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直線の方程式(2点を通る)の公式を証明!平行や垂直な場合の傾きの求め方も解説!

2019 10/05
直線の方程式(2点を通る)の公式を証明!平行や垂直な場合の傾きの求め方も解説!

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、中学生でも習う

「直線の方程式」

について、数学Ⅱの図形と方程式ではどんな知識を得られるのか、スッキリ解説しようと思います。

主に、2点を通る場合の公式の証明や、平行・垂直な場合の傾きの求め方を解説していきますが、ポイントは「いかに速く求められるか」です!

目次

【復習】直線の方程式(1次関数)

まず、「直線の方程式」などという少し難しい表現をしていますが、ようは1次関数です!!

つまり、がっつり中学数学の範囲ってことですね。

なのでさっそくですが、復習がてら問題を解いてみましょう!

問題.次の直線の方程式を求めよ。
(1) 傾きが $2$で、$y$ 切片が $1$
(2) 傾きが $3$で、点 $(1,2)$ を通る
(3) 2点 $(2,-1)$、$(3,0)$ を通る

まずは中学校で習う方法でいいので、正確に解いてみましょう♪

では解答です!

↓↓↓

【解答】

直線の方程式を $y=ax+b$ とおく。

(1) 条件より、$a=2,b=1$ なので、$$y=2x+1$$

(2) 条件より、$a=3$であるから、$$y=3x+b$$

点 $(1,2)$ を通るので、$x=1,y=2$ を代入して、$$2=3+b$$よって、$b=-1$ なので、$$y=3x-1$$

(3) 2点 $(2,-1)$、$(3,0)$ を通るので、代入して、$$\left\{ \begin{array}{ll} -1&=2a+b  \\ 0&=3a+b \end{array} \right.$$

連立方程式を解くと、$a=1,b=-3$ より、$$y=x-3$$

(終了)

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いかがでしょう。

全問正解できましたか?

たしかに、中学数学の知識でも求めることは可能です。

可能ですが…

時間がかかる!!!めんどくさい!!!

こう感じた経験はありませんか?

数学において一番重要なのは、言わずもがな正確性です。

ですが、次に重要となってくるのが「スピード」です。

たとえば、あなたが弁護士になりたいとします。

弁護士になるまでの道のりは大変ですが、いかに速く(効率よく)ステップアップしていくにはどうすればよいか、考えながら勉強しますよね?

そして、そういうことを考えた人の方が、速く弁護士にもなれますし、よりよい弁護士になります。

数学もそれと一緒です。

余計な遠回りをするのなら、いかに効率よくできるかを考えた方が、数学という学問も発展していくのです!

具体的にどこがめんどくさいかというと…

  • $y=ax+b$ と $a,b$ を用いてわざわざ表さなくてはならない
  • 通る2点が与えられたとき、連立方程式を解かなくてはならない

この2つだと思いますので、次の章ではこれらの悩みを実際に解決していきたいと思います!

(補足)
まず、そもそも「なぜ直線の方程式が一つに決まるの?」という疑問については、直線の方程式(つまり1次関数)は $a,b$ という2つの未知数を用いて表すことができますね!
よって、2つの未知数を決定するためには、同じ数の条件式、つまり2つの条件式が必要になるため、2つの条件さえ与えられれば直線は1つに決まる、ということになります。
(この知識は2次関数の決定を理解するうえでも非常に大切です。)

2点を通る直線が一つしかないのは、そのためですね。
(でも日本からブラジルを直線で結ぶ方法はたくさんあるじゃん!と思ったあなたはセンス抜群です。実は地球上の平面は非ユークリッド平面なので、その理論が通用しません。大学数学の内容なのでこれ以上は省略します。)

直線の方程式の基本的な求め方

この記事では、一番基本となってくるパターンをもとに問題を解いていきます。

それは、「通る1点と傾きが与えられた場合」です!

先ほどの問題で言う(2)ですね。

ではまず一般的に見ていきましょう。

例題.点 $(x_1,y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式を求めよ。

途中まで中学数学と同じ方法で解いていきます。

↓↓↓

【解答】

傾き $m$ の直線は、$$y=mx+b ……①$$と表すことができる。

①が点 $(x_1,y_1)$ を通るので、$$y_1=mx_1+b ……②$$

ここで、①-②をすることで $b$ を消去することができる!(ここがポイント!)

よって、①-②より、$$y-y_1=m(x-x_1)$$

(終了)

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いかがでしょうか!

結構きれいな形になりましたよね!

解答の途中で黄色のアンダーラインを引いたところの発想が、高校数学ならではだと、僕は思います。

今得られた結果をまとめます。

(直線の方程式の公式)
点 $(x_1,y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は、$$y-y_1=m(x-x_1)$$

ではこの公式を用いて、さきほどの問題を解いてみましょうか!

↓↓↓

(2) 傾きが $3$で、点 $(1,2)$ を通る

【別解】

公式より、$$y-2=3(x-1)$$よって、$$y=3x-1$$

(終了)

非常にスマートに求めることができました♪

※この公式の注意点としては、「マイナスが出てくる」というところだと思いますが、点 $(x_1,y_1)$ をこの式に代入したときに成り立たなくてはならないことを考えれば理解できるかと思います。

実際代入してみると、$$0=0$$となり式は成り立ちますよね。(これがもしプラスであれば常には成り立たなくなってしまいます。)

ここら辺の話がちょっと平方完成と似てますよね。

⇒参考.「平方完成のやり方って?なぜ公式にマイナスが出てくるのか?「図形の面積」を用いてわかりやすく解説!

直線の方程式(2点を通る)の求め方

では次は、最初の問題でいう(3)のパターンですが…

公式を覚える必要は全くありません!!

どういうことなんでしょう…

問題を解きながら見ていきます。

↓↓↓

(3) 2点 $(2,-1)$、$(3,0)$ を通る

【別解】

直線の方程式の公式より、$$y-0=\frac{0-(-1)}{3-2}(x-3)$$

よって、$$y=x-3$$

(終了)

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いかがでしょうか。

傾きの部分に分数が出てきましたね。

ここの意味が分かれば、先ほどの公式を使うだけで求めることができますね。

それには傾きについての理解が必須です。

図をご覧ください。

↓↓↓

中学校の時にさんざん先生に言われてきたと思いますが、「傾きとは変化の割合」であり、$$変化の割合=\frac{ y の増加量}{ x の増加量}$$でしたね!

つまり、通る2点が与えられていれば、傾きは簡単に求めることができる、というわけです!

傾きを求めることができたら、どっちでもいいので通る1点を選び、直線の方程式の公式に代入してあげましょうね♪

※もしかしたら、中学校でもこの知識を用いて、連立方程式を解かなくてよい方法で求めてきた方もいらっしゃると思います。それはとってもいいことです!

ですのでこれからは、今まで連立方程式を作って解いてきた方にも、この方法を取り入れてほしいと思います。(こっちの方が圧倒的に速いので。)

直線の方程式(平行や垂直)の求め方

それでは最後に、「平行や垂直」という条件はどのように扱えばいいのか、見て終わりにしましょう。

問題. 次の直線の方程式を求めよ。
(1) $y=2x$ と平行で、点 $(-2,-3)$ を通る
(2) $y=2x$ と垂直で、点 $(2,5)$ を通る

これは知っていると瞬殺なんですけど、知らないと結構きついんですよね…

↓↓↓

【解答】

(1) 平行なので傾きは同じである。

よって、$$y-(-3)=2\{x-(-2)\}$$

したがって、$$y=2x+1$$

(2) 垂直なので傾きはかけて $-1$ になる値である。

よって、$$y-5=-\frac{1}{2}(x-2)$$

したがって、$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

(終了)

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黄色のアンダーラインのところがポイントです!

まず平行についてですが、これは図をみていただければ何となくわかるかと思います。

↓↓↓

では垂直はどうでしょうか…

ここについては、本当にいろいろな証明があります!

その中でもわかりやすい証明を3つほど紹介しようと思います。

垂直条件の証明

まず、垂直条件を証明するにあたって調べ物をした際、素晴らしい文献を見つけたので、参考文献として載せておきます。

垂直条件の証明の参考文献はこちら
⇒参考.「垂直条件 mm′=−1 の 6 つの証明

この参考文献に載っている中でも特にわかりやすい3つの方法で、今から証明していこうと思います。

【証明1(教科書に載っているパターン)】

垂直なので三平方の定理を用いる。

≫参考記事:三平方の定理とは?【応用問題パターンまとめ10選】

△OABに三平方の定理を用いて、

\begin{align}& (m_1-m_2)^2=(1^2+{m_1}^2)+(1^2+{m_2}^2)\\&⇔ {m_1}^2-2m_1m_2+{m_2}^2={m_1}^2+{m_2}^2+2\\&⇔ -2m_1m_2=2\\&⇔ m_1m_2=-1\end{align}

※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(証明終了)

【証明2(三角形の合同)】

図のように、$OH’=m_1$ となるように点H’をとると、$$△OAH ≡ △BOH’$$が成立する。

よって、傾き $m_2$ は、$$m_2=\frac{-1}{m_1}$$したがって、$$m_1m_2=-1$$

(証明終了)

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【証明3(三角形の相似)】

△OAH ∽ △BOH となるので、$$OH:AH=BH:OH$$

よって、$$1:m_1=-m_2:1$$

※$-m_2$としなければならないのは、図より明らかに$m_2<0$であるため、プラスにしなければ長さを表せないため。

したがって、$$m_1m_2=-1$$

(証明終了)

以上3通りの証明、いかがでしょうか。

これらのことをまとめると、こうなります。

(垂直条件)
2直線 $y=m_1x+k_1$、$y=m_2x+k_2$ について、
2直線が垂直 ⇔ $m_1m_2=-1$

いろんな証明ができれば数学を面白いと感じることができるでしょう。

ぜひこの3通りの証明はしっかりと理解した上で、垂直条件は必ず覚えておくようにしましょう♪

直線の方程式に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

もう一度おさらいしますと、こういう単純な計算においては、正確性に加えてスピードが求められます!

また、基本は「通る1点と傾きが与えられた場合」です。

なぜなら、傾き=変化の割合なので、通る2点がわかっている場合はすぐに求めることができるからです。

それから、垂直条件も非常に重要かつ頻出なので、絶対に押さえておきたいところです。

また、この記事では、$y=ax+b$ という形(いわゆる基本形)しか扱いませんでしたが、$$ax+by+c=0$$なる一般形という表し方もよく出てきます。

この他にも、たとえば「2直線の交点を通る直線」なんかもよく出てきます。

これらについては、もしリクエストが多ければ記事にしたいと考えていますので、ぜひコメント欄にて気軽に教えてください♪

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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