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因数分解のやり方(高校で習う公式)をスッキリ解説!【たすき掛けを簡単に解く方法】

2019 9/22
因数分解のやり方(高校で習う公式)をスッキリ解説!【たすき掛けを簡単に解く方法】

こんにちは、ウチダショウマです。
今日は、数学Ⅰの最初の難関

「因数分解」

について、圧倒的にわかりやすく様々な問題パターンを網羅します!

やり方(高校で習う公式)について深く理解することで、たすき掛けも簡単にできるようになっちゃいます!

なのでこの記事を読んでいるあなたはとてもラッキーですよ♪

目次

因数分解とは?

まず、「因数分解とはなにか」についてですが、一言で言ってしまえば

「展開の逆」

ですよね。

よって、まずは展開を行う際にどういう道具があったか考える必要があります。

いくつか並べてみましょう。

  • 分配法則
  • 展開公式(乗法公式)
  • 共通な部分を置き換える

細かく分ければまだたくさんありますが、大きく分ければこの3つぐらいでしょう。

順に見ていきます。

①分配法則

例題1.$2x(3x+2)$を展開せよ。

例えばこの式を展開するとき、$2x$を$3x+2$に「分配」しますよね。

【解】

$$2x(3x+2)=6x^2+4x$$

(終了)

②展開公式(乗法公式)

例題2.$(x+3)(x-3)$を展開せよ。

例題3.$(2x+1)(x-2)$を展開せよ。

展開公式は、3乗の公式まで含めると7つほどあります。これは覚えておく必要があるでしょう。

ここでは特に狙われやすい「和と差の積」と「たすき掛けのもとになる展開」を押さえておきましょう。

【解】

$$(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9$$$$(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2$$

(終了)

③共通な部分を置き換える

例題4.$(x+y+3)(x+y-1)$を展開せよ。

分配法則で地道に計算すれば展開できますが、計算では特にいかに工夫をして楽をするかという能力が問われます。

この問題をスピードを意識して解くならば、$$x+y=A$$と置き換えることでうまくいきます。

【解】

\begin{align}(x+y+3)(x+y-1)&=(A+3)(A-1)\\&=A^2+2A-3\\&=(x+y)^2+2(x+y)-3\\&=x^2+2xy+y^2+2x+2y-3\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

※自分で置き換えた文字$A$は、きちんと$x+y$に直しましょう。

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つまり、展開における、この3つの基本の「」を考えることで因数分解ができるようになる!ということですね。

では、一つずつ見ていきましょう。

因数分解の基本1【共通因数】

問題1.$6x^2+4x$を因数分解せよ。

では早速この問題を因数分解してみましょう!

【解】

$$6x^2+4x=2x(3x+2)$$

(終了)

…あれ?これだけ…?

そう思ったそこのあなた、いい感覚です。

共通因数である$2x$をくくりだせば、それだけで因数分解終了です!

ただ、この「共通因数をくくりだす」という操作…

非常に忘れやすい!!

ので、必ず最初に共通因数はないか確かめるクセをつけましょう。
(僕もこのうっかりミスで何点落としたことか…)

因数分解の基本2【展開公式の逆】

問題2.$x^2-9$を因数分解せよ。

問題3.$2x^2-3x-2$を因数分解せよ。

この式は見た感じ共通因数はなさそうですね…

ということで、展開公式の逆(因数分解の公式)を使っていきましょう。

【解】

$$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$$$$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$$

(終了)

(2乗)ー(2乗)の形はぜひ見抜けるようになりましょう!

問題3の「たすき掛け」については、記事の後半で詳しく解説します。

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因数分解の基本3【降べきの順に整理】

問題4.$x^2+2xy+y^2+2x+2y-3$を因数分解せよ。

…あれ?基本3は「共通な部分を置き換える」じゃないの…?

ということですが、確かにそれも大切です。

しかし、このままだと共通な部分って全然見えてこないですよね。

そういうときの鉄則が、この降べきの順に整理なんですね!

では解いていきましょう。

【解】

\begin{align}x^2+2xy+y^2+2x+2y-3&=x^2+(2y+2)x+(y^2+2y-3)\\&=x^2+(2y+2)x+(y+3)(y-1)\\&=\{x+(y+3)\}\{x+(y-1)\}\\&=(x+y+3)(x+y-1)\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

何をしたかというと、まず「 $x$ について降べきの順に整理」しました。

すると、$$(y^2+2y-3)=(y+3)(y-1)$$と因数分解できるので、とりあえずやってみます。

すると、因数分解の公式が使えて、見事に上手くいくんですね~。

文字の置き換えが必要なのは、こんな問題のときですね。

問題5.$(x+y)^2+2(x+y)-3$を因数分解せよ。

この問題であれば、展開してしまうのはもったいないです!
(実は展開すると問題4と同じになります!)

ですので、$$x+y=A$$とおいて工夫して因数分解をしていきましょう。

【解】

\begin{align}(x+y)^2+2(x+y)-3&=A^2+2A-3\\&=(A+3)(A-1)\\&=\{(x+y)+3\}\{(x+y)-1\}\\&=(x+y+3)(x+y-1)\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

※ここでも自分で置いた文字$A$はきちんと元に戻しましょう。また、戻すときは必ず「()」をつけて戻すようにしましょう。今回の場合()があろうとなかろうと一緒ですが、例えば$2A$といった風に、$A$に係数がついているときは分配しなければなりません。注意しましょう

(補足)
今、わかりやすくするために、例題1~4と問題1~4の扱う数式を同じにしてみました。
なので、わからなくなった際は、例題の解答を見て、その逆をたどるようにしてみてください。

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因数分解の基本的な流れ

ここまで到達できましたか?

実際ここまでできるようになれば、7割方の問題は因数分解できると思います。

ただ、残りの3割として、「難しいたすき掛け」と「複2次式」がありますので、そちらを記事の後半で解説していきます。

とりあえずはここで、因数分解の基本的な流れについて、一度まとめておきましょう。

図をご覧ください。↓↓↓

この図のように、①~④の順で確認していき、無理そうな場合、⑤のように式を整理し、その後もう一度①~④の順に確認していく。

この手順をしっかり守れば、嘘みたいに因数分解ができるようになりますよ!

では次の章から、この基本的な流れではカバーしきれない因数分解について見ていきたいと思います。

たすき掛けのコツ

早速問題にまいりましょう。

問題6.$12x^2-17x+6$を因数分解せよ。

この問題のように、係数が大きくなると非常に厄介です。

では、たすき掛けが得意な人はどのような思考回路で一瞬にして解いてしまうのでしょう。

詳しく見ていきましょう。

ポイント1【真ん中はまず無視】

まず、一つ目のポイントは…

  • かけて12になる二つの数を見つける
  • かけて6になる二つの数を見つける

この2つの操作ですね!

「12」と「6」というのは、それぞれ「$x^2$の係数」、「定数項」になってますね。

つまり、最初は「真ん中の係数( $-17$ )は無視する」ことが大切です!

よって候補は…$$12:12×1,6×2,4×3$$$$6:6×1,3×2$$

かなり絞り込めましたね!

ここまでは学校でもほとんどの先生から習うと思いますが、次のポイントが僕的には超重要です!!

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ポイント2【真ん中の数が奇数か偶数か】

真ん中の数が奇数か偶数かを見る!!

これ、めちゃくちゃ大事です!

なぜでしょう。詳しく解説していきます。

今回の場合、真ん中の数は「-17」なので「奇数」です。

ここで、掛け算を考えた時、奇数になる場合って結構少ないんですね!

なぜなら…$$偶数×偶数=偶数$$$$偶数×奇数=偶数$$$$奇数×偶数=偶数$$$$奇数×奇数=奇数$$

この4パターンのうち、最後の「奇数×奇数」しか奇数になってないですよね。

つまりこの時点で、$$12=6×2$$という分解はあり得ない、ということがわかりますね。(ここがポイント!)

また、例えば$12=4×3$と分解したとき、3にかける数は奇数であることがわかるため、$$3×1 もしくは 3×3$$と予想がつきます。

ここまで絞れれば、あとは試行錯誤でいけるかと思います。

よって、$$12x^2-17x+6=(4x-3)(3x-2)$$しっかり因数分解することができました~^^。
(真ん中の数が偶数のときでも、真ん中の数が奇数のときほどの威力はないですが、ある程度候補は絞れます。真ん中の数が奇数のときは、この考え方を積極的に使っていきましょう!)

平方の差を利用した複2次式

問題7.$x^4+x^2+1$を因数分解せよ。

これもほんとによく出てきます。(国公立大学の入試では頻出かと思われます。この問題は落としたくないです。)

ただ、これはやり方を知らないとどうにもならないので、早速解答を見ていきましょう。

【解】

\begin{align}x^4+x^2+1&=(x^4+2x^2+1)-x^2\\&=(x^2+1)^2-x^2\\&=\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\}\\&=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{align}

※この数式は横に少しだけスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

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…解き方、ピンと来ましたか?
(因数分解の基本的な流れを踏んだけど、もうどうにもならない~!というときは、この解き方を疑ってください。)

まず、このような奇数次の項がない式を「複2次式」と言いますが、ここでのポイントはこれです。↓↓↓

無理やり2乗を作る!

この問題をパッと見た時に、$$x^4+2x^2+1$$だったらいいのに、と思った方はいるでしょうか。

その感覚をとても大切にしてほしいんですね。

つまり無理やりそれを作るために、$x^2$を足して引くという操作を行ってますよね。

すると、「(2乗)ー(2乗)」の形になりますから、和と差の積の公式で因数分解が上手くできるよ、という流れになります。

知ってないと厳しいですよね(^_^;)

なので、ここでしっかりマスターしておきましょう!!

因数分解に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日はまず、「因数分解は展開の逆であること」をベースに、「基本的な因数分解の流れ」について説明し、そのあとでカバーしきれない難しい因数分解を2つ見てきました。

因数分解は高校数学のみならず、大学に行っても当たり前のように出てきます。

因数分解できないとスタートラインにも立てないような問題も、入試だとゴロゴロありますので、ぜひ早いうちにマスターしておくことをおススメします。

因数分解は高校数学の基本

皆さんの役に立つことを切に願っております。

因数分解がマスター出来たら、次は平方完成ですね!!

↓↓↓

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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