ミスに注意しましょう！

というのも、約分より通分のほうが作業工程が多いので、たとえば(3)で

のように、$\displaystyle \frac{7}{15}→\frac{7}{60}$ と分子に掛け忘れるミスは起こりやすいです。

また、(2)の別解として、

のように、分母を $6×8=48$ に揃えるという方法もありますが、この場合

の約分忘れが起こりやすいです。

以上、通分における注意点 $2$ つをまとめておくと、

通分で起こりやすいミス
・分母に気を取られるがあまり、分子に同じ数を掛けることを忘れてしまう。
・最後に約分した形で答えるのを忘れてしまう。

となります。

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分数のいろんな計算問題

問題３．次の計算をしなさい。
(1)　$\displaystyle \frac{6}{9}+\frac{4}{12}$
(2)　$\displaystyle \frac{55}{36}-\frac{23}{54}$
(3)　$\displaystyle \frac{2}{5}×\frac{25}{4}$
(4)　$\displaystyle \frac{9}{7}÷\frac{81}{28}$

$3$ 問目は、分数の足し算引き算掛け算割り算（＝四則演算）の問題です！

ということで、早速解答に移ります！

(1)(2)は今までの応用問題ですね！

※ $1$ 行目から $2$ 行目への式変形は、$2$ と $5$ で約分してます。

また(4)の割り算ですが、これは逆数を掛けたものと同じになるんでしたね！

分数の四則演算（＋そもそも分数とは何か）については、以下の記事で詳しく解説しておりますので、興味のある方はぜひこちらもあわせてお読みください。

【応用】分数の大小比較の問題

問題４．次の $2$ つの分数のうち、どちらが大きいか答えなさい。
(1)　$\displaystyle \frac{7}{10} \ , \ \frac{17}{25}$
(2)　$\displaystyle 8\frac{2}{15} \ , \ \frac{163}{20}$

さあ、ラストの問題は、分数の大小比較です。

今まで学んできた知識を活かせば、応用問題だって解けるはず！

ぜひ $3$ 分ぐらい立ち止まって考えてみてください♪

それでは解答です！

解答では、帯分数を仮分数に直して大小比較をしていましたが、仮分数を帯分数に直す方法でももちろんOKです。

ようするに、

として、整数部分である $8$ は共通しているので無視し、

• $\displaystyle \frac{2}{15}=\frac{8}{60}$
• $\displaystyle \frac{3}{20}=\frac{9}{60}$

であるから、$\displaystyle \frac{163}{20}$ の方が大きい、という解法です。

帯分数・仮分数に関する詳しい解説も別の記事でまとめておりますので、よろしければこちらもぜひご覧ください＾＾

約分・通分に関するまとめ

さて、最後に本記事のポイントをまとめます。

1. 約分・通分の考え方は、円を使うとスムーズに理解できます！
2. 約分・通分のコツは、「最大公約数・最小公倍数」にあり！
   • 「素因数分解」が理解できると、約分・通分マスターになれます。
3. 「分数の四則演算」と「仮分数・帯分数」も、この機会に押さえておきましょう！

約分・通分をマスターすることで、分数の計算ミスが極端に減ります。

計算ミスはとてもつらいものなので、繰り返し繰り返し練習しておきましょうね。

おわりです。