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素因数分解のやり方のコツとは?【応用問題3選も簡単に解けます】

2019 12/14
素因数分解のやり方のコツとは?【応用問題3選も簡単に解けます】

こんにちは、ウチダショウマです。

さて、皆さんは「素因数分解」をしっかりマスターできたでしょうか?

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「素因数分解とは何か」よくわかってないんだよな~。やり方もわかりやすく解説してほしいです。
悩む女性のアイコン画像悩む女性
素因数分解はできます!具体的にどう使うのか、応用問題の解き方のコツなどがあれば解説してほしいです!

素因数分解のやり方のコツは、「小さい素数から順番に」です。

本記事では、素因数分解とは何かから、素因数分解の応用問題 $3$ 選、さらには素因数分解の一意性まで

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

素因数分解とは?【やり方のコツは「小さい素数から順番に」】

素因数分解で押さえておきたい基本は以下の $2$ 点です。

  1. 素因数分解とは、素数の積で表すこと。
  2. $2$,$3$,$5$,…と小さい素数順に割っていくこと。

たとえば $180$ という自然数を、素数の積で表してみましょう。

素因数分解とは?【やり方のコツは「小さい素数から順番に」】

素因数分解にまだ慣れていない方は、必ず小さい素数から、つまり

$$2 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 11 \ , \ …$$

の順で割っていきましょう。

そうして素数でどんどん割っていくと、必ず終わりが来ます。

そう、素数が出てきたときですね。

あとはそれまでに出てきた素数をすべて掛け合わせて

\begin{align}180&=2×2×3×3×5\\&=2^2・3^2・5\end{align}

と表せば、素因数分解完了です☆

考える男性のアイコン画像考える男性
なるほど!やり方は理解できたよ。でも、そもそも「素因数」って何のこと?
ウチダのアイコン画像ウチダ
因数とは、積の形で表したときの一つ一つの項のことを指します。つまり、素数の因数だから「素因数」、ということです。

素因数分解の練習問題

ではここで一度、素因数分解を練習しておきましょう。

練習問題. 次の自然数を素因数分解しなさい。
(1) $50$ (2) $42$ (3) $33$
(4) $58$ (5) $81$ (6) $1000$

(5)(6)はちょっとした工夫でより簡単になるので、ぜひ考えてみてください^^

【解答】

(1) $50=2・5^2$

(2) $42=2・3・7$

(3) $33=3・11$

(4) $58=2・29$

(5) $81=9^2$ であり、$9=3^2$ なので、

$81=(3^2)^2=3^4$

(6) $1000=10^3$ であり、$10=2・5$ なので、

$1000=(2・5)^3=2^3・5^3$

(解答終了)

この練習問題のポイントを $2$ つ挙げます。

  • (3)(4) … $11$ や $29$ が素数であることを覚えておく
  • (5)(6) … $81=9^2$ や $1000=10^3$ を使って計算をラクにする

特に(6)は、地道に素因数分解すると大変です。

先ほど説明した「小さい素数順に割る」とは違うやり方ですが、慣れてきたらこのように工夫して計算するのもアリです。

ウチダのアイコン画像ウチダ
それから、$100$ までの素数は「エラトステネスのふるい」を使って調べておいた方が良いです。詳しくは「エラトステネスのふるいとは?【素数の求め方(見つけ方)で最適な方法です】」の記事をご覧ください。
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素因数分解の応用問題3選

さて、次に考えたいのが「素因数分解を用いる応用問題」ですね。

といっても、素因数分解は整数問題を解く上での基本中の基本となるため、下手すると

応用問題 $57$ 選!!

なんて記事が出来上がりかねません。(笑)

よってここでは、超具体的に絞りに絞って

  • 正の約数の個数と総和を求める問題
  • 階乗の素因数の個数に関する問題
  • 最大公約数と最小公倍数を求める問題

以上 $3$ 問を解説していきます。

正の約数の個数と総和を求めよう

問題. $48$ の正の約数の個数および正の約数の総和を求めなさい。

さて、もちろん総当たりしていって

$$1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ 12 \ , \ 16 \ , \ 24 \ , \ 48$$

よって個数は $10$ 個で、

\begin{align}1+2+3+4+6+8+12+16+24+48=124\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

よって総和は $124$ と求めることもできます。

ただ…スマートな解き方ではないですよね~。

また、$48$ ぐらい小さな数だからいいものの、もっと大きな数になるとこの方法は厳しくなってきます。

よって、素因数分解を応用し、スマートに解くクセを付けましょう!

【解答】

$48=2^4・3$ より、正の約数の個数は$$(4+1)×(1+1)=10 \ (個)$$

正の約数の総和は

\begin{align}(1+2+2^2+2^3+2^4)×(1+3)&=(1+2+4+8+16)×4\\&=31×4\\&=124\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(解答終了)

いかがでしょう。

超ベリースマートですよね^^

ウチダのアイコン画像ウチダ
なぜ素因数分解で簡単に求めることができるのか、については「約数の個数と約数の総和の求め方とは?【公式は素因数分解で導きます】」の記事で詳しく解説してます。この記事では”応用の仕方”のみ解説していきます。

階乗の素因数の個数とは?(0は連続して何個並ぶ?)

問題. $1$ から $130$ までの $130$ 個の自然数の積を $130!$ と書き、「 $130$ の階乗(かいじょう)」と読む。このとき、$130!$ の末尾には $0$ が何個連続して並ぶか求めなさい。

さて、階乗とは上記の通り、その自然数までの積を表します。

ここで、「末尾に $0$ が連続して何個並ぶか」というのは、$10$ という因数を何個含んでいるかによります。

【素因数分解の応用】階乗の素因数の個数

よって、$130!$ に素因数 $2$ と素因数 $5$ がそれぞれ何個含まれているかを計算すればよいのですが…

素因数 $5$ の方が素因数 $2$ よりも個数が少ない

これは何となく予想できますよね。

ウチダのアイコン画像ウチダ
素因数 $5$ を含む数は $5$,$10$,$15$,…ですが、素因数 $2$ を含む数は $2$,$4$,$6$,…と圧倒的に多いです。

これらを踏まえると、解答は以下のようになります。

【解答】

$1$ から $130$ までの自然数のうち、

  • $5$ の倍数の個数 … $130÷5=26$ 個
  • $5^2$ の倍数の個数 … $130÷25=5$ あまり $5$ なので $5$ 個
  • $5^3$ の倍数の個数 … $130÷125=1$ あまり $5$ なので $1$ 個

よって、$130!$ に含まれる素因数 $5$ の個数は、$26+5+1=32$ 個

素因数 $2$ の個数は、$32$ 個よりずっと多いはずなので、$130!$ に含まれる因数 $10$ の個数は $32$ 個となる。

したがって、末尾に $0$ は $32$ 個連続して並ぶ。

(解答終了)

階乗(かいじょう)について詳しく知りたいという方は、ぜひ「階乗とは~(準備中)」の記事も読んでみてくださいね^^

最大公約数と最小公倍数を求めよう

問題. $84$ と $180$ の最大公約数および最小公倍数を求めなさい。

ラストは「最大公約数・最小公倍数」を求める問題です。

これも素因数分解を応用して、鮮やかに求めていきます。

【解答】

$84=2^2・3・7$,$180=2^2・3^2・5$ より、

  • 最大公約数 … 素因数の被りをすべてかけたもの
  • 最小公倍数 … 一番小さい公倍数

であることを利用すると、最大公約数は $2^2・3=12$ であり、最小公倍数は $2^2・3^2・5・7=1260$ である。

(解答終了)

以上のように、それぞれの数を素因数分解することによって、公約数や公倍数を視覚的に求めやすくなります。

あとは「最大・最小」の意味を考えればOKです。

ウチダのアイコン画像ウチダ
最大公約数と最小公倍数の問題をもっと解きたいという方は、「最大公約数と最小公倍数の求め方とは?【ヒント:素因数分解】」の記事をご参照ください。
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素因数分解の一意性って何?【研究】

最後に「素因数分解の一意性(いちいせい)」について軽く解説します。

※別名「算術の基本定理」とも呼ばれます。

“一意”というのは” $1$ 通り”を指すので、つまり「すべての自然数に対して、素因数分解は $1$ 通りしかありません」ということを言っています。

考える女性のアイコン画像考える女性
でもこれって、当たり前のことじゃないですか?
ウチダのアイコン画像ウチダ
そうですね。でもここから「 $1$ が素数じゃない理由」もわかるんですよ~。

もし $1$ が素数だとすると、たとえば $18$ の素因数分解を

$$18=1・2・3^2=1^{100}・2・3^2$$

のように、幾通りにも表すことができてしまいます。

$1$ という数は、いくら掛け算しても値を変えない数であるため、注意が必要なんですね~。

また、大学数学レベルになると

  • $6=2×3=(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)$
  • $2$,$3$ も素数。$\sqrt{7}±1$ も素数。(正確には「素元(そげん)」と言います。)

みたいな集合を考えるときがあります。

ウチダのアイコン画像ウチダ
この集合は $ℤ(\sqrt{7})$ と表します。つまり自然数という集合においては当たり前のことでも、他の集合では成り立たないこともあるのです。

すごい簡単に説明しましたが、とにかく自然数で考えている以上、素因数分解の一意性は常に成り立ちますので、そこまで深く考える必要はないです。

素因数分解に関するまとめ

本記事の要点を改めてまとめます。

素因数分解は、整数問題における基本中の基本です。

ぜひ問題をたくさん解いて、速く正確にできるように訓練しておきましょう!

「整数の性質」全 25 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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以上で終わりです。

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