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指数方程式の解き方4パターンをマスターしよう【練習問題あり】

こんにちは、遊ぶ数学のウチダです。

指数方程式とは、指数関数が含まれる方程式のことを指します。

指数方程式の例
  • $2^x=8$
  • $9^x-4・3^x+3=0$ など

たとえば $2^x=8$ であれば、グラフを利用すれば解けます。

つまり、$y=2^x$ と $y=8$ をそれぞれ書いて、その交点を求めればOKだということです。

つまり、$y=2^x$ と $y=8$ をそれぞれ書いて、その交点を求めればOKだということです。

指数関数については、こちらの記事で詳しく解説しています。

しかし、指数方程式を解くたびにグラフを書かなくてはいけなかったら、ものすごい大変ですよね。

ウチダ

ということで本記事では、指数方程式の解き方を4パターンに分けてわかりやすく解説していきたいと思います。

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目次

指数方程式の解き方4パターンをマスターしよう

指数方程式には、全部で $4$ パターンの形があります。それぞれ順に解説していきます。

指数方程式の解き方全4パターン
  • 基本形
  • 置換を利用する指数方程式
  • 底が異なる指数方程式
  • 指数方程式の連立方程式
上から順にチャレンジしていこう。

基本形

問題1.指数方程式 $3^x=27$ を解け。

$a^x=b$ の形は最も基本的な指数方程式です。ここから解いていきましょう。

変形した結果、底が共通しているのであれば、底は無視して指数のみの比較で解いてOKです。

置換を利用する指数方程式

問題2.指数方程式 $9^x-4・3^x+3=0$ を解け。

次はもう少し複雑な指数方程式です。

ヒントは「置換を利用すること」。ぜひ考えてみてから解答をご覧ください。

この問題のポイントは、

  • $3^x=t$ と置換すると $t$ の二次方程式になること
  • $t>0$ の条件を忘れないこと

以上 $2$ つです。

ウチダ

方程式を自分が解ける形に持っていくことが重要です。

底が異なる指数方程式

問題3.指数方程式 $3^x=5^{x-1}$ を解け。

先にお伝えしておくと、この指数方程式を解くには「対数」という数の定義が必要になります。

対数をまだ習っていない方は、今は参考程度に留めておいてください。

このように、底が異なる指数方程式は両辺対数を取らないと解くことができません。

裏を返せば、この指数方程式を解くために、対数という数の定義が必要だとも言えます。

ウチダ

対数についての解説は別記事にまとめています。興味のある方はぜひあわせてご覧ください。

指数方程式の連立方程式

問題4.次の連立方程式を解け。
$$\left\{\begin{array}{ll}3・2^x + 3^y = 13 &…①\\2^x – 3・3^y = 1 &…②\end{array}\right.$$

ラストは指数方程式を含む連立方程式です。

問題2と同様に、方程式を自分が解ける形に持っていくことが重要です。

別の文字で置換してあげることで連立一次方程式になるので、あとは加減法か代入法で解いてあげて、最後に基本形の指数方程式を解けばOKです。

ウチダ

応用問題は急がば回れです。焦らず落ち着いて、今まで蓄えてきた知識が使えるように解いていきましょう。

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指数方程式の練習問題4選

それでは知識を定着させるために、練習問題を $4$ 問解いて終わりにしましょう。

練習問題.次の指数方程式を解け。
(1) $\displaystyle \frac{1}{4}・2^x=8\sqrt{2}$
(2) $2^{3x}-2^{2x}-2^{x+1}=0$
(3) $3^x-3^{3-x}-6=0$
(4) $\left\{\begin{array}{ll}5^x+5^y = 30 &…①\\5^{x+y} = 125 &…②\end{array}\right.$

全問正解できましたか?

ウチダ

この練習問題が完璧であれば、指数方程式は怖いものなしです!安心して次のステージへ進んでくださいね。

(4)解と係数の関係に関する詳しい解説は以下の記事をご覧ください。

解と係数の関係とは~(準備中)

まとめ:指数方程式をマスターし、指数不等式の勉強に進もう

指数方程式のポイントについて、改めてまとめます。

指数方程式のポイント
  • 底をそろえることができたら、あとは指数のみの方程式を解けばOK。
  • 他には置換して解く方法や、対数を使う方法があるので覚えておこう。
  • 一番難しい問題は、指数方程式の連立方程式で「解と係数の関係」を使うもの。

指数方程式をマスターし、次の指数不等式に進みましょう。

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