こんにちは、遊ぶ数学のウチダです。
中学数学・高校入試数学で使える公式や重要事項を、一覧にしてまとめます。
ぜひテスト対策にお役立てください。
ウチダすべてに参考記事のリンクを付けました。より詳しい解説を知りたい方は、ぜひ参考記事もあわせてご覧ください。
中学数学～図形～まとめ【19記事】
垂直二等分線の作図
垂直二等分線に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>垂直二等分線の作図方法(書き方)と「なぜ正しいのか」証明をわかりやすく解説！【垂線】
角の二等分線と比の定理
角の二等分線と比の定理に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>角の二等分線と比の定理とは？作図方法(書き方)や性質の証明を解説！【外角の問題アリ】
平行四辺形になるための条件
四角形が次のいずれか1つの条件に当てはまるとき、平行四辺形である。
1⃣.2組の対辺がそれぞれ等しい。
2⃣.2組の対角がそれぞれ等しい。
3⃣.2組の対辺がそれぞれ平行である。
4⃣.1組の対辺が平行であり、かつその長さが等しい。
5⃣.2つの対角線がそれぞれの中点で交わる。
平行四辺形になるための条件の証明や詳しい解説はこちらをどうぞ
>平行四辺形の定義から性質と条件をわかりやすく証明！特に対角線の性質を押さえよう
等積変形
問題. 図の青色で塗られた部分の面積を求めよ。
上の図で、「青の面積=赤の面積」となるから、$\displaystyle 3×12×\frac{1}{2}=18$ と求めることができます。
等積変形の詳しい解説はこちらをどうぞ
>等積変形とは？台形から三角形に変える問題を解説！【応用問題・難問アリ】
対頂角・同位角・錯角
対頂角・同位角・錯角に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>錯角・同位角・対頂角の意味とは？平行線と角の性質をわかりやすく証明！【応用問題アリ】【中２数学】
三角形の内角の和・外角の定理
※このアニメーションは、およそ $3$ 秒で次の画に移ります。
三角形の内角の和が180度であることのちゃんとした証明は、こちらの記事をどうぞ
>三角形の内角の和は180度って証明できるの？【三角形の外角の定理(公式)や問題アリ】
多角形の内角の和・外角の和
$n$ 角形の内角の和は $180°×(n-2)$
$n$ 角形の外角の和は $360°$
多角形の内角の和・外角の和に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>多角形の内角の和・外角の和は？正多角形の内角の求め方は？証明や問題をわかりやすく解説！
三角形の合同条件
- 3組の辺がそれぞれ等しい。
- 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
- 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
三角形の合同条件に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>三角形の合同条件はなぜ3つ？証明問題をわかりやすく解説！【相似条件との違い】
直角三角形の合同条件
- 斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい
- 斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい
直角三角形の合同条件に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>直角三角形の合同条件を使った証明とは【なぜ2つ増えるのか】
二等辺三角形
・二等辺三角形であれば、二つの底角は等しい。
・二つの底角が等しければ、二等辺三角形である。
二等辺三角形に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>二等辺三角形の定義・角度の性質を使った証明問題などを解説！
三角形の相似条件
- ２つの角がそれぞれ等しい【超重要】
- ３組の辺の比がそれぞれ等しい
- ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
三角形の相似条件に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>相似条件とは？三角形の相似条件はなぜ3つなの？【証明問題アリ】
平行線と線分の比の定理
平行線と線分の比の定理に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>平行線と線分の比の問題・３通りの証明・定理の逆の証明を解説！
中点連結定理
中点連結定理に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>中点連結定理とは？逆の証明や平行四辺形の問題もわかりやすく解説！
相似比・面積比・体積比
・相似な平面図形において、相似比が $m:n$ であるとき、面積比は $m^2:n^2$
・相似な空間図形において、相似比が $m:n$ であるとき、表面積比は $m^2:n^2$ かつ体積比は $m^3:n^3$
相似比・面積比・体積比に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>面積比の公式まとめ【相似比と面積比と体積比の関係もあわせて解説】
円周角の定理における7つのポイント
- 円周角は中心角の半分。
- 直径に対する円周角は $90°$。
- 弧の長さが同じであれば円周角は等しい。
- 証明のコツは「二等辺三角形」と「外角の定理」を使うこと。
- 円に内接する四角形の対角の和が $180°$ になる証明は、実はヌルゲー。
- 逆は使えることが重要。(証明は理解しなくていい。)
- あとは補助線を適切に引こう。
円周角の定理に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
円周角の定理の逆
円周角の定理の逆に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>円周角の定理の逆はなぜ成り立つのか？【証明と問題の解き方とは】
三平方の定理の応用問題10選
三平方の定理を使った応用問題10選に関する詳しい解説は、こちらをどうぞ
>三平方の定理（ピタゴラスの定理）とは？【応用問題パターンまとめ１０選】
三平方の定理の証明5選
三平方の定理の他の証明は、以下の記事をご覧ください。
>三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明まとめ５選【全部でいくつあるの？】
三平方の定理の逆
三平方の定理の逆に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
中学数学～数・式・関数～まとめ【12記事】
絶対値
$a$ を実数とする。
このとき、$$|a|=|-a|$$が成り立つ。
絶対値に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>絶対値とは？絶対値の計算問題・意味や性質・分数の絶対値の外し方について解説！【ルート】
比例式と比の値
$$a:b=c:d$$ならば$$ad=bc$$
比例式と比の値に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>比例式の解き方とは？分数を用いた計算・かっこを含む文章問題をわかりやすく解説！
比例・反比例の式やグラフ
・ $y$ が $x$ に比例するとき、ある定数 $k$ を用いて、$$y=kx$$と表すことができる。
・ $y$ が $x$ に反比例するとき、ある定数 $k$ を用いて、$$y=\frac{k}{x}$$と表すことができる。
比例・反比例の式やグラフに関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>反比例の式のグラフとは？比例定数の求め方・意味や例について解説！
関数f(x)とは
関数f(x)に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>関数f(x)とは何か？【わかりやすく具体例３選を通して解説します】
定義域・値域・変域
定義域・値域・変域に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>定義域・値域・変域の違いとは？【求め方もわかりやすく解説します】
正負の数
正負の数に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>負の数の引き算はどうやる？【「マイナスの引き算」についても説明します】
食塩水の問題
$$濃度(\%)=\frac{溶質の質量(g)}{溶液の質量(g)}×100$$
食塩水の問題に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>食塩水の問題とは？濃度の計算公式や連立方程式を用いた解き方を解説！【小学生も必見】
連立方程式
$$\left\{\begin{array}{ll}2x+3y=13 …①\\3x+2y=12 …②\end{array}\right.$$
連立方程式に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>連立方程式の解き方とは？代入法か加減法で計算しよう！【分数の問題や文章題アリ】
多項式と単項式
多項式と単項式に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>多項式と単項式の違いとは？次数や乗除(乗法除法)や分配法則についても解説！
二次方程式の解の公式
$a≠0$とする。このとき、次の二次方程式$$ax^2+bx+c=0$$の解は、$$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
また、$b=2b’$と表せるとき、次の二次方程式$$ax^2+bx+c=0$$の解は、$$x=\frac{-b’±\sqrt{b’^2-ac}}{a}$$
二次方程式の解の公式に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>解の公式の導出をわかりやすく証明！【bが偶数の場合や覚え方も問題を通して解説】
素因数分解
素因数分解に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>素因数分解のやり方のコツとは？【応用問題３選も簡単に解けます】
エラトステネスのふるい
今回は $1$ ～ $100$ までの素数をすべて見つけてみよう。
１．$1$ ～ $100$ までの数をすべて書き記す。
２．$1$ は素数ではないので、赤線で消す。
３．$2$ に青い $〇$ をつけ、$2$ で割り切れるものすべてを赤線で消す。
４．これを $\sqrt{100}=10$ まで繰り返す。
５．残ったものすべてに青い $〇$ をつける。
６．青い $〇$ が付いたものすべてが素数である。
※このアニメーションは２秒ごとに移り変わり、計７枚あります。最後のスライドは４秒間静止します。
エラトステネスのふるいに関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>エラトステネスの篩のやり方やその計算量とは？【素数を発見しよう】
中学数学～確率・統計～まとめ【7記事】
度数分布表・ヒストグラム
| 種類 | 特徴 | メリット | デメリット |
|---|---|---|---|
| 表 | データをただ 並べたもの |
情報は確か。 | わかりづらい。 応用もしづらい。 |
| 度数分布表 | 階級と度数によって データをまとめたもの | ある程度のデータの 分布がわかる。 | ヒストグラムよりは パッとわかりづらい。 |
| ヒストグラム | 度数分布表を 図にしたもの | 一番わかりやすいため、 $2$ つのデータの比較 などに向いている。 |
具体的なデータは、 |
度数分布表・ヒストグラムに関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>度数分布表・ヒストグラムとは？【作り方（書き方）や特徴などを解説します】
相対度数・累積度数
| 階級（分） | 度数（人） | 相対度数（度数 $÷20$ ） | 累積度数（それまでの合計） | 累積相対度数（累積度数 $÷20$ ） |
|---|---|---|---|---|
| $0$ 以上 $4$ 未満 | $2$ | $\displaystyle \frac{2}{20}=10$ % | $2$ | $\displaystyle \frac{2}{20}=10$ % |
| $4$ ～ $8$ | $7$ | $\displaystyle \frac{7}{20}=35$ % | $9$ | $\displaystyle \frac{9}{20}=45$ % |
| $8$ ～ $12$ | $3$ | $\displaystyle \frac{3}{20}=15$ % | $12$ | $\displaystyle \frac{12}{20}=60$ % |
| $12$ ～ $16$ | $2$ | $\displaystyle \frac{2}{20}=10$ % | $14$ | $\displaystyle \frac{14}{20}=70$ % |
| $16$ ～ $20$ | $6$ | $\displaystyle \frac{2}{20}=30$ % | $20$ | $\displaystyle \frac{20}{20}=100$ % |
| 計 | $20$ | $\displaystyle \frac{20}{20}=100$ % | / | / |
相対度数・累積度数に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>相対度数・累積度数の求め方とは？【使う意味もわかりやすく解説します】
近似値と有効数字
(1) $6.34×10^2 \ (\mathrm{m})$
(2) $7.360×10^5 \ (\mathrm{g})$
(3) $6.40000×10^8 \ (\mathrm{km})$
近似値と有効数字に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>近似値と有効数字の求め方とは？【どちらも情報の〇〇度が大事！】
平均値・中央値・最頻値
データ $x_1$，$x_2$，…，$x_n$ の平均値は
$$\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$$
で与えらえれる。
※平均値には様々な種類があるため、正確には「相加平均（そうかへいきん）」と呼ぶこともあります。
データを小さい順 $x_1$，$x_2$，…，$x_n$ と並べる。
このとき、中央値は$$\left\{\begin{array}{ll}x_{\frac{1+n}{2}} \ &( \ n \ が奇数)\\(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})÷2 \ &( \ n \ が偶数)\end{array}\right.$$で与えられる。
変量 $x$ の中で、データの個数が一番多いものを「最頻値」と定義する。
平均値・中央値・最頻値に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>平均値・中央値・最頻値はどう使い分ける？【３つの代表値を詳しく解説】
樹形図
樹形図に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>樹形図を使う？使わない？【問題によって使い分けるコツを解説】
サイコロの確率
(1) $a+b=8$ となる確率
(2) $a×b<16$ となる確率
(3) $a$，$b$ が連続した $2$ つの整数である確率
(4) $\displaystyle \frac{a}{b}$ が整数になる確率
サイコロの確率に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>サイコロの確率の計算問題１３選【２つ投げる場合の求め方とは？】
全数調査と標本調査
- 全数調査 … 集団のすべてについて調べること。
- 標本調査 … 集団の一部について調べ、そこから全体を推測すること。
全数調査と標本調査に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>全数調査と標本調査の違いとは？【メリット・デメリットをわかりやすく解説します】
小学校算数(復習)まとめ【10記事】
分数の加減乗除
>分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ！ポイントは比の考え方とうまく結びつけること！
0で割ることができない理由
>0で割ることができない理由を小学校で習う定義から解説！【答えはエラー？】
四則演算の順番のルール
>四則演算の順番のルール【優先順位を決める理由は〇〇と同じ】
分配法則
$$a×(b+c)=a×b+a×c$$$$(a+b)×c=a×c+b×c$$
分配法則に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>分配法則のやり方とは？小学生でもわかる教え方(説明)や証明を解説！【分数や割り算も考察】
仮分数・帯分数・真分数
・仮分数 … 分子が分母より大きい、または等しい分数のこと。
・帯分数 … 整数と真分数の足し算で表される分数のこと。
・真分数 … 分子が分母より小さい分数のこと。
仮分数・帯分数・真分数に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>仮分数・帯分数・真分数とは？【帯分数の掛け算などの応用問題４選も解説】
約分・通分
約分・通分に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>約分・通分とは結局何なのか？【スムーズなやり方＋問題４選をわかりやすく解説します】
速さの問題
>速さの問題３選で、計算・求め方・単位換算をマスターしよう！【速度算】
速さの単位換算や旅人算など、計算問題３選を解こう。
”速さ”と”速度”の違いとは何か、皆さん説明できますか？
これらについて、わかりやすく丁寧に解説します。
「速さを求める問題が苦手…」と感じている方は必見です。
割合・百分率・歩合
| 小数の割合 | $1$ | $0.1$ | $0.01$ | $0.001$ |
| 百分率 | $100$ % | $10$ % | $1$ % | $0.1$ % |
| 歩合 | $10$ 割 | $1$ 割 | $1$ 分 | $1$ 厘 |
割合・百分率・歩合に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>割合・百分率・歩合とは？何が違う？【計算や文章問題の解き方も解説】
拡大図と縮図
拡大図と縮図に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>拡大図と縮図の関係とは？【問題３選の解き方まで解説します】
線対称・点対称
線対称・点対称に関する詳しい解説はこちらをどうぞ
>線対称・点対称とは？【具体例６選と応用問題３選で解説します】
総括：遊ぶ数学の記事を上手く利用して、数学を得意科目にしよう！
以上、全48記事の要点総まとめでした。
数学太郎定期テスト前の見直しに使おうと思います！
数学花子私は参考記事の問題も解いて、応用力も付けたいと思います！
ウチダはい！ぜひぜひそのように活用し、数学を得意科目にしてあげてください～＾＾
独学で高校受験を頑張りたい方は、ぜひ通信教育も検討してみてください。
高校受験におすすめの通信教育”Ｚ会”の紹介記事はこちらから
>Ｚ会の通信教育だけで高校受験は合格できる？【他社にはない特長6選を解説】
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