たすきがけの仕方とは？【因数分解を早くするコツを問題６選で解説します】

2019年4月6日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

さて、皆さんは数学Ⅰで習う「たすきがけ（因数分解）」をしっかりマスターできましたか？

たすきがけは今後もよく登場するスキルなので、ここで押さえておかないと後々苦労することになります。

数学太郎

たすきがけの仕方をしっかり理解して、どんな形でも因数分解できるようになりたいなぁ。

数学花子

たすきがけの計算を早くするコツを教えてもらいたいわ。

よって本記事では、たすきがけ（因数分解）の仕方から早く計算するためのコツを、問題６問を通して

東北大学理学部数学科卒業
実用数学技能検定１級保持
高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

たすきがけの仕方とは？【コツを掴もう】

たすきがけとは

$x^2$ の係数が $1$ 以外の時に用いる、因数分解の手法の一種

のことを指します。

さて、まずは問題を実際に解いてみて、たすきがけのイメージを掴んでいきましょう。

問題１．次の式を因数分解しなさい。
(1)　$2x^2-3x+1$
(2)　$-2x^2+3x-1$
(3)　$12x^2-17x+6$

早速(1)を、たすきがけを使って因数分解していきます。

STEP

かけて $2$（ $x^2$ の係数）となるように、$2$ つ整数を書き並べる。

STEP

かけて $1$（定数項）となるように、$2$ つ整数を書き並べる。

STEP

たすきの形で掛け算をする

ウチダ

上の画像のように $2×(-1)$，$1×(-1)$ とたすきの形で掛け算をすることから「たすきがけ」という名前が付けられています。

STEP

掛け算した結果を足して、$x$ の係数と一致しているか確認する

※ここで一致しなかったらやり直し。逆に言えば、「ここで一次（ $x$ ）の係数と一致するように」Step1・2を考えなければならない。

STEP

因数分解の完成

(解答終了)

ちなみに(2)は、

\begin{align}-2x^2+3x-1&=-(2x^2-3x+1)\\&=-(2x-1)(x-1)\end{align}

と、$-1$ をくくりだせば(1)と同じ式が出てきます。

このように、$x^2$ の係数にマイナスがある場合、まず $-1$ でくくってからたすきがけを考えるようにしましょう。

ちなみに、たすきがけの理論は以下の乗法公式から成り立っております。

たすきがけの理論

\begin{align}(ax+b)(cx+d)=acx+(ad+bc)x+bd\end{align}

この乗法公式を逆に利用して因数分解を行うことを「たすきがけ」と呼ぶ。

数学太郎

(1)のようなたすきがけであれば、できるようになったよ！ただ、(3)みたいに複雑になると、どうにも思いつかないんだよね…

ウチダ

たすきがけは”スキル”なので、こういった悩みを抱える方は多いと思います。よってここからは「ウチダ流たすきがけをマスターするコツ」をお教えしていきますね！

【重要】たすきがけによる因数分解を早くするコツ

たすきがけによる因数分解を早くするコツは、ズバリこれです。

①まずは真ん中の数を無視する
②次に真ん中の数が「奇数か偶数か」に着目する

①のコツはほとんどの学校で習いますが、②を教えてくれる先生は中々いません。

ということで、(3)　$12x^2-17x+6$　をコツ①②を使って因数分解していきましょう！

STEP

真ん中の数を無視して、掛け算の組み合わせを列挙する

真ん中の数（一次の係数）である $-17$ はとりあえず無視する。

かけて $12$ になる $2$ つの自然数の組み合わせ
- $( \ 1 \ , \ 12 \ ) \ , \ ( \ 2 \ , \ 6 \ ) \ , \ ( \ 3 \ , \ 4 \ )$ の $3$ つ
かけて $6$ になる $2$ つの自然数の組み合わせ
- $( \ 1 \ , \ 6 \ ) \ , \ ( \ 2 \ , \ 3 \ )$ の $2$ つ

ウチダ

このように、それぞれの組み合わせが多いとき、$-17$ となる組み合わせを見つけるのは大変です。こういうときにコツ②が大活躍します！

STEP

真ん中の数が奇数か偶数かで候補を絞り込む

一旦マイナスは無視する。

$17$ は奇数であることから、まず

$12=2×6$ の組み合わせはありえない。
（奇数になるには、奇数×奇数の組み合わせを $1$ つは作らないといけないため）

と言える。

すると $12$ の分解方法は、$( \ 1 \ , \ 12 \ ) \ , \ ( \ 3 \ , \ 4 \ )$ のどちらか、ということがわかる。

$6$ の分解方法は絞り込めないが、奇数×奇数を作り出す必要があることから、

$( \ 1 \ , \ 12 \ ) \ , \ ( \ 1 \ , \ 6 \ )$ であれば、必ず $1×1=1$ となる。もう一方は $12×6=72$
$( \ 1 \ , \ 12 \ ) \ , \ ( \ 2 \ , \ 3 \ )$ であれば、必ず $1×3=3$ となる。もう一方は $12×2=24$
$( \ 3 \ , \ 4 \ ) \ , \ ( \ 1 \ , \ 6 \ )$ であれば、必ず $3×1=3$ となる。もう一方は $4×6=24$
$( \ 3 \ , \ 4 \ ) \ , \ ( \ 2 \ , \ 3 \ )$ であれば、必ず $3×3=9$ となる。もう一方は $4×2=8$

以上のたった $4$ パターンに絞り込むことができ、また一つの組み合わせが決まることから偶数×偶数の値も自動的に決定する。

したがって、$12=3×4$，$6=2×3$ と分解するのが正しくて、たすきがけは