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関数f(x)とは何か?【わかりやすく具体例3選を通して解説します】

2020 2/24
関数f(x)とは何か?【わかりやすく具体例3選を通して解説します】

こんにちは、ウチダショウマです。

皆さんは、「関数(かんすう)」と言われて、自分の言葉で説明できるでしょうか。

というのも、実は我々が生きる日常生活は、この”関数”であふれているのです。

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え!関数って数学の中だけの話だと思ってた!

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関数…?f(x)…?なんか正直よく理解できていないです。

よって本記事では、「関数f(x)とは何か」具体例 $3$ 選を通して

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

関数とは結局何なのか【1個入力したら1個出力するよ】

なんでもいいから、$1$ 個値を入力したら、$1$ 個値が出力する」という関係が成り立つ式のことを”関数(かんすう)”と呼びます。

関数とは、自動販売機のようなもの!

わかりづらいと感じる方は、「関数は自動販売機のようなもの」と覚えておきましょう。

なぜなら、自動販売機はボタンを $1$ つ押すとジュースが $1$ つ出てくるというふうに、関数と同じ仕組みで出来ているからです。

関数は「自動販売機」みたいなもの!

また、関数は英語でfunctionと言うことから、頭文字を取って「f」で表し、その次の関数はアルファベット順に「g」,「h」と使うことが多いです。

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それじゃ、たとえば $1$ つの入力に対して $2$ つの出力がある場合だってあるよね。それは「関数」とは言わないの?

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実は、ここで言う関数とは「一価関数(いっかかんすう)」のことを指し、$1$ つの入力に対して $2$ つ以上の出力がある場合、特に「多価関数(たかかんすう)」と呼ぶよ。

大学以降の数学になると、集合の大小を要素の対応関係によって表すことになるため、こう区別することが多いですが、高校まではそこまで考える機会は少ないです。

なので、関数と言ったら一価関数のことを指していると理解していればOKです。

それでは、具体例を通して、より深く学んでいきましょう。

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関数の具体例3選を簡単に解説します

小学校~高校の間で習う代表的な関数 $3$ つを並べてみました。

  1. 比例・反比例
  2. 一次関数・二次関数
  3. 三角関数

順に見ていきましょう。

比例・反比例

小学5年生~中学1年生で習う「比例・反比例」は、最初に習う関数として印象に残っているかと思います。

≫参考記事:比例・反比例とは~(準備中)

例題.次の式が成り立つとき、$y$ は $x$ の関数であると言えるか、答えなさい。
(1) $y=2x$
(2) $\displaystyle y=\frac{4}{x}$

(1)が比例の関係、(2)が反比例の関係でしたね。

さて、この問題では、「 $y$(出力)$x$(入力)の関数であるか」。

つまり、$x$ に値を $1$ つ代入したときに、$y$ が $1$ つに決まることを確認すればOKです。

比例・反比例が関数であることの確認問題

ためしに、第一象限におけるそれぞれのグラフを書いてみました。

グラフを書けば、$x$ を決めたら $y$ も $1$ つに決まることは明らかですね。

≫参考記事:第一象限・第二象限・第三象限・第四象限はどこ?【数学的な意味とは】

ウチダのアイコン画像ウチダ

ちなみに、比例・反比例は「入出力を交換しても」関数となります。つまり、$y$ を決めたら $x$ が $1$ つに決まる、ということです。これもグラフからすぐにわかりますね。

注意:x が 0 のときは?

$1$ つ注意点があるとすれば、(2)の反比例において $x=0$ のときをどう考えればいいのか、ということですが…

これは考える必要がない、というより「考えてはいけない」が結論です。

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たしかに、$x=0$ を代入したら分母に $0$ が来てしまうから、$y$ の値は決まらないわね。

ウチダのアイコン画像ウチダ

こういうときは、「もともと $x=0$ の場合は除かれている」と考えるのがコツだよ。これを「定義域(ていぎいき)」と言い、反比例のグラフでは特に注意しよう。

つまり $x=0$ という値を代入しても( $1$ つの入力)、$y$ の値が決まらない( $0$ つの出力)と関数とは言えないため、$x=0$ の場合は除かなくてはいけない、ということになります。

$\displaystyle y=\frac{4}{x}$ の本当の意味は、$\displaystyle y=\frac{4}{x} \ (x≠0)$ だから注意が必要!

詳しくは以下の $2$ 記事が参考になるかと思います。

【追記】y=f(x)の意味とは?

そういえば解説していなかったので補足しておきます。

$f(x)$ という表示の意味は「 $x$ の関数(function)」です。

つまり、$y=f(x)$ をそのまま文章で表せば「 $y$ は $x$ の関数である」となりますね!

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なるほど!「問題文の中によ~く出てくるから何だろう…」と思っていたけど、関数であることを暗示しているだけだったんだね!

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そういうことになりますね。問題文中に $y=f(x)$ が出てきたら「あっ、問題文の数式で出てくる $y$ は $x$ の関数なんだ~」と思えばOKです。

一次関数・二次関数

さて、次に習う関数が「一次関数・二次関数」です。

一次関数は中1~中2で学び、二次関数は中3~高1で学びます。

例題.次の式が成り立つとき、$y$ は $x$ の関数であると言えるか、答えなさい。
(1) $y=3x+2$
(2) $y=2x^2+1$

(1)は $x$ の最高次数が $1$ なので”一次関数”、(2)は $x$ の最高次数が $2$ なので”二次関数”ですね。

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比例 $y=ax$ は、一次関数 $y=ax+b$ の特殊な場合だったね!
ところで、これも変わらず $y$ は $x$ の関数でしょ?

ウチダのアイコン画像ウチダ

もちろん、$1$ つの $x$ に対して $y$ が $1$ つに定まるので、これらも関数と言えます。しかし…二次関数に対しては一つ注意点があります。

実は二次関数 $y=2x^2+1$ は、$y$ は $x$ の関数であると言えますが、$x$ は $y$ の関数とは言えません。

つまり、逆は成り立たないということになります。

二次関数の注意点(入出力を入れ替えると、関数ではなくなる)

二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のように、$y$ は $x$ の関数であっても、入出力を交換したものが関数ではない、ということはよくあります。

(今回の場合は、$x$ は $y$ の二価関数と言えます。)

頭の片隅に入れておきましょう。

三角関数

最後に少し難しいですが、その分応用も幅広い関数をご紹介したいと思います。

それは、高校1~2年生で習う「三角関数(さんかくかんすう)」と呼ばれる関数です。

三角関数とは、$1$ つの角度 θ(シータ)に対する関数のことで、$\sin θ$,$\cos θ$,$\tan θ$(サイン,コサイン,タンジェント)の $3$ 種類がある。

三角関数の定義については、以下の記事をご参考ください。

さて、sin,cos,tan の $3$ つを合わせて三角関数と言いますが、これらのグラフはとても面白い形をしています。

三角関数のグラフは、波のように見える

考える女性のアイコン画像考える女性

ずっと同じような形を繰り返しているのも、波っぽく見える理由ですね!

ウチダのアイコン画像ウチダ

こういう関数のことを「周期関数(しゅうきかんすう)」と言い、物理でよく扱う”振動・波動現象”が、この三角関数ですべて説明がつきます!

どういうことかというと、例えば以下のような複雑な振動でも、三角関数の和の形で表すことができるのです。

フーリエ変換とは(三角関数の主な応用例)

この技術は「フーリエ変換」と呼ばれ、主な応用例としては画像圧縮の技術があります。

画像圧縮…実は我々がよく目にする画像には周波数の偏りがあり(周波数が低い成分が多く、周波数が高い成分は少ない)、フーリエ変換の技術を使って画像を再構成することができる(JPEGなど)。

すごいざっくりした説明ですので、より詳しい内容を知りたい方は以下の記事をご参照ください。
※大学生向けの内容なので難しいです。

フーリエ変換とは~(準備中)

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【質問】逆に関数じゃないものって、例えば何があるの?

ここまでは、代表的な $3$ 種類の関数を見てきました。

では逆に、「関数ではないもの」とは一体何なんでしょうか。

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何となくだけど、関数じゃないものの方が珍しいようにも思えてくるよね。

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そんなことはありません。関数の例の一つに挙げた「二次関数」で、$x$ と $y$ を入れ替えたら関数ではなくなったことをよ~く思い出してみてください。

二次関数において、$x$ と $y$ を逆にしたら関数ではなくなった(正確には、一価関数ではなく二価関数になった)ことを応用すれば、たとえば以下のようなグラフが“関数ではないものの例”として考えられます。

関数じゃないグラフ

さすがに上記のグラフは考える機会がほとんどないと思いますが、関数でないものの中でも極めて重要なものの一つとしては「円の方程式」が挙げられます。

少し詳しく解説していきます。

円の方程式とは?

円の方程式は数学Ⅱ(高2)で詳しく学びます。

中心が $( \ a \ , \ b \ )$,半径が $r$ である円の方程式は、$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ と表すことができる!

たとえば $x^2+y^2=1$ という方程式は、中心が $( \ 0 \ , \ 0 \ )$ つまり原点,半径が $1$ の円を表します。

単位円の方程式(数学Ⅱ)
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あ!円は関数ではないから、「円の方程式」という言い方をするんですね。

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その通り!少し語弊がありますが、関数は方程式の一種であるともとらえることができます。まあこれは…関数の意味合い( $1$ つ入力すると $1$ つ出力する)からするとズレていますが、困ったときは“方程式”という言い方をしましょう。

円の方程式に関する詳しい解説は、以下の記事をご覧ください。

円の方程式とは~(準備中)

関数のまとめ

それでは本日のまとめです。

  1. 関数とは、$1$ 個値を入力したら $1$ 個出力するよー、という関係が成り立つ方程式のことを指します。
  2. ~関数はさまざまあり、どれも重要です。
  3. 高校1年生で「二次関数」をしっかり学びます。

関数の特徴を理解していくことで、世界の仕組み、地球の仕組み、すなわち宇宙の仕組みをとらえていくことができます。

(数学はそれくらい高貴な学問ですからね^^)

ぜひ、いろんな関数を学び、数学の面白さに触れていってほしいと思います。

数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。

おわりです。

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