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指数関数・対数関数まとめ【基礎(公式)~応用まで全10記事で解説】

こんにちは、遊ぶ数学のウチダです。

突然ですが皆さんは、数Ⅱで習う「指数関数・対数関数」はマスターできたでしょうか?

数学太郎

指数関数と対数関数、この前授業が終わったけど、正直イマイチ復習できてないんですよね。どこかにいいまとめサイトはありませんか?

ウチダ

ということで元数学教師であるウチダが、遊ぶ数学版「指数関数・対数関数」のまとめ記事を作成しました!

遊ぶ数学では、全10本の記事に分けて指数関数と対数関数について、詳しく解説してまいりました。

本記事ではさらっと概要を解説し、すべての記事にリンクが飛ばしてありますので、ぜひブックマーク等して復習に役立ててください。

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目次

指数関数のまとめ【全5記事】

指数関数で重要なのは

  • 指数法則(数Ⅰ)
  • 指数の拡張
  • 指数関数のグラフ
  • 指数方程式・指数不等式

以上の単元です。順に解説していきます。

指数法則(数Ⅰ)

指数法則

① $a^m×a^n=a^{m+n}$
② $(a^m)^n=a^{m×n}$
③ $(ab)^n=a^n×b^n$

指数関数を理解するには、まずは指数について成り立つ法則、つまり「指数法則」を理解する必要があります。

指数法則は数学Ⅰで習う単元です。怪しい人は今のうちによく復習しておきましょう。

指数の拡張

指数の拡張その1

④ $a^0=1$( $0$ 乗は必ず $1$ になる)
⑤ $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$(マイナス乗は逆数)
⑥ $\displaystyle a^{\frac{q}{p}}=\sqrt[p]{a^q}$(分数乗はルートを使う)

指数法則を学んだから、じゃあ指数関数を…と行きたいところですがその前に、実数に拡張する必要があります。

なぜなら自然数でしか指数法則が成り立つことが確認できておらず、指数関数とは実数 $x$ に対して定義されるものだからです。

指数の拡張の手順は

STEP
自然数→整数
STEP
整数→有理数(ここで累乗根の登場)
STEP
有理数→無理数(高校範囲では証明はしない)

以上3STEPとなります。詳しくは以下の記事をご覧ください。

指数関数のグラフ

指数関数 $y=a^x$ のグラフは、$a$ の値によって形が変わります。

指数関数の重要な性質2
指数関数の重要な性質1
数学太郎

あれ…これってなんでこうなるんでしたっけ?

ウチダ

ポイントは、$a=1$ のときだよ。それが基準となるんだ。…と、これ以上は詳細に解説した記事を見てね^^

数学太郎

ちょっと怪しいので見てきます!

指数関数のグラフについて深く理解しておかないと、後述する対数関数に手も足も出なくなってしまいます。

基礎をしっかりと固めておきましょう。

指数方程式・指数不等式

指数方程式・指数不等式の例
  • $2^x=8$
  • $\displaystyle (\frac{1}{3})^x<\frac{1}{3}$ など

指数関数が含まれる方程式・不等式のことをそれぞれ、指数方程式・指数不等式と呼びます。

ウチダ

両方ともに共通する重要事項は「底をそろえること」です。しかし、指数不等式ならではの注意点もあります。

もっと複雑な指数方程式・指数不等式はどうやって解けばいいんだっけ…と不安な方は、以下の記事の問題を解いて応用力を高めておきましょう。

以上が指数関数についての解説記事でした。

次の対数関数にもつながる重要な内容ばかりですので、基礎だけでもしっかりと固めておきましょうね。

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対数関数のまとめ【全5記事】

対数関数で重要なのは

  • そもそも対数logとは何なのか&底の変換公式
  • 対数関数のグラフ
  • 真数条件・底の条件(対数方程式・対数不等式・対数関数の最大最小)
  • 常用対数

以上の単元です。順に解説します。

対数logとは?公式まとめ

指数と対数の関係

$0<a<1$ , $1<a$ , $b>0$ のとき、次が成り立つ。

$a^x=b \ \iff \ \log_a{b}=x$

まず対数という数は一体何なのか、ここはよく理解しておく必要があります。

ウチダ

「対数を理解する」とは、それすなわち「指数と対数の関係を理解する」と言い換えても差し支えないです。だから指数への理解が重要なんですね。

その対数について深く理解すると、以下の公式が成り立つことがわかります。

押さえておきたい対数の公式6選
  1. $\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$(積の対数は対数の和)
  2. $\log_a{M^r}=r\log_a{M}$( $r$ 乗の対数は対数の $r$ 倍)
  3. $\displaystyle \log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}$(商の対数は対数の差)
  4. $a^{\log_a{M}}=M$
  5. $p=q \ \iff \log_a{p}=\log_a{q}$(両辺底が同じ対数をとってもOK)
  6. $a,b,c>0$ , $a,c \neq 1$ のとき、$\displaystyle \log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$ が成り立つ。

特に6番の公式は「底の変換公式」とも呼ばれ、対数の計算において非常に重要な役割を果たします。

対数を計算するときに?が頭の中に浮かぶ人は、以下の記事をよく読んで復習しておいてください。

対数関数のグラフ

対数関数 $y=\log_a{x}$ のグラフは、指数関数 $y=a^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称になっていることが最大のポイントです。

【重要】指数対数と対数関数は直線y=xに関して対称

この事実を理解すれば、対数関数のグラフの形が $0<a<1$ , $1<a$ で2パターンあるのも、漸近線が $x=0$ になるのも、点 $(1 , 0)$ を必ず通るのも全て納得がいきます。

対数関数のグラフを書くのにどうしても苦手意識を持ってしまう方は、以下の記事を読んで克服していきましょう。

真数条件と底の条件(対数方程式・対数不等式・対数関数の最大最小)

対数関数の応用問題として

  • 対数方程式
  • 対数不等式
  • 対数関数の最大最小

以上3つはよく出題されます。

しかも指数のときにはほとんど考える必要がなかった「真数条件・底の条件」が複雑に絡んでくるので、問題が難しくなりがちです。

真数条件と底の条件

対数関数 $y=\log_a{x}$ において、

  • 底の条件:$a>0$ かつ $a \neq 1$
  • 真数条件:$x>0$

真数条件や底の条件が絡んだ問題が苦手だという人は、以下の記事の応用問題を解いて応用力を養うと、テストでかなりいい点数を取れるようになりますよ。

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常用対数

常用対数とは、底が $10$ である対数のことを指します。

なぜこいつだけ特別扱いされているかと言うと、常用対数を使うことで

  • 桁数
  • 最高位の数字

以上2つを簡単に求めることができるからです。

数学花子

常用対数の問題の解き方、すぐに忘れちゃうんですよね…

ウチダ

すぐに忘れちゃう…?もしかして、常用対数の意味を考えずに、ただただ暗記してはいませんか!?!?

数学花子

…ギクッ。

花子さんのように、「丸暗記していないか?」と聞かれるとギクッとなってしまう高校生、非常に多いです…笑。

常用対数は丸暗記してはダメです。ちゃんと意味を考えればそんなに難しくない考え方なので、以下の記事を読んで一生モノの知識を身に付けていきましょうね!

まとめ:指数関数・対数関数をマスターして得点源にしよう

指数関数・対数関数は、学習範囲は決して多くはありません。

なので、基礎的な部分をきちんと理解さえしていれば、共通テストでも得点源にすることができる単元の代表格です。

数学太郎

この記事はブックマークしておいて、不安になったら適宜復習に使いたいと思います。

ウチダ

そうしてくれると、記事を書いた本人としては凄い嬉しい!^^

もう一度本記事で紹介した記事をまとめておきます。ぜひ皆さんのお役に立てれば幸いです。

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