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植木算の公式や解き方とは?教え方も図解!【応用問題アリ】【中学受験算数】

2019 9/23
植木算の公式や解き方とは?教え方も図解!【応用問題アリ】【中学受験算数】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は中学受験算数講座第3回として

「植木算」

の公式や解き方、またお子さんに教える際の適切な教え方についても、図などを用いて分かりやすく図解していきたいと思います♪

応用問題もいくつか載せてありますので、ぜひチャレンジしてみて下さい^^

中学受験算数講座第2回の「つるかめ算」に関する記事はこちらから!!

⇒⇒⇒つるかめ算の解き方を方程式や面積図を使ってわかりやすく解説!【中学受験】【練習問題アリ】

目次

植木算とは?

「植木算」というのは、例えば以下のような問題のことを指します。

↓↓↓


※この記事では「両端に木を植える場合」について考えていきます。

さて、皆さんはこの問題の答え、すぐに思いつくでしょうか。

おそらくですが、$10$ (本)もしくは $11$ (本)と答えた方が多いと思います。

ではどちらの答えが正解でしょうか。

少し考えてみて下さい^^

↓↓↓(答えあり)

【答え】

もし、ABの長さが $5$ (m)であれば、必要な木の本数は $2$ (本)である。

以下同様に、

  • もし、ABの長さが $10$ (m)であれば、必要な木の本数は $3$ (本)である。
  • もし、ABの長さが $15$ (m)であれば、必要な木の本数は $4$ (本)である。
  • もし、ABの長さが $20$ (m)であれば、必要な木の本数は $5$ (本)である。

$5$ (m)長くなるたびに、木の本数が $1$ (本)増えている。

よって、$50-5=45$ (m)長いので、必要な木の本数は $45÷5=9$ (本)増えるはずだから、答えは$$2+9=11 (本)$$となる。

(答え終わり)

いかがでしょうか。

長さを一番短くして、そこから考えてみると分かりやすいですね!

しかし、この問題のように一本道の植木算ばかりではないですし、いちいち数えるのも大変だと思います。

なので次の章からは、植木算を大きく $2$ つの場合に分けて考えていくことで、植木算の正体を明らかにしていきたいと思います!

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【両端がある】植木算

一本道の植木算のように、端が決まっている場合とそうではない場合があります。

端がない場合は後で詳しく見るとして、ここでは「両端がある」植木算について見ていきましょう。

一本道の植木算

やはり基本は「一本道」の植木算になってきます。

ここで、さっき解いた問題を、別の考え方で解いてみましょう。

↓↓↓

青の枠で囲んだ部分が解答になります。

この解答のポイントは、「木と $5$ (m)の道を $1$ セットとして数える」ところになります。

すると、そのセット数は、$$50÷5=10 (セット)$$というふうに、割り算をすることで求めることが出来ますね。

そして、最後の B 地点だけは道が続かないので、B 地点に植える木を一本加えて、答えは $$10+1=11 (本)$$となります。

実はこの考え方が植木算の公式そのものになっています!

まとめておきましょう。

↓↓↓

【植木算の公式1】
(両端に木を植える場合) $$木の数=間の数+1$$
(   〃  植えない場合) $$木の数=間の数-1$$

間の数というのが、今回でいう「セット数」になります。

セット数が $10$ 個だったので、それに $1$ を加えれば木の数になりましたね^^

また、一応書いておいた「両端に木を植えない場合」というのは、今考えている「両端に木を植える場合」から $2$ 本、木を減らせばいいだけなので、$$間の数+1-2=間の数-1$$となりますね。

この公式はとても便利なので必ず押さえておいてくださいね♪

T字型の植木算

ここからは、両端がある植木算の応用問題について見ていきます。

皆さん、しっかりついてきてくださいね。

では早速問題です!

↓↓↓

このような、T字型の道に木を植える場合、どう考えたらよいでしょうか。

下に答えがありますので、ぜひチャレンジしてからご覧ください^^

↓↓↓(答えあり)

【答え】

道をAB,CDの $2$ つに分けて考える。

それぞれの道に必要な木の本数は、植木算の公式を用いて$$AB…50÷5+1=11 (本)$$$$CD…30÷5+1=7 (本)$$

しかし、これでは C 地点の木を $2$ 回数えてしまっているので、$1$ 回だけ引く。

よって答えは、$$11+7-1=17 (本)$$

となる。

(答え終わり)

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まず最大のポイントは、「道を $2$ つの一本道に分けて考える」ところですね!

すると、さきほど学んだ公式を用いれば木の本数を求めることが出来ます。

さて、ここで注意していただきたいのが、道が重なっている C 地点のことです。

↓↓↓

よって、今 C 地点の木を $2$ 回カウントしてしまっているので、正しい答えにするためには、$1$ 本引かなくてはいけません。

したがって、$11+7-1=17$ (本)となります。

「まずは別々の一本道として考え、公式を使い、最後にうまい具合に調整する」

この流れで解けるようになると、だいぶ算数力がついてくると思います!

【両端がない】植木算

今までは端がある植木算について考えてきました。

ここからは、端がない植木算を詳しく見ていきましょう。

池の周り(円)の植木算

これもよく問われる問題ですので、しっかり押さえてくださいね^^

↓↓↓

さて、池の周りのように、両端というものが存在しない場合、どのように考えていけばよいでしょうか。

下に答えがありますので、ぜひチャレンジしてからご覧ください^^

↓↓↓(答えあり)

【答え】

一本道の場合と同じように、「木と $7$ (m)の道を $1$ セット」として考えてみよう。

すると、そのセットの数は$$140÷7=20 (セット)$$と求めることが出来る。

ここで、端がある場合、木がもう一本必要だったが、今回は端がないので、必要な木はすべてそろっている。

よって、答えは $$20 (本)$$となる。

(答え終わり)

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いかがでしょうか。

一本道のときと同じように、セット数を数えていけばよいです。

その上、最後に木を一本追加する必要はありません。

なので、円周上に木を植える場合の公式は以下のようになります。

【植木算の公式2】
(円周上に木を植える場合) $$木の数=間の数$$

一応図にまとめておきます。

↓↓↓

長方形での植木算

さて、池のように円形のものであれば端がないと言えますが、長方形のように角ばった図形であればどうでしょう。

池のときと何が違うか…少し考えてから下の図をご覧ください。

↓↓↓(図あり)

実は、池のときと違う点は何もありません!

なので、答えは$$140÷7=20 (本)$$となります。

「なぜ同じように考えていいか」というのは、地道に数えていけば分かることですが、この事実がなんと大学の数学にもつながっています。

大学の数学で「位相幾何学(トポロジー)」と呼ばれる分野があるのですが、その分野においては、図形がゴムのように柔らかいもので出来ているとします。

その上で、伸ばしたり縮めたりして同じ図形が作れるとき、その $2$ つの図形のことを同相(どうそう)であると言います。

つまり、「池と長方形はトポロジーにおいて同相である」と言えます。

ちょっと難しいですかね…。

僕もここで大学数学についてお話するとは思いませんでしたが、小学生で習う植木算ですら大学の勉強につながっていると思うと、なんかすごいですよね!

今はその感動だけ感じていただければと思います♪

それでは、ここで一問だけ練習問題を解いてみましょう。

問題. たてが $20$ (m)、横が $40$ (m)の長方形の周上に $5$ (m)間隔で木を植えるとき、必要な木の本数は?

今までの知識を使って解いてくださいね^^

↓↓↓(答えあり)

【答え】

たてが $20$ (m)、横が $40$ (m)の長方形の周の長さは$$(20+40)×2=120 (m)$$

と求めることが出来る。

よって、必要な木の本数は、$$120÷5=24 (本)$$

となる。

(答え終わり)

周の長さを求めることが出来れば、あとはスゴイ簡単ですね!

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植木算の公式の教え方

さて、両端がある場合とない場合について、植木算の公式を求めることが出来ましたね。

そこで、この記事を読んでくださっている皆様が、仮に子を持つ親御さんであるとしたら、お子さんにどう教えたいと思いますか?

私は、人に何か物事を教えるときに大事にしているものがあります。

それは、「大切な考え方と結び付ける」ということです。

そして、植木算で言う大切な考え方とは、「T字型の植木算」にあると思います。

どういうことか…図をご覧ください。

↓↓↓

お分かりいただけましたか。

一本道を折り曲げて両端をくっつけることで、円形の図形を作ることが出来ます。

そうすると、A と B が重なるので、木が $1$ 本いらなくなりますね!!

公式をもう一度見てみると…

(両端に木を植える場合)    $$木の数=間の数+1$$
(円周上に木を植える場合) $$木の数=間の数$$

たしかに、上の公式から $1$ 本少なくなっていますね!

このように、今までの教え方とリンクさせてあげることで、子供の学習スピードも上がると僕は信じています。

ぜひ参考にしていただければと思います♪

少し変わった植木算【応用】

さて、それでは最後に、少し変わった植木算について見てみましょう。

今まで見てきた植木算は、等間隔で木を植えていましたが、そうではない場合もあります。

それの代表例として、「テープをのりしろでつなぐ」植木算と「リングをつなぐ」植木算があるので、順に見ていきましょう。

テープをのりしろでつなぐ植木算

それではここからは、等間隔ではない植木算について考えます。

問題. 1枚 $8$ (cm)のテープがあり、このテープをのりしろ $2$ (cm)でつないだとき、全体の長さが $116$ (cm)だった。テープの枚数を求めよ。

まず、のりしろ $2$ (cm)でつなぐということは、$2$ (cm)分だけ重ねるという意味ですね。

したがって、以下のように考えることが出来ます。

↓↓↓

一枚目だけ $8$ (cm)で、そこから 1 枚増えるたびに $8-2=6$ (cm)長くなるんですね!

そして、それの全体の長さが $116$ (cm)でした。

さあ、どう考えるべきでしょうか。

答えは下にあります!

↓↓↓(答えあり)

【答え】

二枚目より先は $6$ (cm)ずつ増えるので、それが何回起きるかを求める。

よって、$116-8=108$ (cm)の長さについて考える。

ここで、$$108÷6=18$$より、$6$ (cm)増やすのは $18$ (回)起きたと言える。

したがって、一枚目に $18$ 回テープを重ねたことになるので、答えは$$1+18=19 (枚)$$となる。

(答え終わり)

途中太字で示しましたが、一枚目だけ法則から外れているので、$8$ (cm)引いて考えるところがポイントです!

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リングをつなぐ植木算

それでは、テープつなぎ問題とよく似た「リングつなぎ問題」も一問解いてみましょう。

問題. 外径 $8$ (cm)、太さ $1$ (cm)のリングをつないだとき、全体の長さが $116$ (cm)だった。リングの個数を求めよ。

テープとリングのつなぎ方の違いに着目すれば、さっきと同じように解くことが出来ます^^

少し考えてみてから答えをご覧ください!

↓↓↓(答えあり)

【答え】

図を見ると分かる通り、一個目が $8$ (cm)の長さで、そこから一個増えるたびに $6$ (cm)長くなる。

よって、さっきの問題と同じようにして解くことが出来るので、答えは、$$1+18=19 (個)$$となる。

(答え終わり)

リングのときの注意点は、「太さの $2$ 倍の長さが重なる」という点です。

指で輪っかを作ってつなげてみれば分かると思いますが、つなげた方の指の太さとつながれた方の指の太さ分重なりますね!

ここさえ気をつけてくだされば、あとは同じように解くことが出来ます。

ちなみに、これらの問題は、初項 $8$、公差 $6$ の等差数列として考えることもできますね。

植木算に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は、植木算を

  • 両端がある場合
  • 両端がない場合
  • 等間隔でない場合

この $3$ つに分けて考えることで、植木算の正体を明らかにしてきました。

また、教え方のコツとして、特に大切な考え方と結び付ける方法をご紹介しました。

ぜひ、公式をそのまま覚えさせるのではなく、公式の成り立ちからの深い理解をさせるように、教えてみてください^^

中学受験算数講座第4回の「旅人算」に関する記事はこちらから!!

↓↓↓

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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