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分配法則を中学受験の問題で使いこなそう!【小学生がつまずきやすい逆や分数】

2019 9/23
分配法則を中学受験の問題で使いこなそう!【小学生がつまずきやすい逆や分数】

こんにちは、ウチダショウマです。

以前、分配法則のやり方とは?小学生でもわかる教え方(説明)や証明を解説!【分数や割り算も考察】という記事で、「分配法則がなぜ成り立つのか」に重点をおいて解説しました。

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なのでこの記事では、

「分配法則をどう使うか

これに重点をおいて、実際に小学生がつまずきやすい“逆”や”分数”といった考え方を用いた問題を解いていきましょう。

徐々に問題のレベルを上げて、最終的には中学受験をされる方のために、あの超有名中学校の入試問題についても解説していきますので、ぜひ楽しんでご覧ください♪

目次

分配法則とは

まずは分配法則を、かんたんにおさらいしておきます。

(分配法則)
$$a×(b+c)=a×b+a×c$$$$(a+b)×c=a×c+b×c$$

絵で表すとこんな感じです。

↓↓↓

※$a×b$ のことを $ab$ と表記していますが、中学数学から「×」の記号を省略することが多いです。

では、今日はいろんな練習問題を解いていきましょう♪

分配法則の練習問題1【分数】

練習問題1. 次の式を計算せよ。
$$(\frac{3}{8}+\frac{5}{6})×(-24)$$

さて、早速( )の中に分数が出てきてややこしそうですね…

これを普通に分配法則を使わずに計算すると、以下のようになります。

↓↓↓

【解答1】

\begin{align}(\frac{3}{8}+\frac{5}{6})×(-24)&=(\frac{9}{24}+\frac{20}{24})×(-24)\\&=\frac{29}{24}×(-24)\\&=-29\end{align}

(終了)

分数の加減なので、分母をそろえるために通分をしなくてはならないのがやっかいです。

では、この問題を分配法則を使って解いてみましょう。

↓↓↓

【解答2】

\begin{align}(\frac{3}{8}+\frac{5}{6})×(-24)&=\frac{3}{8}×(-24)+\frac{5}{6}×(-24)\\&=-9+(-20)\\&=-29\end{align}

※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

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いかがでしょうか。

通分する必要がないので、【解答1】よりはスマートな解答になっていると思います^^

さて、どんどん分配法則の必要性を上げていきますよ♪

分配法則の練習問題2【逆】

練習問題2. 次の式を計算せよ。
$$62×3.14+38×3.14$$

この問題は、ふつうに計算はしたくありませんね(^_^;)

では何を使うか…

ここで、分配法則の逆が必要になってきます!

どういうことかというと、

$$a×c+b×c=(a+b)×c$$

というふうに、「左辺と右辺を逆にして見る」ということですね!

(まあ、「=(等号)」は「両辺の値が等しい」という意味の記号なので、本来逆にする意味は全くないのですが、こうしてみた方がわかりやすいかと思いますので。)

この問題に当てはめて、解いていきましょう。

↓↓↓

【解答】

\begin{align}62×3.14+38×3.14&=(62+38)×3.14\\&=100×3.14\\&=314\end{align}

(終了)

いかがでしょうか!

これ、威力絶大ですよね!!!

こんな感じでどんどん進んでいきます♪

分配法則の練習問題3【$14×19$】

練習問題3. 次の式を計算せよ。
$$14×19$$

さて、こういう問題。

これは多くの方がふつうに筆算で計算すると思います。

ただ、こういう問題に分配法則を使う発想ができるかどうかが、数学のセンスがあるかないかの分かれ目だったりします。

あ、センスというのは「技術」のことなので、きたえれば必ず伸びますよ!!

では、これから、

  • 筆算で解く方法(解答1)
  • 分配法則で解く方法その1(解答2)
  • 分配法則で解く方法その2(解答3)

以上3つの方法でやってみますので、「どれが一番いいか」考えながら進んでみて下さい♪

↓↓↓

【解答1】

よって、$$14×19=266$$

(終了)

【解答2】

\begin{align}14×19&=14×(20-1)\\&=14×20-14×1\\&=280-14\\&=266\end{align}

(終了)

【解答3】

\begin{align}14×19&=14×(14+5)\\&=14×14+14×5\\&=196+70\\&=266\end{align}

(終了)

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いかがでしょうか。

皆さんは、どの解答が一番しっくりきますか?

僕の個人的な意見を述べますと、$$2→3→1$$の順で好きですね。

解答3については、$$14^2=196$$を覚えている人のみおススメの方法ですね!

実は僕…筆算がめっちゃ嫌いなんですよ!(笑)

だから、子供のころから、「どうやったら計算がもっとラクにかつ正しくできるだろう…」みたいなことばかり考えてきました。

そして自分で見つけた方法が、学校で教わった分配法則を用いた計算方法と一緒だった、みたいなことがあったんですね。

僕はその時思いました。

自分の考え方(工夫の仕方)は正しかったんだと。

僕はそこから自信をもって、「もっといい解法はないか」と数学に対して粘り強く考えるようになりました。

おかげで今の数学好きな自分がいます。

いきなり自伝になってしまいました、すいません(笑)。

ですが、こういうちょっとしたことが数学の力が伸びるきっかけになることもありますので、皆さんもぜひ筆算はやりたくないという感覚で計算を楽しんでみて下さい♪

それでは、最後に2問、実際の中学受験の入試問題で出題された問題を解いて終わりにしましょう。

分配法則の練習問題4【富士見中学入試】

練習問題4. 次の計算をせよ。
$$0.25×12+2.5×4.8-25×0.2$$
※2013年度 富士見中学校入試問題 改題

この計算、皆さんならどう解きますか?

入試問題(改題)なので、もちろん時間も大事ですよ~。

私ならこう解きます!

↓↓↓

【解答】

\begin{align}0.25×12+2.5×4.8-25×0.2&=0.25×(12+10×4.8-100×0.2)\\&=0.25×(12+48-20)\\&=0.25×40\\&=10\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

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いかがでしょうか。

ふつうに計算するよりは断然速いかと思います!

$0.25$ が共通している数なので、あとは$$2.5=0.25×10$$$$25=0.25×100$$これらに注意して分配法則の逆を使っていますね。

分配法則の練習問題5【灘中学入試】

練習問題5. 次の式の□に当てはまる数を求めなさい。
\begin{align}(2003+□)×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{8}+\frac{7}{10}=2+\frac{5}{6}\end{align}


※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)
※2003年度灘中学校入試問題1日目

さて、やってまいりました、灘中学!

この問題は、灘中学の入試問題の中ではかなり易しい方ではありますが、何の工夫もなしに計算しようとしてしまうと痛い目を見ます。

方針としては、分数で考えるのが嫌なので、両辺に同じ数をかけることでうまく分母を取り払ってあげる感じですかね。

【解答】

両辺に $-\frac{7}{10}$ を足すと、

\begin{align}(2003+□)×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{8}&=2+\frac{5}{6}-\frac{7}{10}\\&=2+\frac{25}{30}-\frac{21}{30}\\&=2+\frac{4}{30} ……①\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

次に両辺に $4×5×6×8$ をかけると、

\begin{align}2003+□&=(2+\frac{4}{30})×(4×5×6×8)\\&=2×(4×5×6×8)+\frac{4}{30}×(4×5×6×8)\\&=1920+128\\&=2048 ……②\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

よって、$$□=45$$

(終了)

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いかがでしょうか。

計算上のポイントは2つで

  • ①…$2+\frac{4}{30}$ を計算しない(理由は②のため。)
  • ②…分配法則を使って少しでも計算をラクにする

ですかね。

分配法則を用いることがメインの問題ではないですが、途中で分配法則を使った方が良いケースがたくさんありますので、ぜひマスターしたいところです!

分配法則に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は分配法則を用いる問題を5つ解きました。

だいぶ感覚がつかめてきたのではないかと思います♪

分配法則は本当に大切な基本ですし、ここからいろんな公式が導き出されます。

たとえば、中学数学で初めてならう「展開公式(乗法公式)」も分配法則がベースですし、それをもとに「因数分解」もできるようになります。

また、もっと計算を速くする「インド式計算法」にも応用されています。

以上に挙げた関連記事については、以下のリンクをご覧ください。

↓↓↓

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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