円周角の定理とは?【必ず押さえたい7つのポイント】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「円周角の定理」について正しく理解できていますか?

よくこんな言葉を耳にします。

数学太郎のアイコン画像数学太郎
円周角の定理?何言ってるかちんぷんかんぷん…。

数学花子のアイコン画像数学花子
円周角の定理は理解できた!でも、円に内接する四角形の性質とか、円周角の定理の逆とか…いろいろ覚えることあってツラいです…。

今回は、こういった悩みにお答えしていきたいと思います。

というのも、円周角の定理を自分のものにしている人は、覚えているという感覚がありません

これはスゴイ大切な感覚です。

よって本記事では、円周角の定理について要点別に解説し、応用問題の解き方や考え方についても、

  • 東北大学理学部数学科卒
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験あり

の僕がわかりやすく語ります。

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目次

円周角の定理に関する7つのポイント【必見級です】

いきなりですが、必見級のポイント $7$ つです。

  1. 円周角は中心角の半分。
  2. 直径に対する円周角は $90°$。
  3. 弧の長さが同じであれば円周角は等しい。
  4. 証明のコツは「二等辺三角形」と「外角の定理」を使うこと。
  5. 円に内接する四角形の対角の和が $180°$ になる証明は、実はヌルゲー。
  6. 逆は使えることが重要。(証明は理解しなくていい。)
  7. あとは補助線を適切に引こう。

これだけを見て理解できる方は、相当の実力者なので、自信を持っていいでしょう。

さて、いきなりポイント $7$ つを同時に解説することは不可能に近いので、ここからは

  • 円周角の定理
  • 円周角の定理の逆+補足

の $2$ 章に分けて解説します。

円周角の定理について

  1. 円周角は中心角の半分。
  2. 直径に対する円周角は $90°$。
  3. 弧の長さが同じであれば円周角は等しい。
  4. 証明のコツは「二等辺三角形」と「外角の定理」を使うこと。
  5. 円に内接する四角形の対角の和が $180°$ になる証明は、実はヌルゲー。

ここまでを一気に解説します。

【Step1】円周角の定理を使いまくろう

問題. 下の図において、$x$、$y$、$z$、$α$ をそれぞれ求めよ。
※(4)は「同じ弧の長さの円周角」を求める問題である。
円周角の定理について

まずは基本中の基本の問題です。

パパっと解けますね!

↓↓↓(答えあり)

【解答】

(1) 円周角は中心角の半分より、$$x=102°÷2=51°$$

(2) 同じ弧の円周角は等しいので、$$y=49°$$

(3) 直線の角度は $180°$ であるから、$$z=180°÷2=90°$$

(4) 長さが等しい弧の円周角は等しいので、$$α=36°$$

(解答終了)

少し図で補足をします。

【Step1】円周角の定理を使いまくろう

一回転の角度が $360°$ なので、半回転(直線)の角度は $180°$ ですね。

≫参考記事.円の一周が360度の理由とは?なぜそう決めたのか由来を様々な視点から解説!

また、(4)では触れませんでしたが、「弧の長さと円周角は比例関係にある」ことも押さえておくとGOODです。

ここまでの進捗をまとめます。

  1. 円周角は中心角の半分。
  2. 直径に対する円周角は $90°$。
  3. 弧の長さが同じであれば円周角は等しい。

【Step2】円周角の定理を証明しよう

それではいよいよ、円周角の定理を証明しましょう!

この証明が本質的にわかると、ポイント1~3の理解が自然と深まると思いますよ♪

【証明】

まず、補助線 $OA$ を引く。

ここで、$OA=OB=OC$ より、$△OAB$ と $△OAC$ は二等辺三角形になるから、

$$∠OAB=∠OBA=●$$

$$∠OAC=∠OCA=■$$

のように表せる。

【Step2】円周角の定理を証明しよう

ここで、三角形の外角の定理より、$$∠BOD=∠OAB+∠OBA=2×●$$

$$∠COD=∠OAC+∠OCA=2×■$$

以上より、中心角 $∠BOC$ は

\begin{align}∠BOC&=2●+2■\\&=2(●+■)\\&=2×∠BAC\end{align}

となるので、たしかに円周角の $2$ 倍である。

(証明終了)

厳密には、「 $AC$ が中心 $O$ を通る場合」と「 $∠ACB$ の外に中心 $O$ がある場合」についても証明しなくてはいけないのですが、ほぼ同じ方法であるためやらなくていいです。

また、以上の証明で用いた $2$ つの予備知識については、

の記事にて詳しく解説しております。

ウチダのアイコン画像ウチダ

これでポイント1~3の知識も深まりましたね。なぜなら、同じ弧の長さに対する中心角も等しくなるからです。(弧の長さの出し方をよ~く思い出してみて下さい。)

このように、「中心角が円周角の $2$ 倍である」ことから自動的にわかる事実は多いですね。

さて、次は「円に内接する四角形の対角の和が $180°$ である」ことの証明です。

【Step3】円に内接する四角形の性質を知ろう

【Step3】円に内接する四角形の性質を知ろう

上の図のように、半径 $OB$ と $OD$ を引いてあげて、弧 $BC$ に対して円周角の定理を使います。

ここで弧 $BC$ は、

  • 上の方にできるもの(青色の弧)
  • 下の方にできるもの(赤色の弧)

の $2$ つがあるので、それぞれに対して円周角の定理を使えばOKです。

すると、中心 $O$ の周りの角度は $360°$ であることから、$$2●+2■=360°$$が成り立ち、この式の両辺を $2$ で割ってあげれば、$$●+■=180°$$

と、確かに対角の和は $180°$ になりました。

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円周角の定理の逆について+補足

  • 逆は使えることが重要。(証明は理解しなくていい。)
  • あとは補助線を適切に引こう。

あとはこの $2$ つについて、理解を深めておけば完ぺきパーフェクトです。

もうちょっとだけ頑張りましょう。

【Step4】逆の証明はスルーでOK

「逆」というのは、仮定と結論を入れ替えたものです。

つまり、「円周角の定理の逆」と「四角形が円に内接するための条件」は

  • 円周角が等しければ、同じ円周上にある
  • 対角の和が $180°$ であれば、同じ円周上にある

上記のようになります。

しかしながら、これを理解するには高校1年生で習う「集合論」の知識が必要ですし、その高校生向けの学習指導要領ですら除外しているぐらいです。

ですので、ここの勉強で立ち止まるぐらいであれば、今はスルーして問題を解くことが先決かと。

ウチダのアイコン画像ウチダ

あくまでこれは僕個人の意見です。一応補足しておくと、円周角の定理の逆は「転換法(てんかんほう)」と呼ばれる証明法で導きます。円周角の定理の逆については「円周角の定理の逆はなぜ成り立つのか【証明と問題の解き方とは】」の記事で詳しく解説してますので、気になる方はご覧ください。

【Step5】あとは補助線を適切に引こう

あとは問題をた~くさん解けばOKなんですが、一つだけ頭に入れておいてほしいことがあります。

それは「とりあえず補助線を引いてみる」ということ。

応用問題を何問か用意したので、ぜひ解いてみて下さい。

問題. 下の図において、$x$、$y$、$z$、$α$ をそれぞれ求めよ。
※(4)で書かれている点は、円周上を $5$ 等分している。
円周角の定理の逆について+補足

(1)、(2)については、補助線を引く問題ではありません。

(3)(4)は補助線が $1$ 本必要

ぜひ考えてから解答をご覧ください♪

↓↓↓

【解答】

(1) 円に内接する四角形の対角の和は $180°$ より、$$x=180°-100°=80°$$

(2) $51°$ で角度が等しい部分があるから、円周角の定理の逆より、同じ円周上にあることがわかる。

よって、$$y=45°$$

(3)(4)については、以下のように補助線を引く。

【Step5】あとは補助線を適切に引こう

(3)は、青色の補助線を一本引くことにより $62°+z=90°$ であることがわかるから、$$z=90°-62°=28°$$

(4)は、青色の補助線を一本引くことにより、三角形の外角の定理を使って、$$α=36°+72°=108°$$

(解答終了)

(3)では、直径が図に書かれているので、そこに気が付くと補助線が引きやすいでしょう。

(4)。これは知らないと厳しそうです。なので今知りましょう。

円周上を五等分する弧に対する円周角

今、円周上の $5$ つの点によって $5$ 等分されているので、一つ分の弧の長さを①とすると、その中心角が $72°$ であることがわかります。

よって、①の円周角は $72°÷2=36°$ と求めることができます。

また、二つ分の弧の長さを②とすると、中心角は $2$ 倍、つまり $144°$ となるので、円周角も $2$ 倍、つまり $72°$ となることがわかりますね。

円周角の定理に関するまとめ

最後にもう一度、今回のポイントのおさらいをします。

  1. 円周角は中心角の半分。
  2. 直径に対する円周角は $90°$。
  3. 弧の長さが同じであれば円周角は等しい。
  4. 証明のコツは「二等辺三角形」と「外角の定理」を使うこと。
  5. 円に内接する四角形の対角の和が $180°$ になる証明は、実はヌルゲー。
    (円周角の定理を $2$ 回使うだけ!)
  6. 逆は使えることが重要。
  7. あとは補助線を適切に引こう。
    (他のポイントと照らし合わせて考えよう。)

これを見て何のことか、大体わかるようになればOKです♪

円周角の定理の次は、三平方の定理を勉強しましょうか!

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以上です~。

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