たすきがけの仕方とは?【因数分解を早くするコツを問題6選で解説します】

こんにちは、ウチダショウマです。

さて、皆さんは数学Ⅰで習う「たすきがけ(因数分解)」をしっかりマスターできましたか?

たすきがけは今後もよく登場するスキルなので、ここで押さえておかないと後々苦労することになります。

悩む男性のアイコン画像悩む男性

たすきがけの仕方をしっかり理解して、どんな形でも因数分解できるようになりたいなぁ。

悩む女性のアイコン画像悩む女性

たすきがけの計算を早くするコツを教えてもらいたいわ。

よって本記事では、たすきがけ(因数分解)の仕方から早く計算するためのコツを、問題6問を通して

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

スポンサーリンク
目次

たすきがけの仕方とは?【コツを掴もう】

たすきがけとは

$x^2$ の係数が $1$ 以外の時に用いる、因数分解の手法の一種

のことを指します。

たすきがけ以外の因数分解の手法は、以下の記事にまとめておりますので、こちらをご参照ください。

因数分解とは~(準備中)

さて、まずは問題を実際に解いてみて、たすきがけのイメージを掴んでいきましょう。

問題1.次の式を因数分解しなさい。
(1) $2x^2-3x+1$
(2) $-2x^2+3x-1$
(3) $12x^2-17x+6$

早速(1)を、たすきがけを使って因数分解していきます。

STEP
かけて $2$( $x^2$ の係数)となるように、$2$ つ整数を書き並べる。
【たすきがけの仕方①】二次の係数に着目
STEP
かけて $1$(定数項)となるように、$2$ つ整数を書き並べる。
【たすきがけの仕方②】定数項に着目
STEP
たすきの形で掛け算をする
【たすきがけの仕方③】たすきがけをする
ウチダのアイコン画像ウチダ

上の画像のように $2×(-1)$,$1×(-1)$ とたすきの形で掛け算をすることから「たすきがけ」という名前が付けられています。

STEP
掛け算した結果を足して、$x$ の係数と一致しているか確認する
【たすきがけの仕方④】一次の係数と一致しているか確認

※ここで一致しなかったらやり直し。逆に言えば、「ここで一次( $x$ )の係数と一致するように」Step1・2を考えなければならない。

STEP
因数分解の完成
【たすきがけの仕方⑤】因数分解の完成

(解答終了)

ちなみに(2)は、

\begin{align}-2x^2+3x-1&=-(2x^2-3x+1)\\&=-(2x-1)(x-1)\end{align}

と、$-1$ をくくりだせば(1)と同じ式が出てきます。

このように、$x^2$ の係数にマイナスがある場合、まず $-1$ でくくってからたすきがけを考えるようにしましょう。

ちなみに、たすきがけの理論は以下の乗法公式から成り立っております。

【たすきがけの理論】
$(ax+b)(cx+d)=acx+(ad+bc)x+bd$
この乗法公式を逆に利用して因数分解を行うことを「たすきがけ」と呼ぶ。
※参考記事「乗法公式とは~(準備中)」

考える男性のアイコン画像考える男性

(1)のようなたすきがけであれば、できるようになったよ!ただ、(3)みたいに複雑になると、どうにも思いつかないんだよね…

ウチダのアイコン画像ウチダ

たすきがけは”スキル”なので、こういった悩みを抱える方は多いと思います。よってここからは「ウチダショウマ流たすきがけをマスターするコツ」をお教えしていきますね!

【重要】たすきがけによる因数分解を早くするコツ

たすきがけによる因数分解を早くするコツは、ズバリこれです。

①まずは真ん中の数を無視する
②次に真ん中の数が「奇数か偶数か」に着目する

①のコツはほとんどの学校で習いますが、②を教えてくれる先生は中々いません

ということで、(3) $12x^2-17x+6$ をコツ①②を使って因数分解していきましょう!

STEP
真ん中の数を無視して、掛け算の組み合わせを列挙する

真ん中の数(一次の係数)である $-17$ はとりあえず無視する。

  1. かけて $12$ になる $2$ つの自然数の組み合わせ
    • $( \ 1 \ , \ 12 \ ) \ , \ ( \ 2 \ , \ 6 \ ) \ , \ ( \ 3 \ , \ 4 \ )$ の $3$ つ
  2. かけて $6$ になる $2$ つの自然数の組み合わせ
    • $( \ 1 \ , \ 6 \ ) \ , \ ( \ 2 \ , \ 3 \ )$ の $2$ つ
ウチダのアイコン画像ウチダ

このように、それぞれの組み合わせが多いとき、$-17$ となる組み合わせを見つけるのは大変です。こういうときにコツ②が大活躍します!

STEP
真ん中の数が奇数か偶数かで候補を絞り込む

一旦マイナスは無視する。

$17$ は奇数であることから、まず

$12=2×6$ の組み合わせはありえない。
(奇数になるには、奇数×奇数の組み合わせを $1$ つは作らないといけないため)

と言える。

すると $12$ の分解方法は、$( \ 1 \ , \ 12 \ ) \ , \ ( \ 3 \ , \ 4 \ )$ のどちらか、ということがわかる。

$6$ の分解方法は絞り込めないが、奇数×奇数を作り出す必要があることから、

  • $( \ 1 \ , \ 12 \ ) \ , \ ( \ 1 \ , \ 6 \ )$ であれば、必ず $1×1=1$ となる。もう一方は $12×6=72$
  • $( \ 1 \ , \ 12 \ ) \ , \ ( \ 2 \ , \ 3 \ )$ であれば、必ず $1×3=3$ となる。もう一方は $12×2=24$
  • $( \ 3 \ , \ 4 \ ) \ , \ ( \ 1 \ , \ 6 \ )$ であれば、必ず $3×1=3$ となる。もう一方は $4×6=24$
  • $( \ 3 \ , \ 4 \ ) \ , \ ( \ 2 \ , \ 3 \ )$ であれば、必ず $3×3=9$ となる。もう一方は $4×2=8$

以上のたった $4$ パターンに絞り込むことができ、また一つの組み合わせが決まることから偶数×偶数の値も自動的に決定する。

したがって、$12=3×4$,$6=2×3$ と分解するのが正しくて、たすきがけは

【たすきがけを早くするコツ】真ん中が奇数か偶数かに着目する

となり、$(3x-2)(4x-3)$ と因数分解できる。

(解答終了)

考える女性のアイコン画像考える女性

一次の係数が奇数のときは、絞り込みがかなり楽になりますね!

ウチダのアイコン画像ウチダ

一次の係数が偶数のときは、「奇数+奇数=偶数」となってしまうため、候補が絞り込みづらいですね。仰るとおり、一次の係数が奇数のときは、このコツを使えばかなり絞り込めるのでおすすめです!

奇数と偶数の性質をうまく使ったたすきがけの方法でした。

掛け算の組み合わせが多いときは、ぜひこのコツを使って候補を絞り込んでから色々実験してみましょう!

たすきがけの練習問題3選

問題2.次の式を因数分解しなさい。
(1) $4x^2-4x-3$
(2) $-8x^2-31x+4$
(3) $16x^2-45x-9$

ということで、掛け算の組み合わせが多いたすきがけの練習問題 $3$ 問を解いてみましょう!

先ほど学んだコツを使えば、結構楽に解けますよ^^

たすきがけをマスターできるように、計算系の問題集を使ってマスターしましょう!

おわりです。

【小中高生向け】オンライン家庭教師とは?(オススメ5選をご紹介)
【大学生向け】専門書は高いのに売れない?そんなことないです(専門書買取おすすめ4選)

コメント

コメントする

目次
閉じる