こんにちは、ウチダです。
今日は、中学１年生及び中学３年生で習う
「角の二等分線」
について、まずは作図方法(書き方)とそれが正しいことの証明を学び、次に角の二等分線と辺の比の定理(性質)を学びます。
また、記事の後半では、外角に関する問題も考察していきたいと思います。
角の二等分線の書き方
角の二等分線とは、読んで字のごとく「角度」を「二等分」する線のことを指します。
まずは書き方から学んでいきましょう。
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上の図で $∠XOY$ の二等分線を書いていくとして、最初に、点 O を中心とした円を書きます。
そうしてできた交点を中心として、また円を書きます。
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※ここで書く円(②と③)は、①と同じ大きさでなくても構いません。②と③は同じ大きさの円です。
②③の交点と点 O を結んだ青の直線が、角の二等分線となります。
たった $3$ ステップしかないですし、わかりやすいですね＾＾
さて、こんなに簡単に作図ができるのですが…
「どうしてこれで角の二等分線が書けるのか」
非常に気になりますよね！！
中学１年生の段階では、作図方法しか教わらないかと思います。
なぜなら、この作図を理解するためには中学２年生で学ぶある知識が必要だからです。
角の二等分線の作図が正しいことの証明
さきほどの図に書き込みを入れてみます。
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「コンパスで曲線を書く」ということは「等距離の場所同士を結ぶ」ということになります。
ここで、作った交点を順番に A、B、C と置くと、
$$OC は共通 ……①$$$$OA=OB ……②$$$$AC=BC ……③$$以上①～③より、$3$ 組の辺がそれぞれ等しいので、$$△OAC ≡ △OBC$$が言えます。
ここで、合同な三角形の対応する角度は等しいので、$$∠AOC=∠BOC$$が言えて、OC が $∠XOY$ の二等分線であることが示せました。
この「三角形の合同条件」を習うのが、中学２年生なんです。
ですから、中学１年生の間は「なぜ作図方法が正しいのか」よくわからないまま授業が進んでしまうのですね…(^_^;)
また、三角形の合同を学ぶことで、角の二等分線に成り立つ重要な性質も理解することができます。
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点 P が ∠XOY の二等分線上の点であれば、「直線 OX、OYまでの距離が等しい」が成り立つ。
この性質は、図で見るとすごいわかりやすいです。
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△OAP と △OBP について、$$OP は共通 ……①$$$$∠OAP=∠OBP=90° ……②$$$$∠AOP=∠BOP ……③$$
以上①～③より、直角三角形で、斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので、$$△OAP ≡ △OBP$$が言えます。
ここで、合同な三角形の対応する辺の長さは等しいので、$$PA=PB$$が示せました。
今中学１年生の方であれば、中学２年生になってからでも遅くはないですが、中学２年生以上の方であれば、今すぐにでも参考記事を読んで理解することをオススメします。
⇒⇒⇒三角形の合同条件はなぜ3つ？証明問題をわかりやすく解説！【相似条件との違い】
角の二等分線と比の定理とは
角の二等分線には、もう一つ押さえておくべき重要な性質があります。
それが「角の二等分線と比の定理」と呼ばれるものです。
下の図において$$赤：青$$の比が常に等しい。
この定理はいろいろな呼び名があり、
- 角の二等分線定理
- 角の二等分線の性質
- 角の二等分線と辺の比の定理
などなど、人によって様々です。
「角の二等分線と～」のように表現されていたら、この定理を指しているんだな～と理解しましょう。
さて、この定理を証明していくにあたって、中学２年生及び中学３年生で習うある知識が必要になってきます。
角の二等分線定理の証明
いったん証明を見ていきます。
必要な予備知識に関する記事は、この章の最後に載せていますので、そちらをぜひご覧ください。
【証明】
図のように、点 C を通り辺 AD に平行な直線と、半直線 AB との交点を E とする。
↓↓↓
まず、平行線の同位角と錯角は等しい(※１)ので、$$∠BAD=∠AEC ……①$$$$∠CAD=∠ACE ……②$$
ここで、線分 AD は ∠BAC の二等分線であるので、$$∠BAD=∠CAD$$
これと①②より、$$∠AEC=∠ACE$$
よって、$2$ つの底角が等しいので、△ACE は二等辺三角形(※２)である。
つまり、$$AC=AE ……③$$が成り立つ。
さて、$AD // EC$ であるから、平行線と線分の比の性質(※３)より、$$BA:AE=BD:DC$$
③の式を代入すると、$$AB:AC=BD:DC$$
したがって、定理が示された。
(証明終了)
予備知識のオンパレードですね(^_^;)
(※１)、(※２)は中学２年生、(※３)は中学３年生で習います。
「日頃の勉強がいかに大切か」この証明を見るとわかりますね！♪
それぞれの詳しい解説は以下のリンクから！！
⇒(※１).錯角・同位角・対頂角の意味とは？平行線と角の性質をわかりやすく証明！【応用問題アリ】【中２数学】」
⇒(※２).「二等辺三角形の定義・角度の性質を使った証明問題などを解説！」
⇒(※３).「平行線と線分の比の問題・３通りの証明・定理の逆の証明を解説！」
角の二等分線の性質を用いる問題
ここまでで、角の二等分線の重要な性質 $2$ つを学ぶことができました。
この章では、それらを応用して問題を解いていきましょう！
角の二等分線に関する問題は
- 性質その１を用いる作図問題(中学１年生)
- 性質その２を用いる問題(中学３年生)
大きく分けると以上の $2$ つです。
作図問題(中１)
いきなり難しそうな問題ですね…。
ヒントは、この問題を「角の二等分線を用いて解く」という見方で考えてみるとどうなるか、ということです。
$30°$ を $2$ 倍してみると… $60°$ ですね！
少し考えてみてから解答をご覧ください。
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【解答】
コンパスを用いて、適当な大きさの正三角形を作図する。
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正三角形の内角はすべて等しく、また内角の和は $180°$ であることから、$$180°÷3=60°$$つまり、正三角形の一つの内角は $60°$ である。
よって、一つの内角の二等分線を作図すれば、$30°$ の角度を作図することができる。
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つまり青丸が、今回求めたかった角度 $30°$ となる。
(解答終了)
頭の柔らかさも問われた、非常にいい問題でしたね＾＾
では、もう一問解いてみましょう。
この問題も、一見すると角の二等分線と何ら関係性はないように見えます。
しかし！性質その１をよ～く思い出してみてください＾＾
【解答】
角の二等分線上の点であれば、$2$ 辺までの距離が等しい。(性質その１)
よって、角の二等分線を $2$ つ書き、その交点を P とすればよい。
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(解答終了)
ちなみに、$3$ 辺までの距離が等しいということは、以下のような円が書けることを意味します。
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また、点 P が内接円(ないせつえん)の中心となることから、点 P のことを「内心(ないしん)」と呼びます。
「内心」に関して詳しく学習するのは、高校１年生になってからになります。
⇒⇒⇒内心とは？三角形の内心の求め方や比の使い方・性質の証明・位置ベクトルをわかりやすく解説！
【外角】辺の比定理の応用(中３と高１)
今度は「角の二等分線と辺の比の定理(性質その２)」を用いる問題を解いていきましょう♪
さて、辺の長さを求める際に、「角の二等分線と比の定理」は非常に役に立ちます。
【解答】
角の二等分線と比の定理より、
したがって、線分 BD の長さは、
(解答終了)
最後にもう一問。
応用的ですが、ぜひともマスターしておきたい問題です。
今まで点 D は辺 BC を内分する点でした。
今回は、線分AD が ∠A の外角の二等分線であるため、点 D は辺 BC を外分しています。
ただ、「角の二等分線と比の定理」のスゴイところは、この場合においても$$AB:AC=BD:DC$$という全く同じ式が成り立つところです！
また、外角の場合も、内角の場合と同様の発想で証明ができます。
「同様」と言われても、「何がどう同様なのか」わかりづらいかと思いますので、実際に証明しながら解答を作っていきますね♪
【解答】
図のように、点 C を通り辺 AD に平行な直線と、線分 AB との交点を E とする。
↓↓↓
まず、平行線の同位角と錯角は等しい(※１)ので、$$∠XAD=∠AEC ……①$$$$∠CAD=∠ACE ……②$$
ここで、線分 AD は ∠BAC の二等分線であるので、$$∠XAD=∠CAD$$
これと①②より、$$∠AEC=∠ACE$$
よって、$2$ つの底角が等しいので、△ACE は二等辺三角形(※２)である。
つまり、$$AC=AE ……③$$が成り立つ。
さて、$AD // EC$ であるから、平行線と線分の比の性質(※３)より、$$AB:AE=BD:DC$$
③の式を代入すると、$$AB:AC=BD:DC$$
よって、外角の場合も同じ式が成り立つことがわかったので、
したがって、線分 BD の長さは、
(解答終了)
証明は、B の代わりに X を用いるところが最初の方に $2$ 箇所あるだけで、あとはほぼほぼコピペしました。(笑)
一つ注意点を挙げるなら、最後の$$BD=\frac{5}{5-3}BC$$の部分ですね。
これは図を見た方がわかりやすいです。
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図を見れば、BD が BC の $\frac{5}{2}$ 倍になることは明らかですよね！
内分のときは、図に書き込まなくても頭の中でイメージしやすいです。
しかし、外分のときは計算ミスを防ぐために、図に書き込んで視覚的にわかりやすくすることをオススメします。
角の二等分線に関するまとめ
角の二等分線には重要な性質が $2$ つありました。
もう一度まとめておきます。
↓↓↓
高校の数学A「図形の性質」を履修する際に必要不可欠な知識になってきます。
今のうちにしっかりと理解しておきましょう！
もう一つの基本的な作図「垂直二等分線(+垂線)」に関する詳しい解説はこちらから！！
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以上、ウチダでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを！！
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