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増減表の書き方(作り方)や符号の調べ方を解説!【グラフを書こう】

2019 9/22
増減表の書き方(作り方)や符号の調べ方を解説!【グラフを書こう】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、微分法の応用の中で最重要なものの一つである

「増減表」

について、その書き方(作り方)や符号(プラスマイナス)の調べ方、また増減表に出てくる矢印の意味など詳しく解説し、最終的にどんなグラフでも書けるようになっちゃいましょう!!!

「そもそも微分とは?」という方は、こちらの記事からご覧ください。↓↓↓

微分とは何か?定義とやり方と公式をわかりやすく解説!

「微分はわかっているけど、接線の方程式が怪しい…」という方は、こちらの記事からご覧ください。↓↓↓

微分係数の定義とは?導関数との違いや接線の傾きの求め方を解説!【練習問題あり】

目次

増減表の前に…

まず、増減表を書く前に、「増減表を書く目的」について考えていきましょう。

これは、ズバリ一言で言えば、

今まで習ってきた関数以外のグラフも書きたい!!

こういうモチベーションになってくるわけです。

現時点(数学Ⅱ履修段階)で書けるのは

  • 比例反比例(小6)
  • 1次関数(中2)
  • 2次関数(数学Ⅰ)
  • 三角関数、指数関数、対数関数(数学Ⅱ)

これぐらいですね。

(補足)
数学Ⅱ図形と方程式で習う「円」は、関数とは言いません。なぜなら、「2つの変数 $x,y$ に対して、 $x$ の値を定めるとそれに対応して $y$ の値がただ一つに定まるとき、 $y$ は $x$ の関数である」というのが関数の定義でした。円は $x$ の値を定めたとき、$y$ の値は2つ出てくることがあるため、関数とは言えませんね。

さて、こいつらのグラフが書けるようになったのってどういった経緯でしたか?

きっと、それぞれの関数の性質からどう書けばいいか考えたり、いろんな知識を使ってグラフを書いてきましたよね。(例えば2次関数で言えば「頂点」や「軸の方程式」などです。)

ここで、これらのグラフを“ある共通した方法を用いて書き表せる”となったらスゴくないですか!?

そう、実はその共通した方法というのが…増減表なんですね!

ですから、極端なことを言えば、増減表さえ押さえておけばどんな関数でもグラフを書けるようになる!

ということになります。
(まあ、実際は、関数ごとに性質を理解していないと応用問題などは全く解けないので、これは正しくもあり間違っていると言えますが。)

では、その共通した方法に何を用いるかというと…ここで「微分」が出てくるわけですね!

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増減表=接線の傾きの変化

一言で言ってしまえば、「増減表=接線の傾きの変化」です。

つまり、「接線の傾きの変化」さえ追っていけばグラフは書けますよ!ということになります。

どういうことなのでしょうか…

図を用いて考えていきましょう。

↓↓↓

この関数は$$y=x^2+2x-1$$という2次関数です。

今、このグラフ上の点における接線の変化というものをアニメーションにしてみました。

するとどうでしょう。

何かにお気づきではないでしょうか。

そう、接線の傾きによってグラフの変化の様子が変わるということに!!

(接線の傾きとグラフの変化の関係)
ある区間において
接線の傾きがマイナス  ……グラフはその区間で減少する
接線の傾きが0    ……グラフはその区間で一定である
接線の傾きがプラス   ……グラフはその区間で増加する

先ほどのアニメーションで、あえて接線の傾きが0(つまり$y=-2$)となるところで、1.5秒ほど止めてみました。

そこを境に、グラフの増減(増加と減少)が移り変わっていませんか?

接線の傾きを求める記事を思い出してほしいのですが、接線の傾きは微分係数を求めることで導出しました。

⇒参考.「微分係数の定義とは?導関数との違いや接線の傾きの求め方を解説!【練習問題あり】

また、微分係数というのは、平均変化率の $x$ の変化量を限りなく0に近づけたものです。

ようは、接線の傾きを求めることで、グラフが次どのような挙動をとるかがわかるということになるのです!

図にまとめるとこうなります。

↓↓↓

つまり、増減表とは、関数 $f(x)$ のグラフの増減を、その導関数 $f'(x)$ の符号の変化を調べることで求めるための道具であることがわかりました!

では次の章から、実際に増減表を書き、グラフをそれをもとに書いてみましょう。

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増減表からグラフを書こう!

それでは実際に増減表からグラフを書いてみましょう!

問題. $y=2x^2+8x+13$のグラフを書け。

数学Ⅰの知識では、平方完成をすることで頂点を求め、また $x^2$ の係数がプラスより下に凸であることがわかるので、グラフを書いていました。

この問題に増減表を用いるとどうなるのでしょうか。

【解答】

$y=f(x)$とおく。

ここで、導関数の定義より、$$f'(x)=4x+8$$

$f'(x)=0$を解くと、$x=-2$

したがって、増減表は下の図のようになる。

↓↓↓

ちなみに、極小値をどう出すかは、

\begin{align}f(-2)&=2×(-2)^2+8×(-2)+13\\&=8-16+13\\&=5\end{align}

と、 $y=f(x)$ に $x=-2$ を代入すればよい。
(極値については後述。)

また、矢印の意味は、グラフが増加しているか減少しているかを視覚的に表したものである。

よって、 $x=0$ のとき、 $y=13$ であることに注意すると、グラフは以下のようになる。

(終了)

試しに平方完成をしてみると、

\begin{align}y&=2x^2+8x+13\\&=2(x^2+4x)+13\\&=2\{(x+2)^2-4\}+13\\&=2(x+2)^2-8+13\\&=2(x+2)^2+5\end{align}
なので合ってますね。

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今は平方完成でもグラフが書ける2次関数で確認しました。

ではいよいよ、3次以上の関数を扱っていきましょう!!

問題2. $y=x^3-3x^2+3$の極値を調べ、グラフを書け。

3次関数のグラフは増減表を勉強することで初めて書けるようになる代表例です!

問題1と同じように、増減表を書いてグラフを求めていきましょう。

【解答】

$y=f(x)$とおく。

ここで、導関数の定義より、$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$

$f'(x)=0$を解くと、$x=0,2$

したがって、増減表は下の図のようになる。

↓↓↓

$$f(0)=3,f(2)=-1$$については問題1と同様に代入して求めた。

よって、グラフは以下のようになる。↓↓↓

(終了)

いかがでしょうか!

$f'(x)$が2次関数になってしまうので少し考える必要がありますが、 $f'(x)$は下に凸な2次関数なので、$$x<0,2<x…f'(x)>0$$$$0<x<2…f'(x)<0$$であることがわかりますね!

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これで、3次関数のグラフが書けるようになりましたね!

同じように行えば、4次関数、5次関数も書けるので、ぜひチャレンジしてみて下さい♪

(補足)
問題1では極値以外の点の座標を一つ求める必要がありますが、これは2次関数の決定で習ったことです。(頂点とその他の一点)
しかし、問題2では、極値2点の座標が求まればOKです!

これはなぜかというと、3次関数は $y=ax^3+bx^2+cx+d$ と4つの未知数を用いて表せるので、つまり条件式が4つ定まれば関数は一つに決まるということです。

極値や頂点の座標がわかるというのは、条件式2つ定まることに対応します。
よって、「極値2点の座標がわかる」⇔「2×2=4つの条件式が定まる」ということになるので、関数は一つに決まります。

ここで、極値について説明しておきますと…

  • 極小値…グラフが減少から増加に移り変わる点での $y$ の値
  • 極大値…グラフが増加から減少に移り変わる点での $y$ の値

この2つを合わせて「極値」と表現します。

つまり、”局”所的に見たときの特別な点での”値”ですね。
(これだと”局値”な気がしますが、覚え方としてはありだと思います(笑)。ちなみに極値のことを「局所的極値」とも言いますので、この理解はもしかしたら正しいのかもしれませんね!)

今までの2問はどちらとも極値を持ちました。
(問題1では極小値=最小値となってますが、問題2では極小値≠最小値ですし、極大値≠最大値ですね。ここは要注意!)

では最後に、こんな問題を解いてみて終わりにしましょう!

問題3.  $y=-x^3$ のグラフを書け。

なんだ!簡単そうじゃん!

…と思いきや、実は増減表について深い理解がないと、こういう問題が一番難しく感じてしまうのです。

どういうことなのか、解答を見ていきましょう。

↓↓↓

【解答】

$y=f(x)$とおく。

ここで、導関数の定義より、$$f'(x)=-3x^2$$

$f'(x)=0$を解くと、$x=0$

したがって、増減表は下の図のようになる。

↓↓↓

よって、 $x=1$ のとき、 $y=-1$ であることに注意すると、グラフは以下のようになる。

↓↓↓

(終了)

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皆さんは、問題3と今までの問題2問、どこが違うかわかりましたか?

そう、問題3の関数のグラフは「極値を持たない」のです!!

いったいどういうことなのでしょう…

先ほど、極値の定義を記した際、「移り変わる」に黄色マーカーが引かれていたと思います。

ここがポイントです!

ようは、今回の問題で、 $f'(x)=0$ の解はありますが、その周辺で増減が変化しているかというと、変化していないですよね!!

つまり、まとめるとこうなります!

 「$x=a$ で極値をとる」⇒「 $f'(a)=0$ 」だが、
 「$f'(a)=0$ 」⇒「 $x=a$ で極値をとる」とは限らない!!

極値をとるならば微分係数は0ですが、微分係数が0だからといって、その点の周辺で符号(増減)が変わっていなければ極値ではない!

ここは本当に要注意です!!

増減表を用いた応用問題3選については、新しく記事を用意しましたので、ぜひご参考ください。

↓↓↓

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増減表に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

ぜひ今日の話を活かして、増減表を使いこなし、いろんな関数のグラフが書けるようになっていただきたく思います!!

今まで様々な関数を別々に考えてきましたが、このようにある共通した方法を見つけることは、数学における一般化を行う上で非常に大事ですし、数学Ⅱでは一般化がかなり顕著にみられます。

他の例で言えば、「二項定理」や「三角関数の加法定理」などですかね。

「もっとグラフを正確に書く方法を知りたい!」という方は、こちらの記事をご覧ください!!

↓↓↓

増減表(凹凸表)で変曲点を調べて三角関数のグラフを書こう!【2回微分】【数ⅲ】

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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