こんにちは、ウチダです。
皆さんは、「関数（かんすう）」と言われて、自分の言葉で説明できるでしょうか。
というのも、実は我々が生きる日常生活は、この”関数”であふれているのです。
数学太郎え！関数って数学の中だけの話だと思ってた！
[/ふきだし]
数学花子関数…？f(x)…？なんか正直よく理解できていないです。
[/ふきだし]よって本記事では、「関数f(x)とは何か」具体例 $3$ 選を通して
- 東北大学理学部数学科卒業
- 実用数学技能検定１級保持
- 高校教員→塾の教室長の経験あり
の僕がわかりやすく解説します。
関数とは結局何なのか【１個入力したら１個出力するよ】
「なんでもいいから、$1$ 個値を入力したら、$1$ 個値が出力する」という関係が成り立つ式のことを”関数（かんすう）”と呼びます。
わかりづらいと感じる方は、「関数は自動販売機のようなもの」と覚えておきましょう。
なぜなら、自動販売機はボタンを $1$ つ押すとジュースが $1$ つ出てくるというふうに、関数と同じ仕組みで出来ているからです。
関数は「自動販売機」みたいなもの！
また、関数は英語でfunctionと言うことから、頭文字を取って「f」で表し、その次の関数はアルファベット順に「g」，「h」と使うことが多いです。
数学太郎それじゃ、たとえば $1$ つの入力に対して $2$ つの出力がある場合だってあるよね。それは「関数」とは言わないの？
[/ふきだし]
ウチダ実は、ここで言う関数とは「一価関数（いっかかんすう）」のことを指し、$1$ つの入力に対して $2$ つ以上の出力がある場合、特に「多価関数（たかかんすう）」と呼ぶよ。
[/ふきだし]大学以降の数学になると、集合の大小を要素の対応関係によって表すことになるため、こう区別することが多いですが、高校まではそこまで考える機会は少ないです。
なので、関数と言ったら一価関数のことを指していると理解していればOKです。
それでは、具体例を通して、より深く学んでいきましょう。
関数の具体例３選を簡単に解説します
小学校～高校の間で習う代表的な関数 $3$ つを並べてみました。
- 比例・反比例
- 一次関数・二次関数
- 三角関数
順に見ていきましょう。
比例・反比例
小学５年生～中学１年生で習う「比例・反比例」は、最初に習う関数として印象に残っているかと思います。
≫参考記事：比例・反比例とは～（準備中）
例題．次の式が成り立つとき、$y$ は $x$ の関数であると言えるか、答えなさい。
(1) $y=2x$
(2) $\displaystyle y=\frac{4}{x}$
(1)が比例の関係、(2)が反比例の関係でしたね。
さて、この問題では、「 $y$（出力）が $x$（入力）の関数であるか」。
つまり、$x$ に値を $1$ つ代入したときに、$y$ が $1$ つに決まることを確認すればOKです。
ためしに、第一象限におけるそれぞれのグラフを書いてみました。
グラフを書けば、$x$ を決めたら $y$ も $1$ つに決まることは明らかですね。
≫参考記事：第一象限・第二象限・第三象限・第四象限はどこ？【数学的な意味とは】
ウチダちなみに、比例・反比例は「入出力を交換しても」関数となります。つまり、$y$ を決めたら $x$ が $1$ つに決まる、ということです。これもグラフからすぐにわかりますね。
[/ふきだし]注意：x が 0 のときは？
$1$ つ注意点があるとすれば、(2)の反比例において $x=0$ のときをどう考えればいいのか、ということですが…
これは考える必要がない、というより「考えてはいけない」が結論です。
数学花子たしかに、$x=0$ を代入したら分母に $0$ が来てしまうから、$y$ の値は決まらないわね。
[/ふきだし]ウチダこういうときは、「もともと $x=0$ の場合は除かれている」と考えるのがコツだよ。これを「定義域(ていぎいき)」と言い、反比例のグラフでは特に注意しよう。
[/ふきだし]つまり $x=0$ という値を代入しても（ $1$ つの入力）、$y$ の値が決まらない（ $0$ つの出力）と関数とは言えないため、$x=0$ の場合は除かなくてはいけない、ということになります。
$\displaystyle y=\frac{4}{x}$ の本当の意味は、$\displaystyle y=\frac{4}{x} \ (x≠0)$ だから注意が必要！
詳しくは以下の $2$ 記事が参考になるかと思います。
定義域から値域を求める問題など５選
一次関数と二次関数の決定的な違い
これらについて、わかりやすく丁寧に解説します。 「定義域や値域が出てくる問題がよくわからない…」と感じている方は必見です。
【追記】y=f(x)の意味とは？
そういえば解説していなかったので補足しておきます。
$f(x)$ という表示の意味は「 $x$ の関数(function)」です。
つまり、$y=f(x)$ をそのまま文章で表せば「 $y$ は $x$ の関数である」となりますね！
数学太郎なるほど！「問題文の中によ～く出てくるから何だろう…」と思っていたけど、関数であることを暗示しているだけだったんだね！
[/ふきだし]ウチダそういうことになりますね。問題文中に $y=f(x)$ が出てきたら「あっ、問題文の数式で出てくる $y$ は $x$ の関数なんだ～」と思えばOKです。
[/ふきだし]一次関数・二次関数
さて、次に習う関数が「一次関数・二次関数」です。
一次関数は中１～中２で学び、二次関数は中３～高１で学びます。
例題．次の式が成り立つとき、$y$ は $x$ の関数であると言えるか、答えなさい。
(1) $y=3x+2$
(2) $y=2x^2+1$
(1)は $x$ の最高次数が $1$ なので”一次関数”、(2)は $x$ の最高次数が $2$ なので”二次関数”ですね。
数学太郎比例 $y=ax$ は、一次関数 $y=ax+b$ の特殊な場合だったね！
ところで、これも変わらず $y$ は $x$ の関数でしょ？
ウチダもちろん、$1$ つの $x$ に対して $y$ が $1$ つに定まるので、これらも関数と言えます。しかし…二次関数に対しては一つ注意点があります。
[/ふきだし]実は二次関数 $y=2x^2+1$ は、$y$ は $x$ の関数であると言えますが、$x$ は $y$ の関数とは言えません。
つまり、逆は成り立たないということになります。
二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のように、$y$ は $x$ の関数であっても、入出力を交換したものが関数ではない、ということはよくあります。
（今回の場合は、$x$ は $y$ の二価関数と言えます。）
頭の片隅に入れておきましょう。
三角関数
最後に少し難しいですが、その分応用も幅広い関数をご紹介したいと思います。
それは、高校１～２年生で習う「三角関数（さんかくかんすう）」と呼ばれる関数です。
三角関数とは、$1$ つの角度 θ（シータ）に対する関数のことで、$\sin θ$，$\cos θ$，$\tan θ$（サイン，コサイン，タンジェント）の $3$ 種類がある。
三角関数の定義については、以下の記事をご参考ください。
さて、sin，cos，tan の $3$ つを合わせて三角関数と言いますが、これらのグラフはとても面白い形をしています。
数学花子ずっと同じような形を繰り返しているのも、波っぽく見える理由ですね！
[/ふきだし]ウチダこういう関数のことを「周期関数（しゅうきかんすう）」と言い、物理でよく扱う”振動・波動現象”が、この三角関数ですべて説明がつきます！
[/ふきだし]どういうことかというと、例えば以下のような複雑な振動でも、三角関数の和の形で表すことができるのです。
この技術は「フーリエ変換」と呼ばれ、主な応用例としては画像圧縮の技術があります。
すごいざっくりした説明ですので、より詳しい内容を知りたい方は以下の記事をご参照ください。
※大学生向けの内容なので難しいです。
フーリエ変換とは～（準備中）
【質問】逆に関数じゃないものって、例えば何があるの？
ここまでは、代表的な $3$ 種類の関数を見てきました。
では逆に、「関数ではないもの」とは一体何なんでしょうか。
数学太郎何となくだけど、関数じゃないものの方が珍しいようにも思えてくるよね。
[/ふきだし]ウチダそんなことはありません。関数の例の一つに挙げた「二次関数」で、$x$ と $y$ を入れ替えたら関数ではなくなったことをよ～く思い出してみてください。
[/ふきだし]二次関数において、$x$ と $y$ を逆にしたら関数ではなくなった（正確には、一価関数ではなく二価関数になった）ことを応用すれば、たとえば以下のようなグラフが“関数ではないものの例”として考えられます。
さすがに上記のグラフは考える機会がほとんどないと思いますが、関数でないものの中でも極めて重要なものの一つとしては「円の方程式」が挙げられます。
少し詳しく解説していきます。
円の方程式とは？
円の方程式は数学Ⅱ（高２）で詳しく学びます。
中心が $( \ a \ , \ b \ )$，半径が $r$ である円の方程式は、$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ と表すことができる！
たとえば $x^2+y^2=1$ という方程式は、中心が $( \ 0 \ , \ 0 \ )$ つまり原点，半径が $1$ の円を表します。
数学花子あ！円は関数ではないから、「円の方程式」という言い方をするんですね。
[/ふきだし]ウチダその通り！少し語弊がありますが、関数は方程式の一種であるともとらえることができます。まあこれは…関数の意味合い（ $1$ つ入力すると $1$ つ出力する）からするとズレていますが、困ったときは“方程式”という言い方をしましょう。
[/ふきだし]円の方程式に関する詳しい解説は、以下の記事をご覧ください。
円の方程式とは～（準備中）
関数のまとめ
それでは本日のまとめです。
- 関数とは、$1$ 個値を入力したら $1$ 個出力するよー、という関係が成り立つ方程式のことを指します。
- ～関数はさまざまあり、どれも重要です。
- 高校１年生で「二次関数」をしっかり学びます。
関数の特徴を理解していくことで、世界の仕組み、地球の仕組み、すなわち宇宙の仕組みをとらえていくことができます。
（数学はそれくらい高貴な学問ですからね＾＾）
ぜひ、いろんな関数を学び、数学の面白さに触れていってほしいと思います。
数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。
おわりです。
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