無限等比級数とは?公式の証明を部分和を用いて解説!【収束範囲や図形問題への応用アリ】

こんにちは、ウチダショウマです。
今日は、数学Ⅲで習う

「無限等比級数」

について解説していきます。

ウチダ

前半では公式の証明を部分和から解説していき、後半では応用問題(収束範囲を求める問題や図形への活用)を見ていきましょう

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目次

無限等比級数とは?

まず、聞き慣れない言葉「級数」が出てきたので、調べてみましょう。

数学における級数とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。
Wikipediaより引用

…なんか難しいですね。

ようするに、無限個足し合わせたもの」を”級数”と言うんですね!

※無限級数でも級数でも構いませんが、「無限級数の和」という言い方は間違いなので気を付けましょう。「頭痛が痛い」「新しい新居」「古い古時計」みたいな日本語になってしまいます。

ここで今回見ていきたい重要な級数が、無限”等比“級数ということで、「等比数列の項を無限個足し合わせたもの」になります。

では、次の章では無限等比級数の公式を、等比数列の和の公式から具体的に考えていきましょう。

無限等比級数の公式の証明

等比数列の和の公式は、こんな形でした。

等比数列の和の公式

公比$r<1$のとき、$$S(n)=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
公比$r>1$のとき、$$S(n)=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
公比$r=1$のとき、$$S(n)=a×n$$

この和は、初項から第 $n$ 項までの”部分的な”和なので、「部分和」と言ったりします。

今回注目したいのが、この部分和の式の$$r^n$$というところです。

皆さん、指数関数を数学Ⅱで勉強したと思いますが、指数関数の形って大きく分けて $2$ つありましたよね。

図をご覧ください。↓↓↓

※$a>0$としています。

$y=a^x$の $a$ のことを「底」と言いますが、この底が$$1より大きい  or  1より小さい$$この2つの場合でグラフの形が大きく変わりましたね。

ウチダ

ちなみに、$a=1$ では、$y=1^x=1$ となり定数関数になりますね。

ここで、$x→∞$のときを考えると、$$a>1のとき、a^x→∞$$$$a<1のとき、a^x→0$$こういう大きな違いがありますね。

さあ、ここで等比数列の和の公式に戻ってみましょう。

すると、$r>1$のときは、$$n→∞とすると、r^n→∞$$ですね!

つまり、$$S(n)→∞$$に発散してしまいます。
($r=1$のときも、$S(n)=an→∞$に発散しますね。)

そういうふうに考えていくと…

「$n→∞$としたとき、$r^n→0$にならないと収束しない!」

この事実に気づくと思います。
($r≦-1$のときは「振動」とも呼びますが、振動も発散の一種なのでここでは省略します。ようは具体的な値がわからないってことですからね。)

つまり、たくさんかけて $0$ に近づく数というのは、$$|r|<1$$ですから、まとめるとこうなります!

(無限等比級数の公式) 初項を$a$とする。
公比$-1<r<1$のとき、$$\lim_{n\to\infty}S(n)=\frac{a}{1-r}$$
それ以外では、振動も含めて発散する。
ウチダ

負の数については省略してきましたが、例えば $\displaystyle -\frac{1}{2}$ をたくさんかけていくと $0$ に近づいていきますよね。そのイメージだけで大丈夫です!

等比数列の和の公式よりもスッキリした形になりました!

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無限等比級数の例題

ではこの章では、実際にどういう問題が解けるようになるか見ていきましょう。

細かく分ければもっとたくさんありますが、本質的には

  1. 収束、発散を調べ、収束するならその和を求める。
  2. 収束条件、発散条件を調べる。
  3. 循環小数を既約分数で表す。(数学Ⅰでも別の方法で習う。)

この3つしかありません。

ですので、一つ一つしっかり見ていきましょう。
(発散はあまり面白くないと思いますので、ここでは「収束」に焦点を当てた問題を解いていきます!)

問題1【収束を調べ和を求める】

問題1.次の無限等比級数が収束することを示し、その和を求めよ。
\begin{align}(\sqrt{3}-1)+(4-2\sqrt{3})+(6\sqrt{3}-10)+…\end{align}

※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

公比が何なのか少しわかりづらいですが、分母の有理化ができれば大丈夫です!

【解】

公比を $r$ とすると、

\begin{align}r&=\frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\\&=\frac{(4-2\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\&=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}\\&=\sqrt{3}-1\end{align}

$1<\sqrt{3}<2$より、$0<\sqrt{3}-1<1$であるから、この無限等比級数は収束する。

また、その和は、

\begin{align}\frac{a}{1-r}&=\frac{\sqrt{3}-1}{1-(\sqrt{3}-1)}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2-\sqrt{3}}\\&=\frac{(\sqrt{3}-1)(2+\sqrt{3})}{4-3}\\&=1+\sqrt{3}\end{align}

(終了)

公比が $0$ より大きく $1$ より小さいことを示すところがポイントですね!

あとは公式に当てはめて解きましょう!

(分母の有理化は確実にできるようにしておきましょう。)

問題2【収束条件を求める】

問題2.無限等比級数
\begin{align}x+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{(1+x)^2}+\frac{x}{(1+x)^3}+…\end{align}

※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)
が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ。ただし、$x≠-1$とする。

つまり $x$ に条件をつけてあげて収束するように持っていけばいいんですね!

ではやっていきましょう。

【解】

この級数は、初項 $x$、公比 $\displaystyle \frac{1}{1+x}$ の無限等比級数である。

よって、収束する条件は、$$x=0 ……①または-1<\frac{1}{1+x}<1$$である。(ここがポイント!)

ここで、$x>-1$のとき、$1+x>0$なので、

\begin{align}-1<\frac{1}{1+x}<1&⇔-(1+x)<1<1+x\\&⇔x>-2かつx>0\\&⇔x>0\end{align}

$x>-1$との共通範囲を求めると、$$x>0 ……②$$

次に、$x<-1$のとき、$1+x<0$なので、

\begin{align}-1<\frac{1}{1+x}<1&⇔-(1+x)>1>1+x\\&⇔x<-2かつx<0\\&⇔x<-2\end{align}

$x<-1$との共通範囲を求めると、$$x<-2 ……③$$

①~③より、$$x<-2,0≦x$$

(終了)

分母 $1+x$ を払うためにすべての辺に $1+x$ をかけるのですが、$1+x$ がマイナスの時は不等号の向きが変わるので注意してください!

なので、絶対値の扱いに慣れている方は、こちらの別解の方がスムーズにいくと思います。

【別解】

$$-1<\frac{1}{1+x}<1⇔\frac{1}{|1+x|}<1$$であるから、両辺に$|1+x|(>0)$をかけると、(ここがポイント!)

\begin{align}\frac{1}{|1+x|}<1&⇔1<|1+x|\\&⇔1+x<-1,1<1+x\\&⇔x<-2,0<x\end{align}

(他は解と同様。)

ウチダ

不等式を扱う際は、両辺に同じ数をかけるとき、その数がプラスかマイナスかを必ずチェックしてくださいね。

問題3【循環小数を既約分数で表す】

問題3.循環小数$0.\dot{3}$を既約分数で表せ。

まずは数学Ⅰで習う通常の方法で解いてみます。

【解】

$x=0.3333…$とおく。

ここで、$$10x-x=(3.3333…)-(0.3333…)=3$$となるので、$$9x=3$$よって、$$x=\frac{1}{3}$$

(終了)

循環する桁数が今回の場合1桁なので、$10^1=10$倍したものから元の数を引けば、小数点以下がきれいに消えるという方法です。

ではこれを、無限等比級数の考え方で解いてみましょう。

【別解】

\begin{align}0.3333…&=0.3+0.03+0.003+0.0003+…\\&=0.3+0.3×\frac{1}{10}+0.3×(\frac{1}{10})^2+0.3×(\frac{1}{10})^3+…\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

より、初項 $0.3$、公比 $\displaystyle \frac{1}{10}$ の無限等比級数である。

よって、

\begin{align}0.\dot{3}&=\frac{0.3}{1-\frac{1}{10}}\\&=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}\\&=\frac{3}{9}\\&=\frac{1}{3}\end{align}

(終了)

こういう考え方ができるようになってくると、数学は面白くなってきます♪

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無限等比級数の面白い使い方

それでは最後に、無限等比級数を使った面白い考え方をご紹介します!

具体的には…

  • ケーキをきれいに3等分する方法
  • 人間は亀に一生追いつけない!?ほんとに!?

この2つを取り上げます。

ウチダ

友達に自慢できる内容ですので、ぜひ楽しんでお読みください^^

ケーキをきれいに3等分する方法

皆さん、ホールケーキならまだしも、四角いケーキを3人で均等に分けるとき、困った経験はありませんか…?

そういうときはこう考えてみてください。↓↓↓

初項 $\displaystyle \frac{1}{4}$、公比 $\displaystyle \frac{1}{4}$ の無限等比級数を考えると、$$\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$$となります。

これを利用すれば、$4$ 等分したうち $3$ つを $3$ 人に分けて、余った一つをまた $4$ 等分して…と繰り返していけば、結果ケーキはきれいに $3$ 等分できるというお話です!

ウチダ

現実世界にも応用できますが、あまりにも小さくなりすぎて切れなくなってしまった場合は、3人の中で一番食いしん坊な人が食べることにしましょう。(笑)

アキレスと亀

こちらは結構有名なパラドックスとして知られています。

どんな命題か、図をご覧ください。↓↓↓

「いやいや…普通に追いつけるでしょ!!」

そう思ったそこの貴方、大正解です。

ですが、ここで古代ギリシャの哲学者「ゼノン」さんはこんなことを言いました。

だって、あなたが亀がいたところに追いついたときには亀は少し前に進んでいて、そこに追いついたときには亀はさらに少し前に進んでいて、これが永遠と繰り返されるから、いつまでたっても追いつけないんじゃないの…?

…なんか、この文面を見てしまうと、「なるほど、たしかにな~。」って思っちゃいませんか?少なくとも私は最初そう思っちゃいました(笑)。

ですが、このゼノンさんという方も、こんなことを真剣に唱えていたのではなくて、

「さあ、この論理の矛盾を示してみろっ!!」

と皆に問いかけていたにすぎないのですね。

でも、この主張を論破するのって結構難しくないですか…?

そこで、無限等比級数の出番です!

【正しくないことの証明】

最初の時点での、「あなたと亀の差」は $1$ kmです。

次に、あなたが亀がいたところに着いたとき、亀はあなたの $\displaystyle \frac{1}{2}$ 倍の速度で歩いているので、「あなたと亀の差」は $\displaystyle \frac{1}{2}$ kmです。

次は、$\displaystyle \frac{1}{4}$ km、その次は $\displaystyle \frac{1}{8}$ km、…

このように無限に続いていきます。

よって、これらをすべて足すと、初項 $1$、公比 $\displaystyle \frac{1}{2}$ の無限等比級数になっているので、$$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2(km)$$となります。

よって、この話は、あなたが歩いた距離が $2$ km未満における話であって、$2$ km地点ではぴったり追いつき、その後は普通に追い抜かすということがわかります。

(証明終了)

ようはこの問題は、

「時間」とかそういう概念を一切無視した上で成り立っている!

$2$ km未満のときの話を永遠と繰り返しているだけで、結局は $2$ km地点で追いつくわけですね。

無限等比級数に関するまとめ

無限というのは実に奥深いものです。

我々が生きているこの世の中は、どんなに巨大であっても何かしら数があり量があり…ようは「有限」なわけです。

その有限な世界にいる我々が無限について語り合うって、なんかワクワクしませんか?

数学の魅力と奥深さと難しさはそこにあるといっても過言ではありません。

ぜひ、無限を楽しんじゃってください!^^

おわりです。

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