素因数分解のやり方のコツとは？【応用問題３選も簡単に解けます】

こんにちは、ウチダです。

さて、皆さんは「素因数分解」をしっかりマスターできたでしょうか？

[ふきだし set=”悩む男性”]「素因数分解とは何か」よくわかってないんだよな～。やり方もわかりやすく解説してほしいです。[/ふきだし]

[ふきだし set=”悩む女性”]素因数分解はできます！具体的にどう使うのか、応用問題の解き方のコツなどがあれば解説してほしいです！[/ふきだし]

素因数分解のやり方のコツは、「小さい素数から順番に」です。

本記事では、素因数分解とは何かから、素因数分解の応用問題 $3$ 選、さらには素因数分解の一意性まで

• 東北大学理学部数学科卒業
• 教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

素因数分解とは？【やり方のコツは「小さい素数から順番に」】

素因数分解で押さえておきたい基本は以下の $2$ 点です。

1. 素因数分解とは、素数の積で表すこと。
2. $2$，$3$，$5$，…と小さい素数順に割っていくこと。

たとえば $180$ という自然数を、素数の積で表してみましょう。

素因数分解にまだ慣れていない方は、必ず小さい素数から、つまり

$$2 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 11 \ , \ …$$

の順で割っていきましょう。

そうして素数でどんどん割っていくと、必ず終わりが来ます。

そう、素数が出てきたときですね。

あとはそれまでに出てきた素数をすべて掛け合わせて

と表せば、素因数分解完了です☆

[ふきだし set=”考える男性”]なるほど！やり方は理解できたよ。でも、そもそも「素因数」って何のこと？[/ふきだし]

[ふきだし set=”ウチダ”]因数とは、積の形で表したときの一つ一つの項のことを指します。つまり、素数の因数だから「素因数」、ということです。[/ふきだし]

素因数分解の練習問題

ではここで一度、素因数分解を練習しておきましょう。

(5)(6)はちょっとした工夫でより簡単になるので、ぜひ考えてみてください＾＾

【解答】

(1)　$50=2・5^2$

(2)　$42=2・3・7$

(3)　$33=3・11$

(4)　$58=2・29$

(5)　$81=9^2$ であり、$9=3^2$ なので、

$81=(3^2)^2=3^4$

(6)　$1000=10^3$ であり、$10=2・5$ なので、

$1000=(2・5)^3=2^3・5^3$

(解答終了)

この練習問題のポイントを $2$ つ挙げます。

• (3)(4)　…　$11$ や $29$ が素数であることを覚えておく
• (5)(6)　…　$81=9^2$ や $1000=10^3$ を使って計算をラクにする

特に(6)は、地道に素因数分解すると大変です。

先ほど説明した「小さい素数順に割る」とは違うやり方ですが、慣れてきたらこのように工夫して計算するのもアリです。

[ふきだし set=”ウチダ”]それから、$100$ までの素数は「エラトステネスのふるい」を使って調べておいた方が良いです。詳しくは「エラトステネスのふるいとは？【素数の求め方（見つけ方）で最適な方法です】」の記事をご覧ください。[/ふきだし]

素因数分解の応用問題３選

さて、次に考えたいのが「素因数分解を用いる応用問題」ですね。

といっても、素因数分解は整数問題を解く上での基本中の基本となるため、下手すると

応用問題 $57$ 選！！

なんて記事が出来上がりかねません。(笑)

よってここでは、超具体的に絞りに絞って

• 正の約数の個数と総和を求める問題
• 階乗の素因数の個数に関する問題
• 最大公約数と最小公倍数を求める問題

以上 $3$ 問を解説していきます。

正の約数の個数と総和を求めよう

さて、もちろん総当たりしていって

$$1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ 12 \ , \ 16 \ , \ 24 \ , \ 48$$

よって個数は $10$ 個で、

※この数式は横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

よって総和は $124$ と求めることもできます。

ただ…スマートな解き方ではないですよね～。

また、$48$ ぐらい小さな数だからいいものの、もっと大きな数になるとこの方法は厳しくなってきます。

よって、素因数分解を応用し、スマートに解くクセを付けましょう！

【解答】

$48=2^4・3$ より、正の約数の個数は$$(4+1)×(1+1)=10 \ (個)$$

正の約数の総和は

※この数式は横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

(解答終了)

いかがでしょう。

超ベリースマートですよね＾＾

[ふきだし set=”ウチダ”]なぜ素因数分解で簡単に求めることができるのか、については「約数の個数と約数の総和の求め方とは？【公式は素因数分解で導きます】」の記事で詳しく解説してます。この記事では”応用の仕方”のみ解説していきます。[/ふきだし]

階乗の素因数の個数とは？（０は連続して何個並ぶ？）

さて、階乗とは上記の通り、その自然数までの積を表します。

ここで、「末尾に $0$ が連続して何個並ぶか」というのは、$10$ という因数を何個含んでいるかによります。

よって、$130!$ に素因数 $2$ と素因数 $5$ がそれぞれ何個含まれているかを計算すればよいのですが…

これは何となく予想できますよね。

[ふきだし set=”ウチダ”]素因数 $5$ を含む数は $5$，$10$，$15$，…ですが、素因数 $2$ を含む数は $2$，$4$，$6$，…と圧倒的に多いです。[/ふきだし]

これらを踏まえると、解答は以下のようになります。

【解答】

$1$ から $130$ までの自然数のうち、

• $5$ の倍数の個数　…　$130÷5=26$ 個
• $5^2$ の倍数の個数　…　$130÷25=5$ あまり $5$ なので $5$ 個
• $5^3$ の倍数の個数　…　$130÷125=1$ あまり $5$ なので $1$ 個

よって、$130!$ に含まれる素因数 $5$ の個数は、$26+5+1=32$ 個

素因数 $2$ の個数は、$32$ 個よりずっと多いはずなので、$130!$ に含まれる因数 $10$ の個数は $32$ 個となる。

したがって、末尾に $0$ は $32$ 個連続して並ぶ。

(解答終了)

階乗（かいじょう）について詳しく知りたいという方は、ぜひ「階乗とは～（準備中）」の記事も読んでみてくださいね＾＾

最大公約数と最小公倍数を求めよう

ラストは「最大公約数・最小公倍数」を求める問題です。

これも素因数分解を応用して、鮮やかに求めていきます。

【解答】

$84=2^2・3・7$，$180=2^2・3^2・5$ より、

• 最大公約数　…　素因数の被りをすべてかけたもの
• 最小公倍数　…　一番小さい公倍数

であることを利用すると、最大公約数は $2^2・3=12$ であり、最小公倍数は $2^2・3^2・5・7=1260$ である。

(解答終了)

以上のように、それぞれの数を素因数分解することによって、公約数や公倍数を視覚的に求めやすくなります。

あとは「最大・最小」の意味を考えればOKです。

[ふきだし set=”ウチダ”]最大公約数と最小公倍数の問題をもっと解きたいという方は、「最大公約数と最小公倍数の求め方とは？【ヒント：素因数分解】」の記事をご参照ください。[/ふきだし]

素因数分解の一意性って何？【研究】

最後に「素因数分解の一意性（いちいせい）」について軽く解説します。

※別名「算術の基本定理」とも呼ばれます。

“一意”というのは” $1$ 通り”を指すので、つまり「すべての自然数に対して、素因数分解は $1$ 通りしかありません」ということを言っています。

[ふきだし set=”考える女性”]でもこれって、当たり前のことじゃないですか？[/ふきだし]

[ふきだし set=”ウチダ”]そうですね。でもここから「 $1$ が素数じゃない理由」もわかるんですよ～。[/ふきだし]

もし $1$ が素数だとすると、たとえば $18$ の素因数分解を

$$18=1・2・3^2=1^{100}・2・3^2$$

のように、幾通りにも表すことができてしまいます。

$1$ という数は、いくら掛け算しても値を変えない数であるため、注意が必要なんですね～。

また、大学数学レベルになると

• $6=2×3=(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)$
• $2$，$3$ も素数。$\sqrt{7}±1$ も素数。（正確には「素元（そげん）」と言います。）

みたいな集合を考えるときがあります。

[ふきだし set=”ウチダ”]この集合は $ℤ(\sqrt{7})$ と表します。つまり自然数という集合においては当たり前のことでも、他の集合では成り立たないこともあるのです。[/ふきだし]

すごい簡単に説明しましたが、とにかく自然数で考えている以上、素因数分解の一意性は常に成り立ちますので、そこまで深く考える必要はないです。

素因数分解に関するまとめ

本記事の要点を改めてまとめます。

• 素因数分解は、「小さい素数順に」割っていこう。
• 「約数の個数と約数の総和」「階乗の素因数の個数」「最大公約数と最小公倍数」ここらへんは要チェック！
• これからは、素因数分解ができることが前提となります。

素因数分解は、整数問題における基本中の基本です。

ぜひ問題をたくさん解いて、速く正確にできるように訓練しておきましょう！

「整数の性質」全 25 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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以上で終わりです。