直角三角形の合同条件を使った証明とは【なぜ2つ増えるのか】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、中学2年生で習う

「直角三角形の合同条件」

について、まず「そもそもなぜ成り立つのか」を考察し、次に直角三角形の合同条件を使った証明問題を解説していきます。

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目次

直角三角形の合同条件2つ

まず、一般的な三角形における合同条件3つについて、理解を深めておく必要があります。

だって、直角三角形は、特殊な場合ですからね。

「三角形の合同条件」に関する記事をまだ読まれていない方は、こちらからご覧いただきたく思います。

↓↓↓

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さて、三角形の合同条件は

  • 三辺相等(3組の辺がそれぞれ等しい)
  • 二辺夾角相等(2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい)
    ※夾角は「きょうかく」と読み、「挟まれた角」という意味の言葉です。
  • 一辺両端角相等(1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい)

この $3$ つでした。

そこに「直角三角形である」という条件が増えるだけで…

  • 斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい
  • 斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい

この $2$ つが新たに合同条件として加わります。

ようは、直角三角形であれば、$$3+2=5(通り)$$もの合同条件が存在するのです。

では、今新たに加えた二つの条件が「なぜ合同条件になるのか」一緒に紐解いていきましょう。

斜辺と一つの鋭角

さて、これが合同条件になる証明は実に簡単です。

早速見ていきましょう。

↓↓↓

【証明】

三角形の内角の和は $180°$ であるので、$2$ つの角が求まれば、$3$ つ目の角も自動的に決まる。

つまり、

\begin{align}∠BAC&=180°-(∠ABC+∠ACB)\\&=180°-(∠DEF+∠DFE)\\&=∠EDF\end{align}

したがって、1組の辺とその両端の角が等しいので、$$△ABC ≡ △DEF$$

(証明終了)

三角形では、$2$ つの角が決まれば $3$ つ目の角も自動的に決まります。

よって、この合同条件は何も直角三角形に限った話ではありません。

しかし、もう一つの合同条件は、直角三角形ならではのものになります。

詳しく見ていきましょう。

斜辺と他の一辺【なぜ】

この合同条件は、言うなれば「2組の辺とその間以外の角がそれぞれ等しい」ですね。

一般的な三角形では、「2組の辺とその間の角」でなければ成立しませんでした。

一体、直角三角形に何が起きているのでしょうか。

$3$ つの見方で考えていきます。

反例を考える

三角形の合同条件の記事では、「2組の辺とその間以外の角がそれぞれ等しい」ではダメな理由として、反例を考えました。

↓↓↓

反例が作れる場合は、垂線 BH を引けるときのみです。

このとき、△ABC と △ABD が反例になります。

つまり、「2組の辺とその間以外の角がそれぞれ等しいが、合同にはなっていない」ということです。

また、△ABC は鋭角三角形であるのに対し、△ABD は鈍角三角形です。

以上を踏まえると…

  • 直角三角形は、垂線 BH=BC であるため、新たに垂線が引けない。
  • 一つの角度が直角、つまり $90°$ であれば、鈍角の角度は作れない。

この $2$ つの理由から、直角三角形においては反例が作れなさそうですよね!

ただ、「そもそもこれ以外に反例が存在しないこと」を示すのは困難です。

よって、理解の一環として押さえていただければ、と思います。

二等辺三角形を作る

△ABC と △DEF を、以下の図のようにくっつけてみます。

↓↓↓

※ $BC=EF$ としてましたが、図の都合上 $AC=DF$ としました。ご了承ください。

すると、$AC=DF$ かつ $∠ACB=∠DFE=90°$ より、きれいにピッタリくっつきますね!

また、$AB=AF$ であるため、△ABF は二等辺三角形になります。

ここで、二等辺三角形の性質より、$$∠ABF=∠AFB$$が言えます。

よって、斜辺と一つの鋭角が等しくなったため、$$△ABC ≡ △DEF$$が示せました。

視覚的にもわかりやすくて、非常に良い考え方ですね。

「二等辺三角形」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒二等辺三角形の定義・角度の性質を使った証明問題などを解説!

三平方の定理を使う

直角三角形において、以下の定理が成り立ちます。

↓↓↓

この定理は「三平方の定理(またはピタゴラスの定理)」と呼ばれ、中学3年生に習うものです。

おそらく、数学から大分離れた社会人の方でも、この定理は覚えている。

そのぐらい有名かつ重要な定理です。

さて、この定理の証明方法は複数ありますが、認めて話を進めます。

今、斜辺と他の一辺の長さがわかっています。

つまり、この図で言う $c$ と $a$ が与えられています。

このとき、三平方の定理より、$$b^2=c^2-a^2$$なので、$b^2$ は一つに定まります。

また、$b>0$ であるので、$b$ の値も一つに定まります。

したがって、直角三角形では $2$ 辺の長さが与えられれば、もう一辺も自動的に求まることが証明できました。

「三平方の定理」に関する詳しい解説はこちらをどうぞ

↓↓↓

三平方の定理とは?【応用問題パターンまとめ10選】

直角三角形の合同条件を使った証明問題3選

それでは最後に、直角三角形の合同条件を使った証明問題の中でも、代表的なものを解いていきましょう。

具体的には

  • 角の二等分線
  • 直線と垂線
  • 折り返し図形

以上 $3$ つを、上から順に考察していきます。

角の二等分線【中1作図】

問題. 下の図で、$PA=PB$ のとき、直線 ℓ が $∠XOY$ の二等分線であることを示せ。

中学1年生で「角の二等分線の作図」を習います。

その際、「角の二等分線上の点ならば、$2$ 直線との距離が等しい。」という性質を学びます。

この問題はその逆の証明。

つまり、 $2$ 直線との距離が等しい点であれば、角の二等分線上の点である。を示せという問題です。

ここで直角三角形の合同条件が大いに活躍します。

【証明】

△OAP と △OBP について、

$$OP は共通 ……①$$

$$∠OAP=∠OBP=90° ……②$$

仮定より、$$AP=BP ……③$$

①~③より、直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいから、$$△OAP≡△OBP$$

したがって、合同な図形の対応する角は等しいから、$$∠AOP=∠BOP$$

(証明終了)

今まで学んできた知識の欠陥部分を埋める作業は極めて重要です。

角の二等分線に対する知識を深めていきましょう♪

「角の二等分線」に関する詳しい解説はこちらからどうぞ

⇒⇒⇒「角の二等分線と比の定理とは?作図方法(書き方)や性質の証明を解説!【外角の問題アリ】

【重要】直線と垂線【応用】

次は、非常に出題されやすい応用問題です。

問題. $△ABC$ は直角二等辺三角形である。点 $A$ を通る直線 ℓ に下した垂線をそれぞれ $BD$、$CE$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) $△ABD≡△CAE$ を示せ。
(2) $BD+CE=DE$ を示せ。

面白い図形配置ですよね!

いきなり(2)だと難しいので、このように誘導付きの場合が多いです。

(1)を利用して、(2)を導いていきましょう。

【証明】

(1) △ABD と △CAE において、

仮定より、$$AB=CA ……①$$

$$∠ADB=∠CEA=90° ……②$$

ここで、三角形の内角の和は $180°$ なので、

\begin{align}∠ABD&=180°-(∠ADB+∠BAD)\\&=90°-∠BAD ……③\end{align}

また、直線の角度も $180°$ なので、

\begin{align}∠CAE&=180°-(∠BAC+∠BAD)\\&=90°-∠BAD ……④\end{align}

③、④より、$$∠ABD=∠CAE ……⑤$$

よって、①、②、⑤より、直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいから、$$△ABD≡△CAE$$

(2) 合同な図形の対応する辺は等しいから、(1)より、

$$BD=AE , CE=AD$$

したがって、

\begin{align}BD+CE&=AE+AD\\&=DE\end{align}

(証明終了)

「一つの鋭角が等しいこと」を導くのが少し大変でしたね。

三角形の内角の和と直線の角度が $180°$ であることは本当によ~く使いますので、ぜひとも押さえていただきたく思います♪

「三角形の内角の和」に関する詳しい解説はこちらからどうぞ

⇒⇒⇒「三角形の内角の和は180度って証明できるの?【三角形の外角の定理(公式)や問題アリ】

折り返し図形

最後は、長方形を折り返してできる図形の問題です。

問題. 長方形 $ABCD$ を、対角線 $AC$ で折り返す。
点 $D$ の移動先を $E$、辺 $BC$ との交点を $F$ としたとき、$$∠BAF=∠ECF$$を示せ。

いろいろな解き方がありますが、どの解き方においても「折り返し図形の特徴」を用います。

それがいったい何なのか、ぜひ考えながらご覧ください。

【証明】

折り返しただけでは、図形の形は変わらない。

つまり、$$△ACD≡△ACE ……(※)$$が成り立つ。

ここで、△ABF と △CEF において、

(※)より、$∠AEC=∠ADC=90°$ であるから、$$∠ABF=∠CEF=90° ……①$$

(※)より、$CE=CD$ であり、長方形の対辺は等しいから、$$∠AB=CE ……②$$

対頂角は等しいから、$$∠AFB=∠CFE ……③$$

①~③より、直角三角形で斜辺と一つの鋭角が等しいので、$$△ABF≡△CEF$$

したがって、合同な図形の対応する角は等しいので、$$∠BAF=∠ECF$$

(証明終了)

折り返し図形の最大のポイントは、「折り返しただけでは図形の形は変わらないから、合同な図形が必ずできる」ところにあります。

今回の場合、$△ACD≡△ACE$ でしたね。

折り返し図形の問題パターンは、「どこを基準として折り返すか」によって多岐にわたります。

ただ、このポイントだけはすべての問題に共通しています。

その都度、どれとどれが合同な図形か考えて解くようにしましょう♪

直角三角形の合同条件に関するまとめ

三角形の合同条件は $3$ つでしたが、”直角三角形”という条件が加わることによって $2$ つ増えました。

これら $5$ つを暗記するだけでは、勉強として不十分です。

なぜ直角三角形であれば条件が増えるのかいろいろな視点で考えることで、数学力が徐々に高まります。

ぜひ「急がば回れ」の精神で、勉強を楽しんでいただきたく思います。

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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