和の法則・積の法則の使い分け【たった2つの言葉に注目!】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「和の法則・積の法則」と聞いて、何をイメージしますか?

数学太郎のアイコン画像数学太郎
言葉が難しくてわかりづらいかな…。
数学花子のアイコン画像数学花子
問題を解いていると、「あれ?どっちを使えばいいんだっけ…?」と迷うことが多々あるので、困っています。

こういった悩みを持つ方は、結構多いかと思います。

よって本記事では、和の法則・積の法則の使い分けのコツから問題の解き方、さらに「なぜ成り立つのか」理屈的な部分も含めて

  • 東北大学理学部数学科卒
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • (ちなみに専門は確率論でした)

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

和の法則・積の法則の使い分け【「または」と「そして」に注目だ!】

「和の法則・積の法則の使い分け」最大のコツは、ズバリこれです!

・「または」で自然な文章が作れる $⇒$ 和の法則
・「そして」で自然な文章が作れる $⇒$ 積の法則

これは具体例を見た方がわかりやすいですね。

  • サイコロを $2$ 個投げたとき、目の和が $5$ の倍数である場合の数は?
    • $⇒$ 目の和が「 $5$ 」または「 $10$ 」
  • サイコロを $2$ 個投げたとき、すべての目が偶数である場合の数は?
    • $⇒$ $1$ 個目のサイコロの目が偶数、そして $2$ 個目のサイコロの目も偶数

それぞれ自然な文章に置き換えられています。

さて、今後の問題では以上のコツを活かしてもらえばOK!

と言いたいところなのですが…

和の法則・積の法則には、それぞれ一つだけ注意点がありますので、まずはそれを解説していきます。

和の法則・積の法則の注意点と成り立つ理由

・和の法則 $⇒$ $A$、$B$ の起こり方に重複がない
・積の法則 $⇒$ $A$ のどの場合に対しても同じだけ $B$ の起こり方がある

それぞれ以上を満たすとき、はじめて法則を使って計算することができます。

たとえばさきほどの例題において、

  • 目の和が「 $5$ 」または「 $10$ 」
    • $⇒$ 目の和が $5$ であり、かつ目の和が $10$ であることはあり得ない。
  • $1$ 個目のサイコロの目が偶数、そして $2$ 個目のサイコロの目も偶数
    • $⇒$ $1$ 個目のサイコロの目が $2$、$4$、$6$ どの場合であっても、$2$ 個目のサイコロの目の出方は $2$、$4$、$6$ の $3$ 通りある。

上記の内容を樹形図でイメージ化するとこうなります。

和の法則・積の法則の注意点と成り立つ理由
ウチダのアイコン画像ウチダ
たとえば「 $2$ を $5$ 個足してください」と言われたら $2+2+2+…$ ではなく $2×5=10$ と計算しますよね。これがいわゆる“積の法則”です。「和の法則・積の法則」と聞くと難しそうですが、ようは「足し算・掛け算のルール」と同じだと考えてOKです。

【補足】「かつ」と「そして」のニュアンスの違い

もう一つだけ補足しておきます。

「または」に対しては「かつ」が一般的ですが、和の法則・積の法則においては「または」に対して「そして」となってます。

皆さんは、「かつ」と「そして」のニュアンスの違いはどこにあると思いますか…?

私は、ベン図で考えるのが一番わかりやすいかと思います。

↓↓↓

【補足】「かつ」と「そして」のニュアンスの違い

「そしてのイメージ」の補足をしておくと、$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$ というのはそれぞれ別の集合です。

つまり、積の法則が使えるときというのは、この $B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$ を区別せずにまとめて $B$ としてOKなときです。

ウチダのアイコン画像ウチダ
重要なのは「かつ」と「そして」の意味合いが異なることを理解することです。あくまで私個人の考え方ですので、このベン図にはあまりこだわらない方がいいでしょう。
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和の法則・積の法則を用いる問題3選

それでは実際に、和の法則・積の法則を用いる代表的な問題を解いてみましょう。

具体的には

  • サイコロの問題(基本)
  • 場合分けが必要な問題(少し応用)
  • 正の約数の個数を求める問題

以上 $3$ 問について考えていきます。

サイコロの問題

問題. 大小 $2$ 個のさいころを投げるとき、以下の場合の数を求めよ。
(1) 目の和が $4$ の倍数になる場合の数
(2) 目の積が奇数になる場合の数

「または・そしてを文章に入れられるかどうか」このコツを使って問題を解いていきましょう。

【解答】

(1) 目の和が $4$ または $8$ または $12$ になる場合の数を求めればOK。

まず、目の和が $4$ になる場合の数は

$$(1,3),(2,2),(3,1)$$

で $3$ 通り。

次に、目の和が $8$ になる場合の数は

$$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$$

で $5$ 通り。

最後に、目の和が $12$ になる場合の数は

$$(6,6)$$

で $1$ 通り。

よって、和の法則より、$3+5+1=9$ 通り。

(2) 大のサイコロで奇数の目が出て、そして小のサイコロでも奇数の目がでる場合の数を求めればOK。

$1$ 個のサイコロで、奇数の目の出方は $2$、$4$、$6$ の $3$ 通り。

したがって、積の法則より、$3×3=9$ 通り。

(解答終了)

この問題は偶然にも「目の和・目の積」と「和の法則・積の法則」がリンクしている問題になってますが、いつもこうだとは限らないので注意しましょう。

ウチダのアイコン画像ウチダ
やはり、最初は面倒くさくても「または・そしてを使って自然な文章に書き換える」この作業は必須です。場合の数の問題は特にそうですが、”なんとなく”で解かないようにしてくださいね。

場合分けが必要な問題

問題. 大小 $2$ 個のさいころを投げるとき、目の和が偶数になる場合の数は何通りか。

「目の和だから和の法則」ではダメです!!

しっかりと文章を「または・そして」で書き換えて問題を解いていきましょう。

【解答】

目の和が偶数になる場合は

  • ⅰ) 「大サイコロの目が奇数で、そして小サイコロの目も奇数」または
  • ⅱ) 「大サイコロの目が偶数で、そして小サイコロの目も偶数」

の $2$ パターンがある。

ⅰ) $(大、小)=(奇、奇)$ の場合

積の法則より、$3×3=9$ 通り。

ⅱ) $(大、小)=(偶、偶)$ の場合

積の法則より、$3×3=9$ 通り。

したがって、和の法則より、$9+9=18$ 通り。

(解答終了)

まず $2$ つのパターンに場合分けしています。

次にそれぞれの場合について積の法則を利用し、最後に和の法則を利用し答えを導いていますね。

ウチダのアイコン画像ウチダ
文章をしっかり「または・そして」を使って書き換えているため、整理して問題を解くことができています。この作業を面倒くさがってやらないと混乱してしまうのは、至極当然なことですね。

正の約数の個数を求める問題

問題. 次の数について、正の約数は何個あるか答えなさい。
(1) $24$
(2) $10000$

(1)ぐらいの数であれば、

$$1,2,3,4,6,8,12,24$$

よって $8$ 通り~!!と数え上げた方が速いです。

ただ、数が大きくなってくるとこの解き方は通用しないため、しっかりと理論に基づいて問題を解いていきましょう。

【解答】

(1) $24$ を素因数分解すると、$$24=2^3×3$$

ここで、正の約数は $2$ を何個使い、そして $3$ を何個使うかで求めることができる。

※ちなみに「使わない」という選択肢もあり、その場合は $2^0=1$ となる。

正の約数の個数を求める問題

したがって、積の法則より、$4×2=8$ 通り。

(2) 同じように考えたいので、まず素因数分解をして

$$10000=10^4=2^4×5^4$$

ここで、素因数 $2$ については $0$ 個使う ~ $4$ 個使うの計 $5$ 通り。

また、素因数 $5$ についても $0$ 個使う ~ $4$ 個使うの計 $5$ 通り。

したがって、積の法則より、$5×5=25$ 通り。

(解答終了)

いかがでしょう。

このように正の約数の個数を求める問題は、素因数分解を用いることで積の法則を使うことができます。

一応公式にしておくと…

【正の約数の個数】
$a$、$b$、$c$ はそれぞれ異なる素数である。
このとき、$a^p×b^q×c^r$ の正の約数の個数は$$(p+1)(q+1)(r+1) 個$$

$a$ が $p$ 個のとき $(p+1)$ となるのは、「その素因数を使わないパターン」を考慮して $1$ を足しているんでしたね。

ウチダのアイコン画像ウチダ
この問題のさらなる応用例として「正の約数の総和」を求める問題が有名です。詳しくは「約数の個数と約数の総和の求め方とは?【公式は素因数分解で導きます】」の記事をご覧ください(分野は数学A「整数の性質」になります)。

和の法則・積の法則に関するまとめ

本記事の要点をもう一度まとめておきます。

  • または」で自然な文章が作れれば「和の法則」。「そして」で自然な文章が作れれば「積の法則」。
    • 和の法則を使う際の注意点は「かぶり(重複)がないこと」。
    • 積の法則を使う際の注意点は「どの場合に対しても同じだけ場合の数があること」。
  • 最初は面倒くさがらず、「または・そして」を使った自然な文章に置き換えて、頭の中を整理しよう。

和の法則・積の法則は、これから場合の数を勉強していく上での基本中の基本となるので、しっかり押さえておきましょう。

「場合の数」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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以上、ウチダショウマでした。

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