指数方程式の解き方4パターンをマスターしよう【練習問題あり】

$27=3^3$ なので、$3^x=3^3$

底が共通しているので、指数だけで比べてOK。

よって、$x=3$

(解答終了)

$9^x=(3^x)^2$ より、$3^x=t$ と置くと $t$ についての二次方程式になる。

$t^2-4t+3=0$

$(t-1)(t-3)=0$

ここで $t=3^x>0$ より、$t=1$ , $3$

つまり、$3^x=3^0$ , $3^1$

よって、$x=0$ , $1$

(解答終了)

両辺 $3$ を底とする対数を取ると、

$\log_{ 3 } 3^x=\log_{ 3 } 5^{x-1}$

$x=(x-1)\log_{ 3 } 5=x\log_{ 3 } 5-\log_{ 3 } 5$

$x(1-\log_{ 3 } 5)=-\log_{ 3 } 5$

$\displaystyle x=-\frac{\log_{ 3 } 5}{1-\log_{ 3 } 5}$

(解答終了)

$2^x=X$ , $3^y=Y$ と置く。

\begin{array}{ll} 3X + Y = 13 　&…① \\ X – 3Y = 1 　&…②\end{array}

①-②×3を計算すると、$10Y=10$ なので、$Y=1$

②に代入して、$X=4$

つまり $2^x=2^2$ , $3^y=3^0$

よって、$x=2$ , $y=0$

(解答終了)

(1)　底を $2$ にそろえると、$2^{-2}・2^x=2^3・2^{\frac{1}{2}}$

指数法則を用いて、$2^{x-2}=2^{\frac{7}{2}}$

底が共通しているので、$\displaystyle x-2=\frac{7}{2}$

よって、$\displaystyle x=\frac{11}{2}$

(2)　$2^{x+1}=2・2^x$ であることに注意して、$2^x=t$ と置く( $t>0$ )と、

$t^3-t^2-2t=0$

因数分解すると、$t(t+1)(t-2)=0$

$t>0$ より、$t=2$

つまり $2^x=2^1$ なので、$x=1$

(3)　両辺に $3^x$ をかけると、$3^{2x}-3^3-6・3^x=0$

$3^x=t$ と置く( $t>0$ )と、$t^2-6t-27=0$

$(t-9)(t+3)=0$

$t>0$ より、$t=9$

つまり $3^x=3^2$ なので、$x=2$

(4)　$5^{x+y}=5^x・5^y$ であることに注意して、$5^x=X$ , $5^y=Y$ と置く( $X>0$ , $Y>0$ )と、

\begin{array}{ll} X + Y = 30 　&…① \\ XY = 125 　&…②\end{array}

解と係数の関係より、$X$ , $Y$ は二次方程式 $t^2-30t+125$ の $2$ つの解である。

$(t-5)(t-25)=0$ つまり $t=5$ , $25$ なので、$(X , Y)=(5 , 25),(25 , 5)$

$X=5$ , $Y=25$ のとき、$5^x=5$ , $5^y=5^2$ より、$x=1$ , $y=2$

$X=25$ のときも同様である。

よって、求める解は $(x , y)=(1 , 2),(2 , 1)$

(解答終了)